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专题 19.6 一次函数与几何综合五大题型（50 题)
【人教版】
【题型1 一次函数与几何变换的综合】
1．（24-25·陕西西安·二模）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度
后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）
1 1 1 1
A．y＝﹣ x﹣1 B．y＝﹣ x+1 C．y＝ x+1 D．y＝ x﹣1
2 2 2 2
【答案】C
{4k+b=0) 1
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得 ，得到直线解析式为y＝ x-2，将其向
b=−2 2
1
左平移2个单位，得到y＝ x-1，绕着原点旋转180°，得解．
2
【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，
{4k+b=0)
根据题意，得 ，
b=−2
{ k= 1 )
解得 2 ，
b=−2
1
∴直线解析式为y＝ x-2，
2
1
将其向左平移2个单位，得y＝ （x+2）-2，
2
1
即y＝ x-1，
2
∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0），
∵绕着原点旋转180°，
∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0），
∵设直线的解析式为y=mx+1，
∴-2m+1=0，
1
解得m= ，
21
∴y＝ x+1，
2
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像平移，旋转问题，熟练掌握平移规律是解题的关键．
2．（24-25八年级·山东临沂·期末）已知A(1,4)，B(4,9)，将直线y=kx绕原点旋转，当直线y=kx与线段
AB有公共点时，则k的取值范围是 ．
9
【答案】 ≤k≤4
4
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案．
【详解】解：把A(1,4)代入直线y=kx得，
4=k，
把B(4,9)代入直线y=kx得，9=4k，
9
解得k=
4
9
∴k的取值范围是 ≤k≤4，
4
9
故答案为： ≤k≤4
4
3．（24-25八年级·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y
轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是
．
1
【答案】y＝ x﹣4
3
【分析】根据已知条件得到A（2，0），B（0，﹣4），求得OA＝2，OB＝4，过A作AF⊥AB交BC于
F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，求得F
（6，﹣2），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令x＝0，得y＝﹣4，令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），B（0，﹣4），
∴OA＝2，OB＝4，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，
∴F（6，﹣2），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
{6k+b=−2) { k= 1 )
∴ ，解得 3 ，
b=−4
b=−4
1
∴直线BC的函数表达式为：y＝ x﹣4，
3
1
故答案为：y＝ x﹣4．
3
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（24-25八年级·四川南充·期末）已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB＝OC＝OA，
A、C分别在x轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标．1
【答案】（1）45°，y＝﹣x+1；（2）（0， ）．
3
【分析】（1）根据A、B的坐标和三角形的内角和定理求出∠OAB的度数即可；设直线AB的解析式为y
＝kx+b，把A、B的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）推出三角形AOB和三角形ACE的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线AB的解析
式，求出E的横坐标，设直线CE的解析式是：y＝mx+n，利用待定系数法求出直线EC的解析式，进而即
可求得点D的坐标．
【详解】解：（1）∵OB＝OC＝OA，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°；
∵B（0，1），
∴A（1，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
{k+b=0)
∴
b=1,
解得，
{k=−1)
b=1,
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵S ＝S ，
△COD △BDE
∴S +S ＝S +S ，
