专题 19.6 一次函数与几何综合五大题型（50 题)
【人教版】
【题型1 一次函数与几何变换的综合】
1．（24-25·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度
后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y＝﹣ x﹣1 B．y＝﹣ x+1 C．y＝ x+1 D．y＝ x﹣1
2 2 2 2
【答案】C
{4k+b=0) 1
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ，得到直线解析式为y＝ x-2，将其向
b=−2 2
1
左平移2个单位，得到y＝ x-1，绕着原点旋转180°，得解．
2
【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，
{4k+b=0)
根据题意，得 ，
b=−2
{ k= 1 )
解得 2 ，
b=−2
1
∴直线解析式为y＝ x-2，
2
1
将其向左平移2个单位，得y＝ （x+2）-2，
2
1
即y＝ x-1，
2
∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0），
∵绕着原点旋转180°，
∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0），
∵设直线的解析式为y=mx+1，
∴-2m+1=0，
1
解得m= ，
21
∴y＝ x+1，
2
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．
2．（24-25八年级·山东临沂·期末）已知A(1,4)，B(4,9)，将直线y=kx绕原点旋转，当直线y=kx与线段
AB有公共点时，则k的取值范围是 ．
9
【答案】 ≤k≤4
4
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案．
【详解】解：把A(1,4)代入直线y=kx得，
4=k，
把B(4,9)代入直线y=kx得，9=4k，
9
解得k=
4
9
∴k的取值范围是 ≤k≤4，
4
9
故答案为： ≤k≤4
4
3．（24-25八年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y
轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是
．
1
【答案】y＝ x﹣4
3
【分析】根据已知条件得到A（2，0），B（0，﹣4），求得OA＝2，OB＝4，过A作AF⊥AB交BC于
F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，求得F
（6，﹣2），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x＝0，得y＝﹣4，令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），B（0，﹣4），
∴OA＝2，OB＝4，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，
∴F（6，﹣2），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
{6k+b=−2) { k= 1 )
∴ ，解得 3 ，
b=−4
b=−4
1
∴直线BC的函数表达式为：y＝ x﹣4，
3
1
故答案为：y＝ x﹣4．
3
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（24-25八年级·四川南充·期末）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB＝OC＝OA，
A、C分别在x轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标．1
【答案】（1）45°，y＝﹣x+1；（2）（0， ）．
3
【分析】（1）根据A、B的坐标和三角形的内角和定理求出∠OAB的度数即可；设直线AB的解析式为y
＝kx+b，把A、B的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）推出三角形AOB和三角形ACE的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线AB的解析
式，求出E的横坐标，设直线CE的解析式是：y＝mx+n，利用待定系数法求出直线EC的解析式，进而即
可求得点D的坐标．
【详解】解：（1）∵OB＝OC＝OA，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°；
∵B（0，1），
∴A（1，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
{k+b=0)
∴
b=1,
解得，
{k=−1)
b=1,
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵S ＝S ，
△COD △BDE
∴S +S ＝S +S ，
△COD 四边形AODE △BDE 四边形AODE
即S ＝S ，
△ACE △AOB
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且y ＞0，
E
1 1
∴ ×AC×y = ×OA×OB，
2 E 2
1 1
∴ ×2×y = ×1×1，
2 E 21
y = ,
E 2
1 1
把y= 代入直线AB的解析式得： =−x+1，
2 2
1
∴x= ，
2
设直线CE的解析式是：y＝mx+n，
(1 1)
{−m+n=0
)
∵C(−1，0)，E , 代入得： 1 1
2 2 m+n= ,
2 2
1 1
解得：m= ，n= ,
3 3
1 1
∴直线CE的解析式为y= x+ ,
3 3
1
令x＝0，则y= ，
3
( 1)
∴D的坐标为 0, ．
3
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综
合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强，但难度适中，通过做此
题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
5．（24-25八年级·广西河池·期末）在平面直角坐标系xOy中，
(1)点A(0，4)和点B(2，2)在一次函数y=kx+b (k≠0)的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它
的图象；
(2)点C(1，2)向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数y=−2x+m的图象与线段CD有公共点，
求m的取值范围．
【答案】(1)y=−x+4
(2)−2≤m≤4【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，再用描点法作图即可；
（2）由平移方式得D(−2,2)，分别把D(−2,2)、C(1,2)代入y=−2x+m求解即可．
【详解】（1）解：将点A(0,4)和点B(2,2)代入一次函数y=kx+b中，
{ b=4 )
得 ，
2k+b=2
{k=−1)
解得 ，
b=4
∴该一次函数的解析式为y=−x+4，
该一次函数图象如图：
（2）解：由点C(1,2)向左平移3个单位长度，得到点D(−2,2)，
当直线y=−2x+m经过点D(−2,2)时，2=−2×(−2)+m，
解得m=−2，
当直线y=−2x+m经过点C(1,2)时，2=−2+m，
解得m=4，
综上所述，m的取值范围是−2≤m≤4．
【点睛】本题考查用描点法作函数图象、用待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化−平移、一次
函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，直线l为y=−2x，OABC为长方形，点A在x轴上，点C在y轴
上，点B为(6,2)，平移直线l，得到直线y=kx+b．
(1)则k=______，当l经过点C时，b=______；(2)当l与线段AB交于点P，与BC交于点Q．
①要保证l与AB一定有交点，求b的取值范围；
②用b表示BP的长．
【答案】(1)−2，2
(2)①要保证l与AB一定有交点，则12≤b≤14；②14−b
【分析】（1）根据平移k不变，根据长方形性质得到C(0,2)，代入解析式，即得b值；
（2）①分别代入A、B的坐标，分别求得b的值，即可求得b的取值范围；②把x=6代入y=−2x+b求得
纵坐标，进而即可求得BP=14−b．
【详解】（1）解：∵直线l为y=−2x，
∴k=−2，
∵OABC为长方形，点B为(6,2)，
∴C(0,2)，
∵平移直线l，得到直线y=kx+b，
∴当l经过点C时，b=2，
故答案为：−2，2；
（2）①∵OABC为长方形，点A在x轴上，点B为(6,2)，
∴A(6,0)，
把A的坐标代入y=−2x+b，
得，0=−2×6+b，
解得，b=12；
把B的坐标代入y=−2x+b，
得，2=−2×6+b，
解得b=14，
∴要保证l与AB一定有交点，则12≤b≤14；
②把x=6代入y=−2x+b，
得，y=−12+b，
∴P(6,−12+b)，
∴BP=2−(−12+b)=14−b．
【点睛】本题考查了一次函数图形与几何变换，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析
式，函数图象平移，函数与不等式，矩形的性质，是解题的关键．7．（24-25八年级·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x的图象与一次函数
y=kx−k的图象的交点为A(m，2)．
(1)求m和k的值；
(2)直接写出使函数y=kx−k的值小于函数y=x的值的自变量x的取值范围；
(3)设一次函数y=kx−k的图象与x轴交于点C，将一次函数y=kx−k的图象向右平移2个单位长度，交
y=x的图象于点E，交x轴于点D，求四边形ACDE的面积．
【答案】(1)m=2，k=2
(2)x<2
(3)8
【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识；
（1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）可将四边形的面积转化为△ODE与△OCA的面积之差．
【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，
m=2，
所以点A的坐标为A(2，2)．
将点A的坐标代入一次函数解析式得，
2k−k=2，
解得k=2，
（2）由所给函数图象可知，
当x<2时，函数y=kx−k的图象在函数y=x图象的下方，即函数y=kx−k的值小于函数y=x的值，所以使函数y=kx−k的值小于函数y=x的值的自变量x的取值范围为：
x<2．
（3）由（1）知，
一次函数的解析式为y=2x−2，
所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为
y=2(x−2)−2=2x−6．
由2x−6=x得，
x=6，
所以点E的坐标为(6，6)．
将y=0代入y=2x−6得，
x=3，
所以点D的坐标为(3，0)．
将y=0代入y=2x−2得，
x=1，
所以点C的坐标为(1，0)．
1 1
所以S = ×3×6=9,S = ×1×2=1，
△ODE 2 △OAC 2
所以S =9−1=8．
四边形ACDE
8．（24-25八年级·江苏南通·期末）把一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴
