文档内容
第 01 讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间
几何体的表面积和体积（讲）
一、单选题
1．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一
个“阳马”， 底面ABCD，底面ABCD是矩形，且 ，则这个
“阳马”的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
, ，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成 角，则
这个圆台的侧面积是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知正方体的棱长为 ，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四
棱柱，则该四棱柱的全面积为（ ）
A． B． C． D．
5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好
是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A． B． C．8 D．
6．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若侧面AABB水平放置时，液面
1 1 1
恰好过AC，BC，AC ，BC 的三等分点处， ，当底面ABC水平放置时，液面高为
1 1 1 1
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在三棱锥 中， ，且 两两互相垂直，则三棱锥
的外接球的体积为__________．
8．圆锥 轴截面的顶角为 ，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的
取值范围为_________.
9．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为
_________.
三、解答题
10．如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．求A到平面 的
距离；11．如图，已知正三棱锥 的高 ，侧面上的斜高 ，求经过 的中点
且平行于底面的截面 的面积（用 ， 表示）．
一、单选题
1．公元 年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用
一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒
相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何
体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线 与直线 所围
成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体 ，下列平面图形绕其对称轴
（虚线所示）旋转一周所得几何体与 的体积相同的是（ ）
A．图①，长为 ､宽为 的矩形的两端去掉两个弦长为 ､半径为 的弓形
B．图②，长为 ､宽为 的矩形的两端补上两个弦长为 ､半径为 的弓形
C．图③，长为 ､宽为 的矩形的两端去掉两个底边长为 ､腰长为 的等腰三角形D．图④，长为 ､宽为 的矩形的两端补上两个底边长为 ､腰长为 的等腰三角形
2．半径为 的球 的直径 垂直于平面 ，垂足为 ， 是平面 内边长为 的正
三角形，线段 分別与球面交于点 ，那么三棱锥 的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ，点 分别在边 上移动，且 ，
沿 将 折起来得到棱锥 ，则该棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，正方形 的边长为2，切去阴影部分后，剩下的部分围成一个正四棱锥，
则正四棱锥的侧面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥 中，侧棱 底面 ，如图是其底面 用斜二测画法
所画出的水平放置的直观图 ，其中 ，则该三棱锥外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知四边形 是边长为3的菱形，把 沿 折起，使得点D到达点P，则三
棱锥 体积最大时，其外接球半径为_______．
7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被
平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，
利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．
8．如图所示，在直三棱柱 中，棱柱的侧面均为矩形， ，
， ，P是 上的一动点，则 的最小值为_____.
三、解答题
9．近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何
是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画
几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于 与多面体在该点的所有面角之和
的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体
在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.
例如：正方体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正方体在各顶点的曲率为
，故其总曲率为 .
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定
理：设简单多面体的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则有： .利用此定
理试证明：简单多面体的总曲率是常数.
一、单选题
1．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后
的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
2．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体
积（单位： ）是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部
分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为 ；水位为海
拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，
则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，
其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题（理））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小
正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A．8 B．12 C．16 D．20
6．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之
和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为 和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个
顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部
的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高考真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题10．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装
盒，包装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