△COD 四边形AODE △BDE 四边形AODE
即S ＝S ，
△ACE △AOB
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且y ＞0，
E
1 1
∴ ×AC×y = ×OA×OB，
2 E 2
1 1
∴ ×2×y = ×1×1，
2 E 21
y = ,
E 2
1 1
把y= 代入直线AB的解析式得： =−x+1，
2 2
1
∴x= ，
2
设直线CE的解析式是：y＝mx+n，
(1 1)
{−m+n=0
)
∵C(−1，0)，E , 代入得： 1 1
2 2 m+n= ,
2 2
1 1
解得：m= ，n= ,
3 3
1 1
∴直线CE的解析式为y= x+ ,
3 3
1
令x＝0，则y= ，
3
( 1)
∴D的坐标为 0, ．
3
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综
合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强，但难度适中，通过做此
题培养了学生分析问题和解决问题的能力．
5．（24-25八年级·广西河池·期末）在平面直角坐标系xOy中，
(1)点A(0，4)和点B(2，2)在一次函数y=kx+b (k≠0)的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它
的图象；
(2)点C(1，2)向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数y=−2x+m的图象与线段CD有公共点，
求m的取值范围．
【答案】(1)y=−x+4
(2)−2≤m≤4【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，再用描点法作图即可；
（2）由平移方式得D(−2,2)，分别把D(−2,2)、C(1,2)代入y=−2x+m求解即可．
【详解】（1）解：将点A(0,4)和点B(2,2)代入一次函数y=kx+b中，
{ b=4 )
得 ，
2k+b=2
{k=−1)
解得 ，
b=4
∴该一次函数的解析式为y=−x+4，
该一次函数图象如图：
（2）解：由点C(1,2)向左平移3个单位长度，得到点D(−2,2)，
当直线y=−2x+m经过点D(−2,2)时，2=−2×(−2)+m，
解得m=−2，
当直线y=−2x+m经过点C(1,2)时，2=−2+m，
解得m=4，
综上所述，m的取值范围是−2≤m≤4．
【点睛】本题考查用描点法作函数图象、用待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化−平移、一次
函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6．（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，直线l为y=−2x，OABC为长方形，点A在x轴上，点C在y轴
上，点B为(6,2)，平移直线l，得到直线y=kx+b．
(1)则k=______，当l经过点C时，b=______；(2)当l与线段AB交于点P，与BC交于点Q．
①要保证l与AB一定有交点，求b的取值范围；
②用b表示BP的长．
【答案】(1)−2，2
(2)①要保证l与AB一定有交点，则12≤b≤14；②14−b
【分析】（1）根据平移k不变，根据长方形性质得到C(0,2)，代入解析式，即得b值；
（2）①分别代入A、B的坐标，分别求得b的值，即可求得b的取值范围；②把x=6代入y=−2x+b求得
纵坐标，进而即可求得BP=14−b．
【详解】（1）解：∵直线l为y=−2x，
∴k=−2，
∵OABC为长方形，点B为(6,2)，
∴C(0,2)，
∵平移直线l，得到直线y=kx+b，
∴当l经过点C时，b=2，
故答案为：−2，2；
（2）①∵OABC为长方形，点A在x轴上，点B为(6,2)，
∴A(6,0)，
把A的坐标代入y=−2x+b，
得，0=−2×6+b，
解得，b=12；
把B的坐标代入y=−2x+b，
得，2=−2×6+b，
解得b=14，
∴要保证l与AB一定有交点，则12≤b≤14；
②把x=6代入y=−2x+b，
得，y=−12+b，
∴P(6,−12+b)，
∴BP=2−(−12+b)=14−b．
【点睛】本题考查了一次函数图形与几何变换，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析
式，函数图象平移，函数与不等式，矩形的性质，是解题的关键．7．（24-25八年级·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=x的图象与一次函数
y=kx−k的图象的交点为A(m，2)．
(1)求m和k的值；
(2)直接写出使函数y=kx−k的值小于函数y=x的值的自变量x的取值范围；
(3)设一次函数y=kx−k的图象与x轴交于点C，将一次函数y=kx−k的图象向右平移2个单位长度，交
y=x的图象于点E，交x轴于点D，求四边形ACDE的面积．
【答案】(1)m=2，k=2
(2)x<2
(3)8
【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识；
（1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）可将四边形的面积转化为△ODE与△OCA的面积之差．