向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例
如，如图1就是函数y=x的“V形”图象．
(1)请在图2中画出一次函数y=x+1的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______；1
(2)在（1）的条件下，若直线y=− x+1与一次函数y=x+1的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC
3
的面积；
(3)一次函数y=kx−5k+4（k为常数）的“V形”图象经过(−1,y )，(3,y )两点，且y >y ，求k的取
1 2 1 2
值范围．
【答案】(1)图见解析，(−1,0)
(2)2
(3)k>1或k<0
【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可；
（2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可；
5k−4
（3）根据题意得出经过定点(5,4)，该图象与x轴交点( ,0)，利用一次函数的增减性质求解即可．
k
【详解】（1）解：如图所示即为所求函数图象：
y=x+1，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为(−1,0)
（2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1，
∴¿，
x=−3
解得{
y=2
∴B(−3,2)
线段AD所在直线的解析式为y=x+1，∴¿，
x=0
解得{
y=1
∴C(0,1)
由（1）得：A(−1,0)
1 1 1
∴△ABC的面积=2×3− ×2×2− ×1×1− ×1×3=2；
2 2 2
（3）∵直线y=kx−5k+4（k≠0，且为常数）
当x=5时，y=4
∴经过定点(5,4)
5k−4
当y=0时，x=
k
5k−4
∴该图象与x轴交点( ,0)
k
①当k>0时
∵y >y ，
1 2
5k−4
由图象可知 >1，
k
解之得k>1
∴k>1
②当k<0时，由图象可知，始终有y >y
1 2
综上所述，k>1或k<0．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌
握一次函数的基本性质是解题关键．3
9．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线y=kx+b经过点B(0,25)，与直线y= x交于点C(m,9)
4
，与x轴交于点A，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
(1)求点A的坐标；
1
(2)当DE= OB时，求△CDE的面积；
2
(3)连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A 落在直线OC上，求此时点D的坐标．
1
(75 )
【答案】(1)点A的坐标为 ,0
4
75
(2)△CDE的面积为
2
(3)点D的坐标为(15,5)或(−15,45)
3
【分析】（1）利用直线y= x过点C(m,9)得m=12，利用待定系数法求出直线AB的解析式，令y=0即
4
可求解；
（2）设D的横坐标为n，代入直线AB与直线OC解析式表示出D与E的纵坐标，进而表示出DE的长，根
1
据DE= OB求出n的值进而求出三角形CDE面积即可；
2
（3）分点A落在射线CO和射线OC上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
3
【详解】（1）解：∵直线y= x过点C(m,9)，
4
3
∴9= m，解得m=12，
4
∴点C(12,9)，
∵直线y=kx+b经过点点B(0,25)，C(12,9)，{12k+b=9) { k=− 4 )
∴ ，解得： 3 ，
b=25
b=25
4
∴直线AB解析式为y=− x+25，
3
4 75
令y=0，则0=− x+25，解得x= ，
3 4
(75 )
∴点A的坐标为 ,0 ；
4
（2）解：∵B(0,25)，
∴OB=25，
( 4 )
设点D的横坐标为n，则点D坐标为 n,− n+25 ，
3
∵DE⊥x轴，
3
∴点E坐标为(n, n)，
4
4 3 25 25
∴DE=|− n+25− n|=|− n+25|= ，
3 4 12 2
解得：n=6或18，
1 25 75
当n=6时，S = × ×(12−6)= ；
ΔCDE 2 2 2
75
当m=18时，同理可得：S = ，
ΔCDE 2
75
综上，△CDE的面积为 ；
2
（3）解：过C作CG⊥OA于点G，
(75 )
∵点C的坐标为(12,9)，A ，0 ，
4
75
∴OG=12，CG=9，OA= ，
4
75 27
∴AG= −12= ，
4 4
2025
∴OC2=OG2+CG2=144+81=225，AC2=AG2+CG2=
，
16
5625 5625
OC2+AC2= ，OA2=
，
16 16∴OC2+AC2=OA2，
∴∠OCA=90°，即OC⊥AB，
当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线CO上的A 时，设DA 交x轴于点H，如图1所示：
1 1
根据折叠的性质可得：OA=OA ，∠DAO=∠DA O，
1 1
又∵∠COA=∠HOA ，
1
∴△COA≌△HOA (ASA)，
1
∴∠A HO=∠ACO=90°，HO=CO=15，
1
∴DA ⊥x轴，
1
4
当x=−15时，y=− ×(−15)+25=45，
3
∴D坐标为(−15,45)；
当△AOD沿着OD折叠，且点A落在射线OC上的A 时，延长A D交x轴于点I，如图2所示：
1 1
根据折叠的性质可得：OA=OA ，∠DAO=∠DA O，
1 1
又∵∠COA=∠IOA ，
1
∴△COA≌△IOA (ASA)，
1
∴∠A IO=∠ACO=90°，IO=CO=15，
1∴DA ⊥x轴，
1
4
当x=15时，y=− ×15+25=5，
3
∴点D坐标为(15,5)，
综上，点D的坐标为(15,5)或(−15,45)．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交问题，涉及到一次函数的性质，一次函数图象上点
的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏．
10．（24-25八年级·全国·课后作业）如图，直线l的解析式y=kx+3(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点
B，点C的坐标为(4,2)．
（1）点A的坐标为________；
（2）若将△AOB沿直线l折叠，能否使点O与点C重合？如果可以，请求此时直线l的解析式，如果不可
以，请说明理由；
（3）若点C在直线l的下方，求k的取值范围．
1
【答案】（1）(0，3)； （2）不能，理由见解析；（3）− <k<0
4
【分析】（1）令x=0解出y的值即可求解；
（2）根据坐标的特点得到AC≠OA，故可判断；
（3）令x=4，得y=4k+3，故可得到4k+3>2，再结合函数图象的特点即可求解．
【详解】解：（1）y=kx+3(k<0)，
令x=0，解得y=3
所以点A坐标为(0，3)．
故答案为：(0，3)．
（2）不能．
如图，连结AC．∵A(0,3)，
∴OA=3
又∵C(4,2)，
∴x =4，
C
∴AC>4，即AC≠OA，
∴AC与OA不可能重合，
∴不能使点O与点C重合．
（3）当x=4时，y=4k+3
∵点C在直线l的下方，
∴4k+3>2，
1
解得k>− ．
4
1
k的取值范围为− <k<0．
4
【点睛】此题主要考查一次函数图象上点的坐标特点，求坐标系中两点间的距离，一次函数图象与系数的
关系，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．
【题型2 一次函数与三角形的综合】
1
1.（24-25八年级·上海·期末）已知一次函数的图像l经过点A(0,−2)，正比例函数y= x的图像交于点
3
(3,a)．
(1)求一次函数解析式；
(2)若将直线l进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式．
【答案】(1)y=x−2
(2)y=x+❑√30或y=x−❑√30
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，图象的平移，一次函数与坐标轴围成的三
角形的面积的计算，熟练的求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键．
（1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；（2）先确定平移后的函数解析式，然后求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式计
算即可．
1
【详解】（1）解：把(3,a)代入y= x得a=1，
3
∴交点坐标为(3,1)，
设直线l的解析式为：y=kx+b，把A(0,−2)和(3,1)代入得：
¿，
解得¿，
∴一次函数解析式为y=x−2；
（2）设平移后的直线解析式y=x+a，
则与x轴交点坐标为(−a,0)，与y轴交点坐标为(0,a)，
1
∴与坐标轴围成的三角形面积为
a2=15，
2
解得：a=±❑√30，
∴平移后的直线解析式为y=x+❑√30或y=x−❑√30．
2．（24-25八年级·湖北武汉·期末）如图，由小正方形组成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，三角形ABC的三个顶点都是格点．A(0,3)，B(1,−1)，C(4,0)．
(1)将三角形ABC进行平移，得到三角形DEF（点D与点A对应，点E与点B对应），点D的坐标为
(−4,1)，在网格图中画出三角形DEF，并直接写出点E，F的坐标；
(2)直接写出DF与x轴的交点P的坐标；
(3)请仅用无刻度直尺在y轴上画出点M，使得∠FDM=∠ACB．
【答案】(1)图形见解析，E(−3,−3)，F(0,−2)；
( 8 )
(2)P − ,0 ；
3
(3)见解析．【分析】（1）先判断从点A平移到点D的平移路径，就可推断B，C两点的平移路径，可求出E，F两点
的坐标，即可画出图形；
（2）设直线DF的解析式为y=kx+b，将D(−4,1)，F(0,−2)代入得方程组，解方程组求出直线DF的
解析式，令y=0，即可求得答案；
（3）根据平移的性质可推得点M在过点D平行EF的直线与y轴的交点处，故作图的顺序是先根据平移的
性质得到△DQH，再画直线DQ与y轴的交点M．
【详解】（1）∵A(0,3)，D(−4,1)，
∴点A先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点D，
∴B，C两点分别是先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点E和点F，
∴E(−3,−3)，F(0,−2)；
如图所示，三角形DEF即为所求；
（2）设直线DF的解析式为y=kx+b，
{ b=−2 )
将D(−4,1)，F(0,−2)代入得 ，
−4k+b=1
{b=−2
)
解得 3 ，
k=−
4
3
直线DF的解析式为y=− x−2，
4
3
令y=0，则0=− x−2，
4
8
解得x=− ，
3
( 8 )
∴DF与x轴的交点P的坐标为 − ,0 ；
3
（3）∵三角形ABC进行平移，得到三角形DEF，
∴∠DFE=∠ACB，
∵∠FDM=∠ACB，
∴∠DFE=∠FDM，
∴DM∥EF，
∴只需画出过点D平行EF的直线与y轴的交点即可，
如图所示，将三角形EFG先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到三角形DQH，画直线DQ与y轴
交于点M，则点M即为所求．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的作图，平移的性质，平行线的判定与性质,一次函数与坐