【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，
m=2，
所以点A的坐标为A(2，2)．
将点A的坐标代入一次函数解析式得，
2k−k=2，
解得k=2，
（2）由所给函数图象可知，
当x<2时，函数y=kx−k的图象在函数y=x图象的下方，即函数y=kx−k的值小于函数y=x的值，所以使函数y=kx−k的值小于函数y=x的值的自变量x的取值范围为：
x<2．
（3）由（1）知，
一次函数的解析式为y=2x−2，
所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为
y=2(x−2)−2=2x−6．
由2x−6=x得，
x=6，
所以点E的坐标为(6，6)．
将y=0代入y=2x−6得，
x=3，
所以点D的坐标为(3，0)．
将y=0代入y=2x−2得，
x=1，
所以点C的坐标为(1，0)．
1 1
所以S = ×3×6=9,S = ×1×2=1，
△ODE 2 △OAC 2
所以S =9−1=8．
四边形ACDE
8．（24-25八年级·江苏南通·期末）把一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴
向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例
如，如图1就是函数y=x的“V形”图象．
(1)请在图2中画出一次函数y=x+1的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______；1
(2)在（1）的条件下，若直线y=− x+1与一次函数y=x+1的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC
3
的面积；
(3)一次函数y=kx−5k+4（k为常数）的“V形”图象经过(−1,y )，(3,y )两点，且y >y ，求k的取
1 2 1 2
值范围．
【答案】(1)图见解析，(−1,0)
(2)2
(3)k>1或k<0
【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可；
（2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可；
5k−4
（3）根据题意得出经过定点(5,4)，该图象与x轴交点( ,0)，利用一次函数的增减性质求解即可．
k
【详解】（1）解：如图所示即为所求函数图象：
y=x+1，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为(−1,0)
（2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1，
∴¿，
x=−3
解得{
y=2
∴B(−3,2)
线段AD所在直线的解析式为y=x+1，∴¿，
x=0
解得{
y=1
∴C(0,1)
由（1）得：A(−1,0)
1 1 1
∴△ABC的面积=2×3− ×2×2− ×1×1− ×1×3=2；
2 2 2
（3）∵直线y=kx−5k+4（k≠0，且为常数）
当x=5时，y=4
∴经过定点(5,4)
5k−4
当y=0时，x=
k
5k−4
∴该图象与x轴交点( ,0)
k
①当k>0时
∵y >y ，
1 2
5k−4
由图象可知 >1，
k
解之得k>1
∴k>1
②当k<0时，由图象可知，始终有y >y
1 2
综上所述，k>1或k<0．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌
握一次函数的基本性质是解题关键．3
9．（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线y=kx+b经过点B(0,25)，与直线y= x交于点C(m,9)
4
，与x轴交于点A，点D为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E．
(1)求点A的坐标；
1
(2)当DE= OB时，求△CDE的面积；
2
(3)连接OD，当△OAD沿着OD折叠，使得点A的对应点A 落在直线OC上，求此时点D的坐标．
1
(75 )
【答案】(1)点A的坐标为 ,0
4
75
(2)△CDE的面积为
2
(3)点D的坐标为(15,5)或(−15,45)
3
【分析】（1）利用直线y= x过点C(m,9)得m=12，利用待定系数法求出直线AB的解析式，令y=0即
4
可求解；
（2）设D的横坐标为n，代入直线AB与直线OC解析式表示出D与E的纵坐标，进而表示出DE的长，根
1
据DE= OB求出n的值进而求出三角形CDE面积即可；
2
（3）分点A落在射线CO和射线OC上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
3
【详解】（1）解：∵直线y= x过点C(m,9)，
4
3
∴9= m，解得m=12，
4
∴点C(12,9)，
∵直线y=kx+b经过点点B(0,25)，C(12,9)，{12k+b=9) { k=− 4 )
∴ ，解得： 3 ，
b=25
b=25
4
∴直线AB解析式为y=− x+25，
3
4 75
令y=0，则0=− x+25，解得x= ，
3 4
(75 )
∴点A的坐标为 ,0 ；
4
（2）解：∵B(0,25)，
∴OB=25，
( 4 )
设点D的横坐标为n，则点D坐标为 n,− n+25 ，
3
∵DE⊥x轴，
3
∴点E坐标为(n, n)，
4
4 3 25 25
∴DE=|− n+25− n|=|− n+25|= ，
3 4 12 2
解得：n=6或18，
1 25 75
当n=6时，S = × ×(12−6)= ；
ΔCDE 2 2 2
75
当m=18时，同理可得：S = ，
ΔCDE 2
75
综上，△CDE的面积为 ；
2
（3）解：过C作CG⊥OA于点G，
(75 )
∵点C的坐标为(12,9)，A ，0 ，
4
75
∴OG=12，CG=9，OA= ，
4
75 27
∴AG= −12= ，
4 4
2025
∴OC2=OG2+CG2=144+81=225，AC2=AG2+CG2=
，
16
5625 5625
OC2+AC2= ，OA2=
，
16 16∴OC2+AC2=OA2，
∴∠OCA=90°，即OC⊥AB，
当△OAD沿着OD折叠，且点A落在射线CO上的A 时，设DA 交x轴于点H，如图1所示：
1 1
根据折叠的性质可得：OA=OA ，∠DAO=∠DA O，
1 1
又∵∠COA=∠HOA ，
1
∴△COA≌△HOA (ASA)，
1
∴∠A HO=∠ACO=90°，HO=CO=15，
1
∴DA ⊥x轴，
1
4
当x=−15时，y=− ×(−15)+25=45，
3
∴D坐标为(−15,45)；
当△AOD沿着OD折叠，且点A落在射线OC上的A 时，延长A D交x轴于点I，如图2所示：
1 1
根据折叠的性质可得：OA=OA ，∠DAO=∠DA O，
1 1
又∵∠COA=∠IOA ，
1
∴△COA≌△IOA (ASA)，
1
∴∠A IO=∠ACO=90°，IO=CO=15，
1∴DA ⊥x轴，
1
4
当x=15时，y=− ×15+25=5，
3
∴点D坐标为(15,5)，
综上，点D的坐标为(15,5)或(−15,45)．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交问题，涉及到一次函数的性质，一次函数图象上点
的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏．
10．（24-25八年级·全国·课后作业）如图，直线l的解析式y=kx+3(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点
B，点C的坐标为(4,2)．
（1）点A的坐标为________；
（2）若将△AOB沿直线l折叠，能否使点O与点C重合？如果可以，请求此时直线l的解析式，如果不可
以，请说明理由；
（3）若点C在直线l的下方，求k的取值范围．
1
【答案】（1）(0，3)； （2）不能，理由见解析；（3）− 2，再结合函数图象的特点即可求解．
【详解】解：（1）y=kx+3(k<0)，
令x=0，解得y=3
所以点A坐标为(0，3)．
故答案为：(0，3)．
（2）不能．
如图，连结AC．∵A(0,3)，
∴OA=3
又∵C(4,2)，
∴x =4，
C
∴AC>4，即AC≠OA，
∴AC与OA不可能重合，
∴不能使点O与点C重合．
（3）当x=4时，y=4k+3
∵点C在直线l的下方，
∴4k+3>2，
1
解得k>− ．
4
1
k的取值范围为− 3时，
1 1 1
∴ ×4c− ×2(c−3)− ×2×3−2×3=9
2 2 2
∴解得c=15
∴点C的坐标为(2,15)；
综上所述，点C的坐标为(2,−3)或(2,15)；
（3）如图所示，连接AQ，作QM⊥OA，BN⊥OA分别交OA于点M和点N，
∵PQ∥AB
∴S =S
△APQ △CPQ
S 2
∵ △PQC =
S 3
△ABPS 2
∴
△APQ=
S 3
△ABP
∵QM⊥OA，BN⊥OA
QM 2
∴ =
BN 3
QM 2
∴ =
3 3
∴QM=2
∴设直线OB的解析式为y=kx
3
∴将B(4，3)代入得，3=4k，解得k=
4
3
∴y= x
4
3
∴将y=2代入得，2= x
4
8
∴解得x=
3
(8 )
∴点Q的坐标为 ,2 ．
3
【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、一次函数、坐标与图形性质，掌握坐标与图形
性质及三角形的面积公式是解题的关键．
6．（24-25八年级·山东济南·期中）如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC
＝10cm点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
(1)由图2知，点E运动的时间为_____s，速度为______cm/s，点E停止运动时距离点C_____cm；
(2)求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm²）与运动时间x（s）之间的关系式；(3)当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
【答案】(1)3，3，1；
(2)y＝12x（0＜x≤3）；
(3)36cm2．
【分析】（1）根据图像解答即可；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】（1）解：（1）根据题意和图像可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s，
当点E停止运动时，BE＝3×3＝9cm，此时距离点C：10−9＝1cm，
故答案为：3，3，1；
1 1
（2）根据题意得y＝ BE×AD＝ ×3x×8＝12x，
2 2
即y＝12x（0＜x≤3）；