标轴的交点问题，熟练运用平移的性质作图是解题的关键．
3．（24-25八年级·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，M(a,b)，N(c,d)，对于任意的实数k≠0，
我们称P(ka+kc,kb+kd)为点M和点N的k系和点．
例如，已知M(2,3)，N(1,−2)，点M和点N的2系和点为K(6,2)．已知A(1,2)，B(2,0)．
(1)点A和点B的3系和点的坐标为__________；
(2)已知点C(m,2)，若点B和点C的k系和点为点D(n,n)．
①求m的值；
②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个
整点，则k的值为__________；
③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标．
【答案】(1)(9,6)
3 1
(2)①m=0；② 或− ；③点D的坐标为(−6，−6)或(8，8)．
2 2
【分析】本题考查了新定义、求直角坐标系中点的坐标等知识点，准确理解材料是解题关键．
（1）根据定义计算即可；（2）①先根据点B和点C的k系和点为点D，列出方程，再根据点D的横坐标等于纵坐标，即可求得；
②由条件得点D在一三象限角平分线上，画出图，找到合适的点即可；
③分两种情况讨论，求得当点D在第一象限和点D在第三象限时，利用三角形面积公式列式计算即可求
解．
【详解】（1）解；∵ A(1，2)，B(2，0)，
且3×1+3×2=9，3×2+3×0=6，
∴点A和点B的3系和点的坐标为(9,6)．
故答案为：(9,6)；
（2）解：①∵点D(n,n)为B(2，0)和C(m，2)的k系和点，
∴n=2k+mk，n=2k．
即D(2k+mk,2k)．
∴2k+mk=2k，
∴mk=0，
∵k≠0，
∴m=0；
②∵m=0，
∴ D(2k,2k)，C(0，2)，
∵点D在一三象限角平分线上，如图，
∴符合条件的点有两个，且坐标分别为(−1，−1)，(3,3)，
∴ 2k=3或2k=−1，
3 1
∴k= 或− ，
2 2
3 1
故答案为： 或− ；
2 2③∵B(2，0)，C(0，2)，
∴△OBC的面积为2，
当点D在第一象限时，四边形OBDC的面积为16，
∴△OBD的面积为8，
∵D(2k,2k)，
1
∴ ×2×2k=8，解得k=4，
2
∴点D的坐标为(8，8)；
当点D在第三象限时，四边形OBDC的面积为12，
∴△OBD的面积为6，
∵D(2k,2k)，
1
∴ ×2×2k=6，解得k=3，
2
∴点D的坐标为(−6，−6)；
综上，点D的坐标为(−6，−6)或(8，8)．
1
4．（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+5的图象l 分别
2 1
与x轴、y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l 与l 交于点C(m,4)．
2 1
(1)求m的值及l 的解析式．
2
(2)一次函数y=kx+1的图象为l ，且l ，l ，l 不能围成三角形，直接写出k的值．
3 1 2 3
【答案】(1)m=2，l 的解析式为y=2x．
2
1 3
(2)− ，2或
2 2
【分析】（1）利用待定系数法将点C代入l 的解析式中即可求解，进而待定系数法求一次函数解析式，即
1
可求解；
（2）根据l 为正比例函数图象且过点C得出具体解析式，再由l 的解析式得其恒过点D(0,1)，后根据l 图
2 3 3象移动变化可知当与l ，l 平行或经过点C时符合题意，最后得出结论．
1 2
1
【详解】（1）把点C(m,4)代入y=− x+5得，
2
1
∵4=− m+5，
2
∴m=2．
设l 的解析式为y=k x．
2 1
∵4=2k ，解得k =2．
1 1
∴ l 的解析式为y=2x．
2
（2）如图，由题意得，
1
∵l 的解析式为y=− x+5，l 与l 相交于点C(2,4)，l 的解析式为y=2x．
1 2 1 2 2
∵l 的解析式为y=kx+1，当x=0时，y=1，
3
∴l 恒过点D(0,1)．
3
∵ l 、l 、l 不能围成三角形，
1 2 3
1
∴当l 与l 平行时，l 、l 、l 不能围成三角形，k=− ；
3 1 1 2 3 2
当l 与l 平行时，l 、l 、l 不能围成三角形，k=2；
3 2 1 2 3
3
当l 经过点C时，l 、l 、l 不能围成三角形，k= ．
3 1 2 3 2
1 3
∴当k=− ，2或 时，l 、l 、l 不能围成三角形．
2 2 1 2 3
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质的理解与综合应用能力．主要涉及一次函数图象上点的坐标特征，即经过函数的某点一定在函数的图象上；两直线平行，斜率相等,恰当利用待定系数法求出一次函数与
坐标轴的交点坐标，巧用“图象信息”进行分析是解本题的关键．
5．（24-25八年级·福建福州·期中）在直角坐标系中，已知A(a,0)，B(b,3)且a，b满足
❑√a+b−10+(a−6) 2=0．
(1)如图1，直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)已知C(2,c)，当三角形CAB的面积等于三角形OAB面积时，求点C的坐标；
(3)如图2，已知点P为线段OA上的一动点，过点P作PQ∥AB交OB于点Q，点C是线段AB上的一点，连
S 2
接QC、PC、BP，若 △PQC = ，求点Q的坐标．
S 3
△ABP
【答案】(1)A(6，0)，B(4，3)
(2)(2,−3)或(2,15)
(8 )
(3) ,2
3
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，即可求出点A和点B的坐标；
（2）首先根据三角形面积公式求出三角形OAB面积，然后分两种情况，分别根据S =S =9列方程
△CAB △OAB
求解即可；
（3）连接AQ，作QN⊥OA，BN⊥OA分别交OA于点M和点N，首先根据题意得到S =S ，然
△APQ △CPQ
S 2 S 2
后结合 △PQC = 得到 △APQ= ，根据QN⊥OA，BN⊥OA求出QM=2，然后求出直线OB的解析式，
S 3 S 3
△ABP △ABP
将y=2代入即可求出点Q的坐标．{a+b=10)
【详解】（1）解：由题意可得， ，
a−6=0
{a=6)
解得， ，
b=4
∴A(6，0)，B(4，3)；
（2）∵A(6，0)，B(4，3)
1
∴S = ×6×3=9
△OAB 2
∴S =S =9
△CAB △OAB
∴当c<3时，
1 1 1
∴4×(3−c)− ×2×(3−c)− ×4×(−c)− ×2×3=9
2 2 2
∴解得c=−3
∴点C的坐标为(2,−3)；
∴当c>3时，
1 1 1
∴ ×4c− ×2(c−3)− ×2×3−2×3=9
2 2 2
∴解得c=15
∴点C的坐标为(2,15)；
综上所述，点C的坐标为(2,−3)或(2,15)；
（3）如图所示，连接AQ，作QM⊥OA，BN⊥OA分别交OA于点M和点N，
∵PQ∥AB
∴S =S
△APQ △CPQ
S 2
∵ △PQC =
S 3
△ABPS 2
∴
△APQ=
S 3
△ABP
∵QM⊥OA，BN⊥OA
QM 2
∴ =
BN 3
QM 2
∴ =
3 3
∴QM=2
∴设直线OB的解析式为y=kx
3
∴将B(4，3)代入得，3=4k，解得k=
4
3
∴y= x
4
3
∴将y=2代入得，2= x
4
8
∴解得x=
3
(8 )
∴点Q的坐标为 ,2 ．
3
【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、一次函数、坐标与图形性质，掌握坐标与图形
性质及三角形的面积公式是解题的关键．
6．（24-25八年级·山东济南·期中）如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC
＝10cm点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
(1)由图2知，点E运动的时间为_____s，速度为______cm/s，点E停止运动时距离点C_____cm；
(2)求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm²）与运动时间x（s）之间的关系式；(3)当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
【答案】(1)3，3，1；
(2)y＝12x（0＜x≤3）；
(3)36cm2．
【分析】（1）根据图像解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】（1）解：（1）根据题意和图像可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s，
当点E停止运动时，BE＝3×3＝9cm，此时距离点C：10−9＝1cm，
故答案为：3，3，1；
1 1
（2）根据题意得y＝ BE×AD＝ ×3x×8＝12x，
2 2
即y＝12x（0＜x≤3）；
（3）当x＝3时，y＝12×3＝36cm2，
故点E停止运动后， ABE的面积为36cm2．
【点睛】本题主要考查△了动点问题的函数图像，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图像是解
决问题的关键．
7．（24-25八年级·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做
“整点坐标”．若正比例函数y=kx(k≠0)的图象与直线y=3及y轴围成三角形．
(1)当正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点（1，1）
①k的值为 ．
②此时围成的三角形内（不包含三角形边上的点）的“整点坐标”有 个；写出“整点坐标” ．(2)若在y轴右侧，由已知围成的三角形内（不包含三角形边上的点）有3个“整点坐标”，求k的取值范
围．
【答案】(1)①1；②1，（1，2）；
2
(2) ≤k＜1．
3
【分析】（1）①把（1，1）代入y=kx，可求出k的值，②画出函数的图象，可知三角形内有1个“整点坐
标”；（2）当直线y=x绕着点O顺时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即k＜1，当直线y=kx过点（3，
2时，k取最小值，可得取值范围．
【详解】（1）①∵正比例函数y=kx（k≠0）图象过点（1，1），∴代入得：1=k，即k=1，故答案为：1；
②如图，
直线y=x、直线y=3和y轴围成的三角形是三角形AOB，则三角形AOB内的“整点坐标”有1个，（1，
2），故答案为：1，（1，2）；
2
（2）当直线y=kx过点（3，2）时，其关系式为y= x，当直线y=kx过点A（3，3）时，其关系式为
3
2
y=x，此时刚好三个“整点坐标”，∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为 ≤k＜1．
3
【点睛】考查一次函数的图象上点的坐标特征，理解“整点坐标”的实际意义是正确解答的前提．
8．（24-25八年级·天津宝坻·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正
比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1）
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
(2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐
标.（3）连接CB，求三角形BCD的面积.
1
【答案】（1）y=-x+4，y= x；（2）点D为（6，-2）；（3）12.