（3）当x＝3时，y＝12×3＝36cm2，
故点E停止运动后， ABE的面积为36cm2．
【点睛】本题主要考查△了动点问题的函数图像，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图像是解
决问题的关键．
7．（24-25八年级·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做
“整点坐标”．若正比例函数y=kx(k≠0)的图象与直线y=3及y轴围成三角形．
(1)当正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点（1，1）
①k的值为 ．
②此时围成的三角形内（不包含三角形边上的点）的“整点坐标”有 个；写出“整点坐标” ．(2)若在y轴右侧，由已知围成的三角形内（不包含三角形边上的点）有3个“整点坐标”，求k的取值范
围．
【答案】(1)①1；②1，（1，2）；
2
(2) ≤k＜1．
3
【分析】（1）①把（1，1）代入y=kx，可求出k的值，②画出函数的图象，可知三角形内有1个“整点坐
标”；（2）当直线y=x绕着点O顺时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即k＜1，当直线y=kx过点（3，
2时，k取最小值，可得取值范围．
【详解】（1）①∵正比例函数y=kx（k≠0）图象过点（1，1），∴代入得：1=k，即k=1，故答案为：1；
②如图，
直线y=x、直线y=3和y轴围成的三角形是三角形AOB，则三角形AOB内的“整点坐标”有1个，（1，
2），故答案为：1，（1，2）；
2
（2）当直线y=kx过点（3，2）时，其关系式为y= x，当直线y=kx过点A（3，3）时，其关系式为
3
2
y=x，此时刚好三个“整点坐标”，∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为 ≤k＜1．
3
【点睛】考查一次函数的图象上点的坐标特征，理解“整点坐标”的实际意义是正确解答的前提．
8．（24-25八年级·天津宝坻·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正
比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1）
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
(2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐
标.（3）连接CB，求三角形BCD的面积.
1
【答案】（1）y=-x+4，y= x；（2）点D为（6，-2）；（3）12.
3
【详解】试题分析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx即可得到结论；
1
（2）由二直线平行，得到直线CD为y= x+4，解方程组得到点D为（6，-2）；
3
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx得1=-3+b，1=3k，
1
解得：b=4，k= ，
3
1
∴y=-x+4，y= x；
3
（2）∵二直线平行，CD经过C（0，-4），
1
∴直线CD为y= x+4，
3
y=-x+4
由题意得：{ 1
y= x-4
3
x＝6
解之得{ ，
y＝−2
∴点D为（6，-2）；
1
（3）由y= x+4中，令x=0，则 y=4，
3
∴A（0，4），
∴AC=8，1 1
∴S =S -S = ×8×6- ×8×3=12．
△BCD △ACD △ABC 2 2
【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题
意是解题的关键．
1
9．（24-25八年级·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线1 :y= x与直线l 交于点A(3，n)将直线l
1 3 2 1
向下平移5个单位长度，得到直线l，直线l 与y轴交于点B，与直线l 交于点C，点C的纵坐标是-2，直
3 3 2
线l 与y轴交于点D．
2
（1）求直线l 的表达式；
2
（2）求三角形BDC的面积．
1 5 135
【答案】（1）y=− x+ ；（2）
2 2 4
1
【分析】（1）把x=3代入y= x，得y=1，求出A（3，1）．根据平移规律得出直线l 的解析式为
3 3
1
y= x−5，求出B（0，-5）、C（9，-2）．设直线l 的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利
3 2
用待定系数法即可求出直线l 的解析式；
2
5 15
（2）根据直线l 的解析式求出D（0， ），得出BD= ，再利用三角形的面积公式即可求出 BDC的面
2 2 2
△
积．
1
【详解】（1）把x=3代入y= x，得y=1，
3
∴A的坐标为（3，1）．
∵将直线l 向下平移5个单位长度，得到直线l，
1 31
∴直线l 的解析式为y= x−5，
3 3
∴x=0时，y=-5，
∴B（0，-5）．
1
将y=-2代入y= x−5，得x=9，
3
∴点C的坐标为（9，-2）．
设直线l 的解析式为y=kx+b，
2
∵直线l 过A（3，1）、C（9，-2），
2
{ 3k+b＝1 )
∴ ，
9k+b＝−2
1
{ k＝− )
2
解得 ，
5
b＝
2
1 5
∴直线l 的解析式为y=− x+ ；