3
【详解】试题分析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx即可得到结论；
1
（2）由二直线平行，得到直线CD为y= x+4，解方程组得到点D为（6，-2）；
3
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx得1=-3+b，1=3k，
1
解得：b=4，k= ，
3
1
∴y=-x+4，y= x；
3
（2）∵二直线平行，CD经过C（0，-4），
1
∴直线CD为y= x+4，
3
y=-x+4
由题意得：{ 1
y= x-4
3
x＝6
解之得{ ，
y＝−2
∴点D为（6，-2）；
1
（3）由y= x+4中，令x=0，则 y=4，
3
∴A（0，4），
∴AC=8，1 1
∴S =S -S = ×8×6- ×8×3=12．
△BCD △ACD △ABC 2 2
【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题
意是解题的关键．
1
9．（24-25八年级·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线1 :y= x与直线l 交于点A(3，n)将直线l
1 3 2 1
向下平移5个单位长度，得到直线l，直线l 与y轴交于点B，与直线l 交于点C，点C的纵坐标是-2，直
3 3 2
线l 与y轴交于点D．
2
（1）求直线l 的表达式；
2
（2）求三角形BDC的面积．
1 5 135
【答案】（1）y=− x+ ；（2）
2 2 4
1
【分析】（1）把x=3代入y= x，得y=1，求出A（3，1）．根据平移规律得出直线l 的解析式为
3 3
1
y= x−5，求出B（0，-5）、C（9，-2）．设直线l 的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利
3 2
用待定系数法即可求出直线l 的解析式；
2
5 15
（2）根据直线l 的解析式求出D（0， ），得出BD= ，再利用三角形的面积公式即可求出 BDC的面
2 2 2
△
积．
1
【详解】（1）把x=3代入y= x，得y=1，
3
∴A的坐标为（3，1）．
∵将直线l 向下平移5个单位长度，得到直线l，
1 31
∴直线l 的解析式为y= x−5，
3 3
∴x=0时，y=-5，
∴B（0，-5）．
1
将y=-2代入y= x−5，得x=9，
3
∴点C的坐标为（9，-2）．
设直线l 的解析式为y=kx+b，
2
∵直线l 过A（3，1）、C（9，-2），
2
{ 3k+b＝1 )
∴ ，
9k+b＝−2
1
{ k＝− )
2
解得 ，
5
b＝
2
1 5
∴直线l 的解析式为y=− x+ ；
2 2 2
1 5
（2）∵y=− x+ ，
2 2
5
∴x=0时，y= ，
2
5
∴D（0， ）．
2
∵B（0，-5），
15
∴BD= ，
2
1 15 135
∴△BDC的面积= × ×9= ．
2 2 4
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特
征，三角形的面积，正确求出求出直线l 的解析式是解题的关键．
2
10．（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，A(a,0)，C(b,2)，过C作
CB⊥x轴，且满足(a+b) 2+❑√a−b+4=0．(1)求三角形ABC的面积．
(2)若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度
数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)45°
(3)P点坐标为(0,3)或(0,−1)
【分析】（1）根据非负数的性质得到a=−b，a−b+4=0，解得a=−2，b=2，则A(−2,0)，B(2,0)，
C(2,2)，即可计算出三角形ABC的面积；
（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，过E作
EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所
1
以∠AED=∠1+∠2= ×90°=45°；
2
1
（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y= x+1，则G点坐标为(0,1)，然后利用
2
S =S +S 进行计算．
△PAC △APG △CPG
【详解】（1）解：∵ (a+b) 2+❑√a−b+4=0，(a+b) 2≥0，❑√a−b+4≥0，
∴a=−b，a−b+4=0，
∴a=−2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A(−2,0)，B(2,0)，C(2,2)，
1
∴三角形ABC的面积= ×4×2=4；
2（2）解：∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
如图，过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
1 1
∴∠AED=∠1+∠2= (∠3+∠4+∠5+∠6)= ×90°=45°；
2 2
（3）解：存在．理由如下：
设P点坐标为(0,t)，直线AC的解析式为y=kx+b，
{−2k+b=0)
把A(−2,0)，C(2,2)，代入得 ，
2k+b=2
{ k= 1 )
解得 2 ，
b=1
1
∴直线AC的解析式为y= x+1，
2
∴G点坐标为(0,1)，
1 1
∴S =S +S = |t−1)⋅2+ |t−1)⋅2=4，
△PAC △APG △CPG 2 2
解得t=3或−1，
∴P点坐标为(0,3)或(0,−1)．
【点睛】本题考查非负数的性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，一次函数
的图象和性质等，解题的关键是综合应用上述知识点．【题型3 一次函数与四边形的综合】
1．（24-25·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数
y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
3 3 3 3
A．k= ，b= B．k=− ，b=−
2 4 2 4
3 3 3 3
C．k=− ，b=− D．k= ，b=
4 2 4 2
【答案】D
【分析】首先由图可知A(-2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得．
【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)，
把A、B的坐标分别代入解析式，得
{−2k+b=0)
2k+b=3
3
{ k= )
4
解得
3
b=
2
故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，结合题意和图形得到A、B的坐
标是解决本题的关键．
2．（24-25八年级·辽宁·期末）如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A、D是x轴上两点，若
四边形ABCD是长方形，且AB：AD＝1：3，则k的值是（ ）
2 2 2 2
A． B． C． D．
3 5 7 9
【答案】C【分析】设点B的坐标为（m，2m），结合矩形的性质可得出OA，AB，CD的长，由AB：AD＝1：3可得
出AD的长，结合OD＝OA+AD可求出OD的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐
标特征即可求出k值．
【详解】解：设点B的坐标为（m，2m），CD＝AB＝2m，OA=m
∵AB：AD＝1：3，
∴AD＝3AB＝6m，
∴OD＝OA+AD＝7m，
∴点C的坐标为（7m，2m）．
∵点C在直线y＝kx上，
∴2m＝7km，
2
∴k= ．
7
故选：C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，用字母表示出点C的坐标是解题的关键.
3．（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格，其右下角格点
（小正方形的顶点）A的坐标为(−1,1)，左上角格点B的坐标为(−4,4)，若分布在直线y=−kx−k两侧的
格点数相同，则k的取值可以是（ ）.
5 7 3
A． B． C．2 D．
2 4 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了过定点的直线旋转，正方形的对称性．由正方形的对称性，要使两侧格点一样，
直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线CD和直线CE之间运动，从而确定E(−3,3)，
D(−3,4)进而求解．
【详解】∵直线y=−k(x+1)过定点C(−1,0)，分布在直线y=−k(x+1)两侧的格点数相同，由正方形的对称性可知，直线y=−k(x+1)两侧的格点数相同，
∴在直线CD和直线CE之间，两侧格点相同，（如图）
∵E(−3,3)，D(−3,4)，
3
∴把E(−3,3)代入y=−k(x+1)得k=− ，
2
把D(−3,4)代入y=−k(x+1)得k=−2，
3 3
∴−2<−k<− ，则 <k<2．
2 2
故选：B．
4．（24-25八年级·山东淄博·期中）如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°,B(4,4)，点D在边AB上，
AD=2BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，若使四边形PCAD周长最小，则点P的坐标为
（ ）
(4 4) (3 3) (9 9) (12 12)
A． , B． , C． , D． ,
3 3 2 2 5 5 5 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称−最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，
正确找出点P的位置是解题的关键；作点C关于OB的对称点C′，连接PC′，若使四边形PCAD周长最小，
只要PC′+PD最小，当C′、P、D三点共线时，PC′+PD最小，设直线C′D交OB于E，则点P与E重合时，四边形PCAD周长最小，利用待定系数法求出直线C′D和OB的解析式，求出交点即可．
【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，连接PC′，
∵B(4,4) ∠OAB=90°
， ，
∴OA=AB=4，
∴∠BOA=45°，
∵点C关于OB的对称点C′，
∴∠C′OB=45°，CP+PC′，
∴若使四边形PCAD周长最小，只要PC′+PD最小，
当C′、P、D三点共线时，PC′+PD最小，
设直线C′D交OB于E，则点P与E重合时，四边形PCAD周长最小，
∴点C′在y轴上，且C′ (0,2)，
∵AD=2BD，
8
∴D(4, )，
3
设直线C′D的函数解析式为：y=kx+b，
{
b=2
)
8 ，
4k+b=
3
{ k= 1 )
∴ 6 ，
b=2
1
∴ y= x+2，
6
又∵直线OB:y=x，
{
y=x
)
∴ 1 ，
y= x+2
612
{ x= )
5
解得 ，
12
y=
5
12 12
∴点E( , )，
5 5
故选：D．
5．（24-25八年级·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐
标系，且AD位于x轴上，AB=CD=2，AD=BC=4，过定点P(0，2)和动点Q(a，0)的直线解析式为y=kx+2．
（1）若PQ经过点D，则k ．
（2）若PQ与长方形ABCD的边有公共点，且函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为 ．
【答案】 −1 k≥1
【分析】（1）根据坐标系，矩形的性质，确定点D（2，0），代入解析式求解即可；
（2）函数y随x的增大而增大，故k大于零，根据坐标系，矩形的性质，确定点A（-2，0），代入解析式
求解即可．
【详解】（1）∵长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，且
AB=CD=2，AD=BC=4，
∴A（-2，0），D（2，0），
∵过定点P（0，2）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+2，
∴2k+2=0，
解得k=-1，
故答案为：-1；
（2）∵函数y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵PQ与矩形ABCD的边由公共点，
∴经过点A时，是直线k的最小值，∴-2k+2=0，
解得k=1，
∴k≥1，
故答案为：k≥1．
【点睛】本题考查了坐标系的建立，矩形的性质，待定系数法确定解析式，一次函数的性质，熟练掌握矩
形的性质，待定系数法，一次函数的增减性是解题的关键．
6．（24-25八年级·河南驻马店·期末）将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小
正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线
y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点，则k的取值范围是 ．
1
【答案】 <k<2
2
【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围．
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标．
【详解】解：由题意得：点A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,1)，
当正比例函数y=kx(k≠0)经过点A时，k=2，
当经过点C时，2k=1，
1
解得k= ，
2
∵直线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点，
1
∴k的取值范围是 <k<2，
2
1
故答案为： <k<2．
2