2 2 2
1 5
（2）∵y=− x+ ，
2 2
5
∴x=0时，y= ，
2
5
∴D（0， ）．
2
∵B（0，-5），
15
∴BD= ，
2
1 15 135
∴△BDC的面积= × ×9= ．
2 2 4
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特
征，三角形的面积，正确求出求出直线l 的解析式是解题的关键．
2
10．（24-25八年级·湖北恩施·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，A(a,0)，C(b,2)，过C作
CB⊥x轴，且满足(a+b) 2+❑√a−b+4=0．(1)求三角形ABC的面积．
(2)若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度
数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)45°
(3)P点坐标为(0,3)或(0,−1)
【分析】（1）根据非负数的性质得到a=−b，a−b+4=0，解得a=−2，b=2，则A(−2,0)，B(2,0)，
C(2,2)，即可计算出三角形ABC的面积；
（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，过E作
EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所
1
以∠AED=∠1+∠2= ×90°=45°；
2
1
（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y= x+1，则G点坐标为(0,1)，然后利用
2
S =S +S 进行计算．
△PAC △APG △CPG
【详解】（1）解：∵ (a+b) 2+❑√a−b+4=0，(a+b) 2≥0，❑√a−b+4≥0，
∴a=−b，a−b+4=0，
∴a=−2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A(−2,0)，B(2,0)，C(2,2)，
1
∴三角形ABC的面积= ×4×2=4；
2（2）解：∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
如图，过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
1 1
∴∠AED=∠1+∠2= (∠3+∠4+∠5+∠6)= ×90°=45°；
2 2
（3）解：存在．理由如下：
设P点坐标为(0,t)，直线AC的解析式为y=kx+b，
{−2k+b=0)
把A(−2,0)，C(2,2)，代入得 ，
2k+b=2
{ k= 1 )
解得 2 ，
b=1
1
∴直线AC的解析式为y= x+1，
2
∴G点坐标为(0,1)，
1 1
∴S =S +S = |t−1)⋅2+ |t−1)⋅2=4，
△PAC △APG △CPG 2 2
解得t=3或−1，
∴P点坐标为(0,3)或(0,−1)．
【点睛】本题考查非负数的性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，一次函数
的图象和性质等，解题的关键是综合应用上述知识点．【题型3 一次函数与四边形的综合】
1．（24-25·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数
y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
3 3 3 3
A．k= ，b= B．k=− ，b=−
2 4 2 4
3 3 3 3
C．k=− ，b=− D．k= ，b=
4 2 4 2
【答案】D
【分析】首先由图可知A(-2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得．
【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)，
把A、B的坐标分别代入解析式，得
{−2k+b=0)
2k+b=3
3
{ k= )
4
解得
3
b=
2
故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，结合题意和图形得到A、B的坐
标是解决本题的关键．
2．（24-25八年级·辽宁·期末）如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A、D是x轴上两点，若
四边形ABCD是长方形，且AB：AD＝1：3，则k的值是（ ）
2 2 2 2
A． B． C． D．
3 5 7 9
【答案】C【分析】设点B的坐标为（m，2m），结合矩形的性质可得出OA，AB，CD的长，由AB：AD＝1：3可得
出AD的长，结合OD＝OA+AD可求出OD的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐
标特征即可求出k值．
【详解】解：设点B的坐标为（m，2m），CD＝AB＝2m，OA=m
∵AB：AD＝1：3，
∴AD＝3AB＝6m，
∴OD＝OA+AD＝7m，
∴点C的坐标为（7m，2m）．
∵点C在直线y＝kx上，
∴2m＝7km，
2
∴k= ．
7
故选：C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，用字母表示出点C的坐标是解题的关键.