7．（24-25八年级·安徽芜湖·期末）如图，八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原
点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为 ．9
【答案】y=− x
10
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质；设直线l和8个正方形的最上面交
于点A，过A作AB⊥y轴于B，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用
待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作AB⊥y轴于B，则OB=3，
∵直线l将这八个边长为1的正方形分成面积相等的两部分，
∴S =4+1=5，
△AOB
1
∴ AB×3=5，
2
10
∴AB= ，
3
( 10 )
∴点A坐标为 − ,3 ，
3
设直线l的解析式为y=kx，
( 10 ) 10
代入A − ,3 得：− k=3，
3 3
9
∴k=− ，
10
9
∴直线l解析式为y=− x．
109
故答案为：y=− x．
10
8．（24-25八年级·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x+2的图象与x轴，y轴分
1
1
别交于点A， B,y =− x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D,E，且两个函数图象相交于点C(m,5)．
2 3
(1)填空：b=______；
(2)求△ACD的面积；
(3)在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4:21？若存在，诸求出
点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b=6
(2)△ACD的面积为50
(3)存在点M，且M(6,0)
【分析】（1）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是将C(m,5)代入一次函数y =x+2与
1
1
y =− x+b；
2 3
（2）本题考查了一次函数的性质、三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质，求出点A、B、D
的坐标；
（3）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是求出S =8
△ABM
1
【详解】（1）解：∵C(m,5)是一次函数y =x+2与y =− x+b的图象的交点，
1 2 3
∴m+2=5，解得m=3，
1
∴− ×3+b=5，解得b=6；
3
（2）一次函数y =x+2中，当y =0时，x=−2；当x=0时，y =2，
1 1 1
∴A(−2,0),B(0,2)，1
一次函数y =− x+b中，当y =0时，x=18，
2 3 1
∴D(18,0)，
∴AD=18−(−2)=20，
1
∴ △ACD的面积为 ×20×5=50；
2
（3）∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4:21，S =50，
△ACD
4 4
∴S = ×50= ×50=8，
△ABM 4+21 25
∵B(0,2)，
设M(m,0)，则AM=x+2，
1
∴S = ×2×(m+2)，
△ABM 2
1
∴ ×2×(m+2)=8，
2
解得：m=6，
∴M(6,0)，
∴存在点M，且M(6,0)．
9．（24-25八年级·重庆巫山·期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，
BC⊥CD，BC=CD=2AD=4，连接AC，点E从点B出发，沿折线B→C→D，运动，到点D时停止
运动，连接AE，设点E的运动路程为x，△ACE的面积为y ．
1
(1)请直接写出y 关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
1
(2)在给定的平面直角坐标系中画出y 的函数图象，并写出该函数的一条性质；
1
1
(3)y =− x+5的函数图象如图所示，请根据图象直接写出y <y 时自变量x的取值范围．
2 2 1 2【答案】(1) y =
{−2x+8(0≤x≤4))
1 x−4(4<x≤8)
(2)图象见解析，当0≤x≤4时，y 随着x的增大而减小，当4<x≤8时，y 随着x的增大而增大；
1 1
(3)2<x<6
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、求函数解析式、根据图象求不等式的解集，数形结合和分类
讨论是解题的关键．
（1）分0≤x≤4和4<x≤8两种情况求出解析式即可；
（2）根据自变量的范围画出函数图象，并写出一条性质即可；
（3）求出函数图象的交点坐标，根据图象的位置写出答案即可．
【详解】（1）∵AD∥BC，BC⊥CD，BC=CD=2AD=4，设点E的运动路程为x，△ACE的面积
为y ．
1
∴AD⊥CD，AD=2
1 1
则当0≤x≤4时，y = CE⋅CD= ×(4−x)×4=−2x+8，
1 2 2
1 1
当4<x≤8时，y = CE⋅AD= ×(x−4)×2=x−4，
1 2 2
y =
{−2x+8(0≤x≤4))
∴
1 x−4(4<x≤8)
（2）图象如图所示，
当0≤x≤4时，y 随着x的增大而减小，当4<x≤8时，y 随着x的增大而增大；
1 1{y=−2x+8
) {x=2)
（3）当0≤x≤4时，解 1 得， ，
y=− x+5 y=4
2
{
y=x−4
) {x=6)
当4<x≤8时，解 1 得， ，
y=− x+5 y=2
2
即y =−
1
x+5和 y =
{−2x+8(0≤x≤4))
的交点为(2,4),(6,2)，
2 2 1 x−4(4<x≤8)
根据图象可知，y <y 时自变量x的取值范围为2<x<6
1 2
10．（24-25八年级·北京昌平·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两个顶点坐标为A(3,0)
，B(3,2)．
(1)求对角线AC所在直线对应的函数表达式；
2
(2)若点P在x轴上，且S = S ，求点P的坐标．
△CAP 3 △COA
2
【答案】(1)y=− x+2
3
(2)P(1,0)或(5,0)
【分析】（1）求出点C的坐标，用待定系数法即可求得函数解析式；
2
（2）由面积关系可得AP= OA=2，再由点A的坐标并考虑点P可在点A的两边，即可求得点P的坐
3
标．
【详解】（1）解：设直线l对应的函数表达式是y=kx+b(k≠0)，
∵A(3,0)，B(3,2)，
∴C(0,2)．
∵A(3,0)，C(0,2)在直线l上，
∴¿．解这个二元一次方程组，得
{ k=− 2 )
3 ．
b=2
2
∴直线l对应的函数表达式为y=− x+2．
3
2
（2）解：∵S = S ，且OA=3，
△CAP 3 △COA
2
∴AP= OA=2．
3
∵A(3,0)，
∴P(1,0)或(5,0)．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据面积关系求满足条件的点的坐标，注意点P的坐
标有两个，不要有遗漏．
【题型4 一次函数与几何图中结合的规律探究】
1 1
1．（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，直线l :y=x+1与直线l :y= x+ 相交于点P(−1,0)．直线l
1 2 2 2 1
与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，改为垂直
2 1
于x轴的方向运动，到达直线l 上的点A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，又
1 1 2 2
改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…，照此规律运动，动
1 2
点C依次经过点B ,A ,B ,A ,B ,A ,…,B ,A ,…，则当动点C到达A 处时，运动的总路径的
1 1 2 2 3 3 2023 2023 2023
长为（ ）
A．22023−1 B．22024−2 C．22023−2 D．22024−1
【答案】B
【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关
键．点，A ，B 所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点C到达点A 处时，
1 1 n
运动的总路径的长为2+22+23+⋯+2n=2n+1−2，据此即可求解．
【详解】解：由直线l ：y=x+1可知，A(0,1)，
1由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线l 、l 对应的函数表达式可知，
1 2
B (1,1)，AB =1，A (1,2)，A B =2−1=1，AB +A B =2，
1 1 1 1 1 1 1 1
B (3,2)，A (3,4)，A B =3−1=2，A B =4−2=2，A B +A B =2+2=4=22 ，…，
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
由此可得，A B =2n ，
n−1 n
∴当动点C到达点A 处时，运动的总路径的长为2+22+23+⋯+2n=2n+1−2，
n
∴当点C到达A 处时，运动的总路径的长为22024−2．
2023
故选：B．
2．（24-25八年级·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，直线l:y=x−1与x轴交于点A ，如图所示，依
1
次作正方形A B C O，正方形A B C C ，…，正方形，使得点A 、A 、A 、…，在直线l上，点C ，
1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 1
C ，C ，…，在y轴正半轴上，则点B 的坐标为（ ）
2 3 251
A．(2250,2251−1) B．(2251,2251) C．(2252,2251−1) D．(2250,2251+1)
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形、正方形的性质以及点的坐标的规律
性，根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质求出相应的边长是确定点坐标的关键．根据直线y=x−1
与x轴、y轴的交点坐标可判断出OA =1=A B =B C =OC ，△A B A 、△A B A 、△A B A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
⋯都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质以及正方形的性质可求出相应的边长，进而求出点B
1
、B 、B 、⋯，B 的坐标．
2 3 251
【详解】解：在y=x−1中，令x=0，得y=−1，令y=0，得x=1，
所以直线y=x−1与x轴交于点A (1,0)，与y轴的交点坐标为(0,−1)，
1
因此有OA =1=A B =B C =OC ，△A B A 、△A B A 、△A B A ，⋯都是等腰直角三角形，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
所以点B 的横坐标为1=20，纵坐标为1=21−1，
1
点B 的横坐标为2=21，纵坐标为1+2=3=22−1，
2点B 的横坐标为4=22，纵坐标为1+2+4=7=23−1，
3
点B 的横坐标为8=23，纵坐标为1+2+4+8=15=24−1，
4
⋯⋯
点B 的横坐标为2250，纵坐标为2251−1，
251
即点(2250,2251−1)，
故选：A．
3．（24-25八年级·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (−1,1)在直线y=x+b上，过点A
1 1
作A B ⊥x轴于点B ，作等腰直角三角形A B B （B 与原点O重合），再以A B 为腰作等腰直角三角
1 1 1 1 1 2 2 1 2
形A A B ，以A B 为腰作等腰直角三角形A B B ，……按照这样的规律进行下去，那么A 的坐标为
2 1 2 2 2 2 2 3 2024
（ ）
A．(22024−1,22024) B．(22024−2,22024) C．(22023−1,22023) D．
(22023−2,22023)
【答案】D
【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A (0,2)，A (2,4)，A (6,8)，根据坐标
2 3 4
的变化即可找出变化规律A (2n−1−2，2n−1 )．即可得出点A 的坐标．本题考查了一次函数图象上点的
n 2024
坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出A 坐标的变化规律，本题属
n
于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质
找出线段的变化规律是关键．
【详解】解：依题意
结合等腰三角形的性质，结合图象得出点B 、B 、B 、…、B 在x轴上，且A B =B O，A O=B O，
1 2 3 n 1 1 1 2 3A B =B B ，
3 3 3 4
∵A (−1,1)，
1
把A (−1,1)代入y=x+b
1
得出1=−1+b
∴b=2
∴直线y=x+b=x+2，
当x=0时，则y=0+2=2
∴A (0,2)，
2
∵A O=B O，
2 3
∴A O=B O=2，
2 3
把x=2，则y=2+2=4
即A (2,4)，
3
∵A B =B B =4
3 3 3 4
∴把x=OB =4+2=6，则y=6+2=8
4
即A (6,8)，
4
…，
∴A (2n−1−2，2n−1 )．
n
∴A 的坐标为(22023−2,22023)
2024
故选：D
4．（24-25·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点
的横坐标是 .
【答案】10
【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．
【详解】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
5．（24-25八年级·广西南宁·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A(1,0)，点A ，A ，A ，
1 2 3
A ，A ，……按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标
4 5
也都相差1，则A 的坐标为 ．
2022
【答案】（1012，1011）
【分析】通过题意得出A（2，1），A（3，2），A（4，3），A（5，4），A （6，5）...，观察这些点
2 4 6 8 10
n n
的坐标可得当n为偶数时，An的纵坐标为 ，横坐标为 +1，从而得出结论．
2 2
【详解】解：由题意知，A，A，A，A，...，A 都在第一象限，且A（2，1），A（3，2），A（4，
2 4 6 8 2022 2 4 6
3），A（5，4），A （6，5）...，
8 10
n n
∴当n为偶数数时，An的纵坐标为 ，横坐标为 +1，
2 2
2022
∴A 的纵坐标为 =1011，横坐标为1011+1=1012，
2022 2
即A （1012，1011）．
2022
故答案为：（1012，1011）．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出坐标的规律．
6．（24-25八年级·广东汕头·阶段练习）如图，过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=3x于点B ；点A 与
1 1 2
点O关于直线A B 对称；过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=3x于点B ；点A 与点O关于直线A B
1 1 2 2 3 2 2对称；过点A (4,0)作x轴的垂线，交直线y=3x于点B ；…，按此规律作下去，则下列点的坐标为：
3 3
（1）B ( )；（2）B ( )．
3 n
【答案】 (4,12) (2n−1,3×2n−1)
【分析】先根据题意求出A 点的坐标，再根据A 点的坐标求出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点
2 2 2
B 的坐标．
n
【详解】解：∵点A 坐标为(1,0)，
1
∴OA =1，
1
过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，可知B 点的坐标为(1,3)，
1 1 1
∵点A 与点O关于直线A B 对称，
2 1 1
∴OA =A A =1，
1 1 2
∴OA =1+1=2，
2
∴点A 的坐标为(2,0)，B 的坐标为(2,6)，
2 2
∵点A 与点O关于直线A B 对称．
3 2 2
∴点A 的坐标为(4,0)，B 的坐标为(4,12)，
3 3
…，
依此类推，点A 的坐标为(2n−1,0)，点B 的坐标为(2n−1,3×2n−1)．
n n
故答案为：①(4,12)，②(2n−1,3×2n−1)
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴
对称的性质．
7．（24-25八年级·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为顶点作正方形PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均
1 2 3 4 5 6
在格点上，其中正方形PA A A 的顶点坐标分别为P(−3,0)，A (−2,1)，A (−1,0)，A (−2,−1)，则
1 2 3 1 2 3
顶点A 的坐标为 ．
102
【答案】(31，−34)
【分析】本题考查了一次函数解析式，点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由图象可知，A 、A 、A 、A ……A 在直线y=x+3上，A 、A 、A 、A ……A 在x轴上，
1 4 7 10 3n−2 2 5 8 11 3n−1
A 、A 、A 、A ……A 在直线y=−x−3上，由102=3×34，可知A =A ，即A 在直线
3 6 9 12 3n 102 3×34 102
y=−x−3上，由A (−2,−1)，A (−1,−2)，A (0,−3)，可推导A (n−3，−n)，根据
3 6 9 3n
A =A (34−3，−34)，作答即可．
102 3×34
【详解】解：由图象可知，A 、A 、A 、A ……A 在直线y=x+3上，
1 4 7 10 3n−2
A 、A 、A 、A ……A 在x轴上，
2 5 8 11 3n−1
A 、A 、A 、A ……A 在直线y=−x−3上，
3 6 9 12 3n
∵102=3×34，
∴A =A ，
102 3×34
∴A 在直线y=−x−3上，
102
∵A (−2,−1)，A (−1,−2)，A (0,−3)，
3 6 9
∴A (n−3，−n)，
3n
∴A =A (34−3，−34)，即A (31，−34)，
102 3×34 102
故答案为：(31，−34)．
8．（24-25八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (1,1)在直线y=x图象上，过
1
A 点作y轴平行线，交直线y=−x于点B ，以线段A B 为边在右侧作正方形A B C D ，C D 所在的直
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
线交y=x的图象于点A ，交y=−x的图象于点B ，再以线段A B 为边在右侧作正方形A B C D …依
2 2 2 2 2 2 2 2
此类推．按照图中反映的规律，则点A 的坐标是 ；第2020个正方形的边长是 ．
n【答案】 (3n−1，3n−1) 2×32019
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边
长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长
为18，以此类推，可得A (3n−1，3n−1)，B (3n−1，−3n−1)，从而得到答案．
n n
【详解】解：由题意，A (1,1)，B (1，−1)，
1 1
∴A B =2，
1 1
则第一个正方形的边长为2，
即A D =2，
1 1
∴A (3，3)，B (3，−3)，
2 2
∴A B =6，
2 2
则第二个正方形的边长为6，
即A D =6，
2 2
∴A (9，9)，B (9，−9)，
3 3
∴A B =18，
3 3
则第三个正方形的边长为18，
即A D =18，
3 3
∴A (27，27)，B (27，−27)，
4 4
以此类推，
可得A (3n−1，3n−1)，B (3n−1，−3n−1)，
n n
∴第2020个正方形的边长为2×32019．故答案为：(3n−1，3n−1)；2×32019．
9．（24-25八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A (2,2)在直线y=x上，过点A
1 1
1
作A B ∥y轴，交直线y= x于点B，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三
1 1 2 1 1 1 1 1
1
角形A B C ，再过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ,B 两点，以A 为直角顶点．
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C ，按此规律进行下去，点C 的横坐标为
2 2 2 2 1 1 1 1
，点C 的横坐标为 ．
2021
(3) 2021
【答案】 3 2×
2
3 9 (3) 2
【分析】先根据题目中的已知条件求出点C 的横坐标为3=2× ，点C 的横坐标为 =2× ，点C 的
1 2 2 2 2 3
27 (3) 3 81 (3) 4 (3) n
横坐标为 =2× ，点C 的横坐标为 =2× …，由此总结得出点C 的横坐标为2× ，最后
4 2 4 8 2 n 2
求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点C 的横坐标
n
(3) n
为2× ．
2
1
【详解】解：∵点A (2，2)，A B ∥y轴交直线y= x于点B，
1 1 1 2
∴B (2,1)，
1
∴A B =2−1=1，即A C =1，
1 1 1 1
∵A C =A B =1，
1 1 1 1
3
∴点C 的横坐标为3=2× ，
1 21
∵过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，
1 2 2 2 2 2
( 3)
∴A (3，3)，B 3,
2 2 2
3 3
∴A B =3− = ，
2 2 2 2
3
∴A C = ，
2 2 2
9 (3) 2
∴点C 的横坐标为， =2× ；
2 2 2
以此类推，
9 9
A B = ，即A C = ，
3 3 4 3 3 4
27 (3) 3
∴点C 的横坐标为 =2× ，
3 4 2
27 27
A B = ，即A C = ；
4 4 8 4 4 8
81 (3) 4
点C 的横坐标为 =2× …
4 8 2
(3) n−1 (3) n−1
∴A B = ，即A C = ．
n n 2 n n 2
(3) n
∴点C 的横坐标为2× ，
n 2
(3) 2021
∴点C 的横坐标为2× ．
2021 2
(3) 2021
故答案为：3，2× ．
2
10．（24-25八年级·四川成都·期中）如图，点A (2,1)在直线y=kx上，过点A 作A B ∥y轴交x轴于点
1 1 1 1
B ，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右侧作等腰直角△A B C ，再过点C 作A B ∥y
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
轴，分别交直线y=kx和x轴于A ，B 两点，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右侧作等腰直
2 2 2 2 2 2 2
角△A B C …，按此规律进行下去，则点C 的坐标为 ；点C 的坐标为 （结果用含正
2 2 2 1 n
整数n的代数式表示）．[ (3) n−1 (3) n−1 )
【答案】 (3，1) 3× ,
2 2
【分析】先根据点A 的坐标以及A B ∥y轴，求得B 的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到B 的
1 1 1 1 2
坐标，即可求得A 的坐标，从而求得C 的坐标，进而得到B 的坐标，求得A 的坐标，从而求得C 的坐
2 1 3 3 2
标，最后根据根据变换规律，求得C 的坐标．
n
【详解】解：∵点A (2,1)在直线y=kx上，
1
1
∴1=2k，解得：k= ，
2
1
∴直线为y= x，
2
∵过点A 作A B ∥y轴交x轴于点B ，以点A 为直角顶点，A B 为直角边在A B 的右侧作等腰直角
1 1 1 1 1 1 1 1 1
△A B C ，
1 1 1
∴A C ∥x轴，
1 1
∴B (3，0)，C (3，1)，
2 1
1 3 ( 3)
当x=3时，y= x= ，即A 3, ，
2 2 2 2
(9 )
∴B ,0 ，
3 2
(9 3)
∴C , ，
2 2 2
∴以此类推，
(27 9) 27 9
C , （ ， ），
3 4 4 4 4
…
[ (3) n−1 (3) n−1 )
C 3× , ．
n 2 2[ (3) n−1 (3) n−1 )
故答案为：(3，1)； 3× , ．
2 2
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通
过计算找出变换规律，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx．
【题型5 与一次函数相关的存在性问题】
1．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，直线l ：y=−2x+6与过点B(−3,0)的直线l 交于点C(1,m)
1 2
，且直线l 与x轴交于点A，与y轴交于点D．
1
(1)求直线l 的解析式；
2
(2)若点M是直线l 上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全
2
等，求所有满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)y=x+3
(2)(3,6)或(−6,−3)
【分析】（1）先根据点C(1,m)在直线l 上求出m的值，再根据点C和点B求出直线l 的解析式；
1 2
（2） 先分别计算出OA、OD的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据ON=OA和
ON=OD两种情况进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵C(1,m)在直线l 上，
1
∴m=−2+6=4，
∴点C的坐标为(1，4)，