3．（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格，其右下角格点
（小正方形的顶点）A的坐标为(−1,1)，左上角格点B的坐标为(−4,4)，若分布在直线y=−kx−k两侧的
格点数相同，则k的取值可以是（ ）.
5 7 3
A． B． C．2 D．
2 4 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了过定点的直线旋转，正方形的对称性．由正方形的对称性，要使两侧格点一样，
直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线CD和直线CE之间运动，从而确定E(−3,3)，
D(−3,4)进而求解．
【详解】∵直线y=−k(x+1)过定点C(−1,0)，分布在直线y=−k(x+1)两侧的格点数相同，由正方形的对称性可知，直线y=−k(x+1)两侧的格点数相同，
∴在直线CD和直线CE之间，两侧格点相同，（如图）
∵E(−3,3)，D(−3,4)，
3
∴把E(−3,3)代入y=−k(x+1)得k=− ，
2
把D(−3,4)代入y=−k(x+1)得k=−2，
3 3
∴−2<−k<− ，则 y 的解集；
1 2
(3)若直线l 上存在一点C，使得△ADC的面积等于△APO的面积的2倍，求出点C的坐标．
1【答案】(1)y =−2x+2
2
(2)x>2
(3)(4,2)或(2,−2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、根据两直线的交点求不等式的解集、三角形面积公
式、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出答案；
{ y =2x−6 )
（2）联立 1 ，得出P(2,−2)，结合图象即可得出答案；
y =−2x+2
2
1
（3）先求出S = OA⋅|y )=1，再求出D(3,0)，得到AD=2，设C(m,2m−6)，再根据
△AOP 2 P
1 1
S = AD⋅|y )= ×2×|2m−6)=2，计算即可得出答案．
△ADC 2 C 2
【详解】（1）解：∵点A(1,0)，B(0,2)分别在直线l ：y =kx+b上，
2 2
{k+b=0)
∴ ，
b=2
{k=−2)
解得： ，
b=2
∴直线l 的表达式为：y =−2x+2；
2 2
{ y =2x−6 )
（2）解：联立 1 ，
y =−2x+2
2
{ x=2 )
解得： ，
y=−2
∴P(2,−2)，
∴由图象可得：不等式y >y 的解集为：x>2；
1 2
（3）解：∵A(1,0)，
∴OA=1，
1 1
∴S = OA⋅|y )= ×1×2=1，
△AOP 2 P 2
在y =2x−6中，当y =0时，2x−6=0，解得x=3，即D(3,0)，
1 1
∴AD=3−1=2，
∵直线l 上存在一点C，
1∴设C(m,2m−6)
∵△ADC的面积等于△APO的面积的2倍，
1 1
∴S = AD⋅|y )= ×2×|2m−6)=2，
△ADC 2 C 2
解得：m=4或m=2，
∴C(4,2)或(2,−2)．
3．（24-25八年级·上海·阶段练习）已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x
轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
2
(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数y=kx上存在一点M，使得S = S .若存在，请求出点M
ΔAPM 3 ΔOPM
的坐标；若不存在，请说明理由
2
【答案】(1)正比例函数的解析式是y=− x
3
(2)P点坐标为(5,0)或(−5,0)
(9 6)
(3)点M的坐标为 ,− 或(9,−6)
5 5
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两
个．
（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．
( 2 )
（3）设点M x,− x ，当P(5,0)或P(−5,0)时，分点M在线段OA上与在线段OA延长线两种情况，由