设直线的l 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
2
∵点C(1,4)和点B(−3,0)在直线l 上，
2
{4=k+b
)
∴ ，
0=−3k+b
解方程组得k=1，b=3，
∴直线l 的解析式为：y=x+3；
2（2）解：直线l 上，当y=0时，x=3；当x=0时，y=6，
1
∴OA=3，OD=6，
当点M在x轴下方时，设点M的坐标为(m,n)，如下图所示，
当ON=OA=3时，n=−3，
∵点M在直线l 上，
2
∴−3=m+3，
∴m=−6，
∴MN=6，
{
MN=OD
)
∵ ∠AOD=∠MNO ，
ON=OA
∴△MNO≌△AOD(SAS)，
∴点M(−6，−3)满足条件，
当ON=OD=6时，n=−6，
得m=−9，
∵MN=9≠OA，
∴点M(−9,−6)不满足题意，舍去；
当点M在x轴上方时，设点M的坐标为(m,n)，如下图所示，
当ON=OA=3时，n=3，∵点M在直线l 上，
2
∴3=m+3，
∴m=0，
∴MN=0，
∵MN≠OD，
∴点M(0,−3)不满足题意，舍去；
当ON=OD=6时，n=6，
∵点M在直线l 上，
2
∴6=m+3，
∴m=3，
∴MN=3=OA，
{
MN=OA
)
∵ ∠AOD=∠MNO ，
ON=OD
∴△MNO≌△DAO(SAS)，
∴点M(3,6)满足条件，
∴满足条件的点M的坐标为(3，6)，(−6，−3)．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征和全等三角形的性质，涉及分类讨
论思想的运用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式．
2．（24-25八年级·河南许昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l 的表达式为y =2x−6，
1 1
交x轴于点D．点A(1,0)，B(0,2)分别在直线l ：y =kx+b上，两条直线相交于点P．
2 2
(1)求直线l 的表达式；
2
(2)直接写出不等式y >y 的解集；
1 2
(3)若直线l 上存在一点C，使得△ADC的面积等于△APO的面积的2倍，求出点C的坐标．
1【答案】(1)y =−2x+2
2
(2)x>2
(3)(4,2)或(2,−2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、根据两直线的交点求不等式的解集、三角形面积公
式、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出答案；
{ y =2x−6 )
（2）联立 1 ，得出P(2,−2)，结合图象即可得出答案；
y =−2x+2
2
1
（3）先求出S = OA⋅|y )=1，再求出D(3,0)，得到AD=2，设C(m,2m−6)，再根据
△AOP 2 P
1 1
S = AD⋅|y )= ×2×|2m−6)=2，计算即可得出答案．
△ADC 2 C 2
【详解】（1）解：∵点A(1,0)，B(0,2)分别在直线l ：y =kx+b上，
2 2
{k+b=0)
∴ ，
b=2
{k=−2)
解得： ，
b=2
∴直线l 的表达式为：y =−2x+2；
2 2
{ y =2x−6 )
（2）解：联立 1 ，
y =−2x+2
2
{ x=2 )
解得： ，
y=−2
∴P(2,−2)，
∴由图象可得：不等式y >y 的解集为：x>2；
1 2
（3）解：∵A(1,0)，
∴OA=1，
1 1
∴S = OA⋅|y )= ×1×2=1，
△AOP 2 P 2
在y =2x−6中，当y =0时，2x−6=0，解得x=3，即D(3,0)，
1 1
∴AD=3−1=2，
∵直线l 上存在一点C，
1∴设C(m,2m−6)
∵△ADC的面积等于△APO的面积的2倍，
1 1
∴S = AD⋅|y )= ×2×|2m−6)=2，
△ADC 2 C 2
解得：m=4或m=2，
∴C(4,2)或(2,−2)．
3．（24-25八年级·上海·阶段练习）已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x
轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
2
(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数y=kx上存在一点M，使得S = S .若存在，请求出点M
ΔAPM 3 ΔOPM
的坐标；若不存在，请说明理由
2
【答案】(1)正比例函数的解析式是y=− x
3
(2)P点坐标为(5,0)或(−5,0)
(9 6)
(3)点M的坐标为 ,− 或(9,−6)
5 5
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两
个．
（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．
( 2 )
（3）设点M x,− x ，当P(5,0)或P(−5,0)时，分点M在线段OA上与在线段OA延长线两种情况，由
3
2
S = S 列方程，从而可得点M的坐标．
ΔAPM 3 ΔOPM
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
1
∴ ×3×AH=3，
2
解得，AH=2，
∴点A的坐标为(3,−2)，
∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=−2，
2
解得k=− ，
3
2
∴正比例函数的解析式是y=− x；
3
（2）解：存在．
设P(t,0)，
∵△AOP的面积为5，点A的坐标为(3,−2)，
1
∴ ×|t)×2=5，
2
∴t=5或t=−5，
∴P点坐标为(5,0)或(−5,0)．
( 2 )
（3）解：设M x,− x ，如图，
3
①点M在OA上时，
当P(5,0)时，OP=5，
又A(3,−2),
2 1 1 2 1
若S = S 时， ×OP×|y )− ×OP×|y )= × ×OP×|y )，
ΔAPM 3 ΔOPM 2 A 2 M 3 2 M
1 1 2 2 1 2
∴ ×5×2− ×5× x= × ×5× x，
2 2 3 3 2 3
9
解得，x= ，
5
2 9 6
∴y=− × =− ，
3 5 5
(9 6)
∴M点的坐标为 ,− ；
5 5当点P(−5,0)时，OP=5，
2 1 1 2 1
若S = S 时， ×OP×|y )− ×OP×|y )= × ×OP×|y )，
ΔAPM 3 ΔOPM 2 A 2 M 3 2 M
1 1 2 2 1 2
∴ ×5×2− ×5× x= × ×5× x，
2 2 3 3 2 3
9
解得，x= ，
5
2 9 6
∴y=− × =− ，
3 5 5
(9 6)
∴M点的坐标为 ,− ；
5 5
②点M在OA的延长线上时，
当P(5,0)时，OP=5，
2 1 1 2 1
若S = S 时， ×OP×|y )− ×OP×|y )= × ×OP×|y )，
ΔAPM 3 ΔOPM 2 M 2 A 3 2 M
1 2 1 2 1 2
∴ ×5× x− ×5×2= × ×5× x，
2 3 2 3 2 3
解得，x=9，
2
∴y=− ×9=−6，
3
∴M点的坐标为(9,−6)；
当点P(−5,0)时，OP=5，
2
若S = S 时，同理可得，M点的坐标为(9,−6)；
ΔAPM 3 ΔOPM
(9 6)
综上，点M的坐标为 ,− 或(9,−6)．
5 5
4．（24-25八年级·山东威海·期末）已知，点A(1，m)在直线y=3x−4上，过点A的直线交y轴于点
B(0，4)．
(1)求m的值和直线AB的函数表达式；
(2)点C(n−1，y )，D(n+1，y )分别在直线y=3x−4，直线AB上．若n≥3，判断p= y −y 是否存
1 2 2 1
在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m的值为−1，y=−5x+4
(2)存在，最大值−18【分析】（1）根据一次函数的性质可知A(1,−1)，利用待定系数法即可解答；
（2）根据一次函数的性质可知p= y −y =−8n+6，再利用一次函数的性质可知p随n的增大而减小即
2 1
可．本题考查了一次函数的性质，待定系数法，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将A(1,m)代入y=3x−4，得：m=3×1−4=−1，
∴A(1,−1)，
∴设直线AB解析式为y=kx+b，
将A(1,−1)，B(0,4)代入y=kx+b，
得¿，
解得：¿，
∴直线AB解析式为y=−5x+4；
（2）解：p= y −y 存在最大值−18，理由如下：
2 1
∵点C(n﹣1,y )在直线y=3x−4上，点D(n+1,y )在直线y=−5x+4上，
1 2
∴y =3n−7，y =−5n−1，
1 2
∴p= y −y =−5n−1−(3n−7)=−8n+6，
2 1
∵−8<0，
∴p随n的增大而减小，
∵n≥3，
∴p≤−18，
∴p= y −y 存在最大值−18．
2 1
5．（24-25八年级·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数解析式为y=x−1，与
1
x轴，y轴分别交于点A，点B，直线l 的函数解析式为y=kx+b，与x轴，y轴分别交于点C(6,0)，点D，
2
8
直线l 与l 交于点E，已知点E的横坐标为 ．
1 2 3
(1)求直线l 的函数解析式；
2
(2)若直线l 上存在点P，使得S =6，请求出点P的坐标；
2 △OCP
(3)已知M是线段BE上的动点，过点M作直线MN平行于y轴，交直线l 于点N，过点M作y轴的垂线，
2交y轴于点Q，是否存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1:2？若存在，请求出满足条件的所有点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)直线l 的函数表达式为y=− x+3；
2 2
(2)点P的坐标为(2,2)或(10,−2)；
(8 1)
(3)点M的坐标为 , 或(2,1)．
7 7
【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解
答；
8 (8 5)
（1）将点E的横坐标 ，代入y=x−1求得点E的坐标为 , ，再利用待定系数法求得直线l 的函数表
3 3 3 2
达式；
1 1
（2）根据S = OC⋅|y )=6，解出y =2或y =−2，将其代入y=− x+3即可解答；
△OPC 2 P P P 2
( 1 )
（3）设点M(m,m−1)，则N m,− m+3 ，Q(0,m−1)，表示出
2
| ( 1 )) |3 ) 1
MN= (m−1)− − m+3 = m−4 ，MQ=|m|，分两种情况：①当MN= MQ时，②当
2 2 2
MN=2MQ时，分别进行计算即可解答；
8 8 5
【详解】（1）解：对于y=x−1，当x= 时，y= −1= ．
3 3 3
(8 5)
所以点E的坐标为 , ．
3 3
(8 5)
将E , ，C(6,0)代入y=kx+b，
3 3
{8
k+b=
5
)
得 3 3 ，
6k+b=0
{ k=− 1 )
解得 2 ．
b=3
1
∴直线l 的函数表达式为y=− x+3；
2 2（2）解：∵C(6,0)，
1 1
∴S = OC⋅|y )= ×6×|y )=6，
△OPC 2 P 2 P
解得y =2或y =−2．
P P
1
当y =2时，− x+3=2，
P 2
解得x=2；
1
当y =−2时，− x+3=−2，
P 2
解得x=10．
∴点P的坐标为(2,2)或(10,−2)；
（3）解：存在．
( 1 )
设点M(m,m−1)，则N m,− m+3 ，Q(0,m−1)．
2
| ( 1 )) |3 )
所以MN= (m−1)− − m+3 = m−4 ，MQ=|m|．
2 2
分两种情况：
1 |3 ) 1
①当MN= MQ时， m−4 = |m|，
2 2 2
解得m=2或m=4（舍去）．
所以点M的坐标为(2,1)；
|3 )
②当MN=2MQ时， m−4 =2|m|，
2
8
解得m= 或m=−8（舍去）．
7
(8 1)
所以点M的坐标为 , ．
7 7
(8 1)
综上，满足条件的所有点M的坐标为 , 或(2,1)．
7 7
6．（24-25八年级·河南安阳·期末）如图，直线l 的函数表达式为y=x+1，且l 分别交x轴、y轴于点A，
1 1
B；直线l 的函数表达式为y=kx+b，l 经过点C(0,−1)，分别交x轴、直线l 于点D，E，且E点坐标为
2 2 1
(n,3)．(1)则k=_____，b=______；
(2)直接写出不等式kx+b>x+1的解集；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P，使得△PDE的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)k=2，b=−1
(2)x>2
( 3)
(3)存在，点P 0,
5
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象即可求解；
(1 )
（3）作点E关于y轴对称点E′，连接DE′，交y轴于点P，此时△PDE周长最小，求出点D ,0 ，然后
2
6 3
再用待定系数法求出直线DE′解析式为y=− x+ 即可；
5 5
本题考查一次函数的图象及性质，轴对称最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：把(n，3)代入y=x+1得：3=n+1，
解得：n=2，
∴E(2,3)，
{2k+b=−3)
把E(2,3)，C(0，−1)代入y=kx+b得： ，
b=−1
{ k=2 )
解得： ，
b=−1
故答案为：2，−1；（2）∵E(2，3)，
∴由函数图象可得不等式kx+b>x+1的解集为：x>2；
（3）存在，理由，
如图，作点E关于y轴对称点E′，连接DE′，交y轴于点P，此时△PDE周长最小，
∵E(2，3)，
∴E′(−2，3)，
由（1）得直线l 的函数表达式为y=2x−1，
2
1
当y=0时，x= ，
2
(1 )
∴D ,0 ，
2
设直线DE′解析式为y=k x+b ，
1 1
6
{−2k
1
+b
1
=3
)
{ k
1
=−
5
)
∴ 1 ，解得： ，
k +b =0 3
2 1 1 b =
1 5
6 3
∴直线DE′解析式为y=− x+ ，
5 5
3
当x=0时，y= ，
5
( 3)
∴点P 0, ．
5
7．（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，点C(a,b)在第
三象限，AC⊥AB，AC=AB，若a，b满足|a+2)+(b+3) 2=0(1)如图1，求点A，B，C的坐标；
(2)D为x轴上一点，过点A作AE⊥AD且AE=AD（A，D，E三点按顺时针方向排列），连接EC，写出
线段EC，OB，OD之间的数量关系的所有情况，并选择其中一种加以证明；
(3)如图2，将线段AB平移，与x，y轴分别交于点M，N，在过点C且与x轴垂直的直线上存在点P，使得
△MNP为等腰直角三角形（MN为直角边），请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)A(0,2)，B(5,0)，C(−2,−3)
(2)见解析
( 10)
(3)P(−2,5)或P(−2,−7)或P −2,−
7
【分析】（1）根据已知等式|a+2)+(b+3) 2=0中绝对值的非负性，可求出a和b的值，得到点C的坐
标，过点C作CD⊥AO于点D，证明△ACD≌△BAO(AAS)，从而得到AO=CD=2，BO=AD，进而
得到点A和B的坐标；
（2）分三种情况画出图形，根据同角的余角相等可证∠CAE=∠BAD，再证明△ACE≌△ABD(SAS)，
根据对应边相等可得答案；
（3）根据题意画出图形，利用一次函数与坐标轴的交点问题，及利用全等三角形的性质求出对应边的
长，从而得解．
【详解】（1）解：过点C作CD⊥AO于点D．∴∠CDA=∠AOB=90°，
∵|a+2)+(b+3) 2=0，
又∵|a+2)≥0，(b+3) 2≥0，
∴|a+2)=0，(b+3) 2=0，
∴a=−2，b=−3．
∴C(−2,−3)．
∴CD=2，OD=3．
在Rt△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°．
∵CA⊥AB，
∴∠CAB=∠DAC+∠BAO=90°．
∴∠C=∠BAO．
在△ACD和△BAO中，
{∠CDA=∠AOB
)
∠C=∠OAB ，
AC=BA
∴△ACD≌△BAO(AAS)．
∴AO=CD=2，BO=AD．
∴AD=AO+OD=2+3=5．
∴BO=5．
∴A(0,2)，B(5,0)．
（2）解：EC=OD−OB或EC=OB−OD或EC=OB+OD．
情况1，如图：
∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
{
AC=AB
)
∠CAE=∠BAD ，
AE=AD
∴△ACE≌△ABD(SAS)．
∴EC=DB．
∵DB=OD−OB，
∴EC=OD−OB．
情况2，EC=OB−OD，如图，
同理可得∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴EC=DB，
∵DB=OB−OD
∴EC=OB−OD；
情况3，EC=OB+OD，如图，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠CAE=∠BAD，
又∵AE=AD，AC=AB，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴EC=DB，
∵DB=OB+OD，
∴EC=OB+OD；
（3）解：①将AB向左平移OB的长度，再向下平移OA的长度后与x轴、y轴相交于点M，N，如图，
∴点M纵坐标为0，点N的横坐标为0，
∵A(0,2)，B(5,0)，
∴M(−5,0)，N(0,−2)，
∴OM=5，ON=2，
∵C(−2,−3)，PC⊥x轴，
∴点P的横坐标为−2，
过点M作GQ⊥x轴，过点P作PG⊥GQ于G，过点N作NQ⊥GQ于Q，则∠Q=∠G=90°，
∵∠GMP+∠QMN=∠QMN+∠QNM=90°，△MNP为等腰直角三角形，
∴∠GMP=∠QNM，MN=PM，
∴△GPM≌△QMN(AAS)，
∴GM=QN=5，
∴点P的坐标为P(−2,5)；
②如图, 过点P作PG⊥AO于G，同理△GPN≌△QNM，
∴NG=OM=5，
∴OG=ON+NG=2+5=7，
∴点P的坐标为P(−2,−7)；
③如图，
同理可得△PDM≌△MON，
∴DM=ON，DP=OM，
∴ON+OM=DM+OM=OD=2，
∵A(0,2)，B(5,0)，
∴设直线AB的解析式为：y=kx+t，
{5k+t=0) { k=− 2 )
则有： ，解得： 5 ，
t=2
t=2
2
∴l :y=− x+2，
AB 5
设点N的坐标为(0,n)，
2
∵平移后的直线MN的解析式为y=− x+n，
5(5n )
∴M ,0 ，
2
∵ON+OM=2，
5n
∴− −n=2，
2
4
解得：n=− ，
7
5n 10
∴DP=OM=− = ，
2 7
10
∴P (−2,− )，
3 7
( 10)
故P(−2,5)或P(−2,−7)或P −2,− ．
7
【点睛】此题考查了偶次方的非负性，一次函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟
练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8．（24-25八年级·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点C(0，6)的直线AB与直线OA
相交于点A(4，2)．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使PA+PC的值最小，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐
标；
【答案】(1)y=−x+6
(2)存在，点P的坐标(3，0)
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、C坐标代入，利用待定系数法，即可求出函数解
析式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，连接CP，此时PA+PC最小，根据点C关于x轴的对称点D，得出点D的坐标，然后根据待定系数法求出直线AD的解析式，然后令y=0，得出
2x−6=0，解出方程，即可得出点P的坐标．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
{ b=6 )
根据题意，可得： ，
4k+b=2
{k=−1)
解得： ，
b=6
∴直线AB的解析式为y=−x+6；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点C关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，连接CP，
∴PC=PD，
∴PA+PC=PA+PD=AD，
∴此时PA+PC的值最小，
∵C(0，6)，
∴点C关于x轴的对称点D的坐标为(0，−6)，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
{ n=−6 )
根据题意，可得： ，
4m+n=2
{m=2
)
解得： ，
n=−6
∴直线AD的解析式为y=2x−6，
令y=0，则2x−6=0，
解得：x=3，
∴点P的坐标(3，0)．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、轴对称—最短路径问题、求点的坐标，解本的关键在
求出直线AB的解析式．
9．（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+6与x轴和y轴分别交于
点B和点C，与直线OA相交于点A(4,2)，动点M在线段OA和射线AC上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求△OAC的面积．
1
(3)是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说
4
明理由．
【答案】(1)B的坐标为(6,0)，点C的坐标为(0,6)
(2)12
( 1)
(3)存在，点M的坐标是 1, 或(1,5)或(−1,7)
2
【分析】（1）在y=−x+6中，令y=0，则x=6；令x=0，则y=6，从而可得答案；
（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
1 1 1
（3）设点M的坐标为(a,b)，求解直线OA的表达式是y= x，由 ×6×|a)= ×12，可得a=±1，当点
2 2 4
1 1
M在线段OA上时，如图①，则a=1，此时b= ×1= ，当点M在射线AC上时，如图②，a=1时，
2 2
b=−a+6=5，则点M 的坐标是(1,5)；a=−1时，b=−a+6=7，则点M 的坐标是(−1,7)．从而可得答
1 2
案．
【详解】（1）解：在y=−x+6中，令y=0，则x=6；令x=0，则y=6．
故点B的坐标为(6,0)，点C的坐标为(0,6)．
（2）∵C(0,6)，A(4,2)，
1
∴S = ×6×4=12．
△AOC 21
（3）存在点M使S = S ． 理由如下：
△OMC 4 △OAC
设点M的坐标为(a,b)，直线OA的表达式是y=mx．
∵A(4,2)，
1
∴4m=2，解得m= ．
2
1
∴直线OA的表达式是y= x．
2
1
∵S = S ，
△OMC 4 △OAC
1 1
∴ ×6×|a)= ×12．
2 4
∴a=±1．
1 1
当点M在线段OA上时，如图①，则a=1，此时b= ×1= ，
2 2
( 1)
∴点M的坐标是 1, ．
2
当点M在射线AC上时，如图②，a=1时，b=−a+6=5，则点M 的坐标是(1,5)；
1
a=−1时，b=−a+6=7，则点M 的坐标是(−1,7)．
2
1
综上所述，点M的坐标是(1, )或(1,5)或(−1,7)．
2
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标
与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
10．（24-25八年级·北京密云·期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，给出如下定义：点N为
图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．(1)已知点A(4,0)，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点B(−2,3),C(1,3),D(−2,0)．
①连接BC，求点D和线段BC的中立点E的横坐标x 的取值范围；
E
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在ΔBCD的边上存在点F和ΔBCD的中立点，直接写出点F
的横坐标x 的取值范围．
F
【答案】(1)(2,0)
1
(2)①−2≤x ≤− ；②−3≤x ≤4
E 2 F
【分析】（1）根据“中立点”的定义求解即可；
（2）①连接BD，取BD中点E ，求出E 的横坐标，连接CD，取CD中点E ，根据中点坐标公式求出E
1 1 2 2
的横坐标，即可得出对答案；
②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可．
【详解】（1）∵点A(4,0)，若点P是点A和原点的中立点，
∴P(2,0)，
故答案为：(2,0)；
（2）① 连接BD，取BD中点E ，如图，
1
∵B(−2,3),D(−2,0)，
∴E 点的横坐标−2，
1
连接CD，取CD中点E ，
2
∵B(−2,3),C(1,3)，−2+1 1
∴x = =− ，
E 2 2 2
1
∴−2≤x ≤− ；
E 2
②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为y=x．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点F 的纵坐标是−3，代入y=x，得
1
∴x=−3，即点F 的横坐标是−3．
1
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是-2，C(1,3)，
−2+x
∴ F 2=1，
2
∴x =4，
F
2
∴−3≤x ≤4．
F
【点睛】本题考查了新定义，中点坐标公式，正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键．