3
2
S = S 列方程，从而可得点M的坐标．
ΔAPM 3 ΔOPM
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
1
∴ ×3×AH=3，
2
解得，AH=2，
∴点A的坐标为(3,−2)，
∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=−2，
2
解得k=− ，
3
2
∴正比例函数的解析式是y=− x；
3
（2）解：存在．
设P(t,0)，
∵△AOP的面积为5，点A的坐标为(3,−2)，
1
∴ ×|t)×2=5，
2
∴t=5或t=−5，
∴P点坐标为(5,0)或(−5,0)．
( 2 )
（3）解：设M x,− x ，如图，
3
①点M在OA上时，
当P(5,0)时，OP=5，
又A(3,−2),
2 1 1 2 1
若S = S 时， ×OP×|y )− ×OP×|y )= × ×OP×|y )，
ΔAPM 3 ΔOPM 2 A 2 M 3 2 M
1 1 2 2 1 2
∴ ×5×2− ×5× x= × ×5× x，
2 2 3 3 2 3
9
解得，x= ，
5
2 9 6
∴y=− × =− ，
3 5 5
(9 6)
∴M点的坐标为 ,− ；
5 5当点P(−5,0)时，OP=5，
2 1 1 2 1
若S = S 时， ×OP×|y )− ×OP×|y )= × ×OP×|y )，
ΔAPM 3 ΔOPM 2 A 2 M 3 2 M
1 1 2 2 1 2
∴ ×5×2− ×5× x= × ×5× x，
2 2 3 3 2 3
9
解得，x= ，
5
2 9 6
∴y=− × =− ，
3 5 5
(9 6)
∴M点的坐标为 ,− ；
5 5
②点M在OA的延长线上时，
当P(5,0)时，OP=5，
2 1 1 2 1
若S = S 时， ×OP×|y )− ×OP×|y )= × ×OP×|y )，
ΔAPM 3 ΔOPM 2 M 2 A 3 2 M
1 2 1 2 1 2
∴ ×5× x− ×5×2= × ×5× x，
2 3 2 3 2 3
解得，x=9，
2
∴y=− ×9=−6，
3
∴M点的坐标为(9,−6)；
当点P(−5,0)时，OP=5，
2
若S = S 时，同理可得，M点的坐标为(9,−6)；
ΔAPM 3 ΔOPM
(9 6)
综上，点M的坐标为 ,− 或(9,−6)．
5 5
4．（24-25八年级·山东威海·期末）已知，点A(1，m)在直线y=3x−4上，过点A的直线交y轴于点
B(0，4)．
(1)求m的值和直线AB的函数表达式；
(2)点C(n−1，y )，D(n+1，y )分别在直线y=3x−4，直线AB上．若n≥3，判断p= y −y 是否存
1 2 2 1
在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m的值为−1，y=−5x+4
(2)存在，最大值−18【分析】（1）根据一次函数的性质可知A(1,−1)，利用待定系数法即可解答；
（2）根据一次函数的性质可知p= y −y =−8n+6，再利用一次函数的性质可知p随n的增大而减小即
2 1
可．本题考查了一次函数的性质，待定系数法，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将A(1,m)代入y=3x−4，得：m=3×1−4=−1，
∴A(1,−1)，
∴设直线AB解析式为y=kx+b，
将A(1,−1)，B(0,4)代入y=kx+b，
得¿，
解得：¿，
∴直线AB解析式为y=−5x+4；
（2）解：p= y −y 存在最大值−18，理由如下：
2 1
∵点C(n﹣1,y )在直线y=3x−4上，点D(n+1,y )在直线y=−5x+4上，
1 2
∴y =3n−7，y =−5n−1，
1 2
∴p= y −y =−5n−1−(3n−7)=−8n+6，
2 1
∵−8<0，
∴p随n的增大而减小，
∵n≥3，
∴p≤−18，
∴p= y −y 存在最大值−18．
2 1
5．（24-25八年级·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数解析式为y=x−1，与
1
x轴，y轴分别交于点A，点B，直线l 的函数解析式为y=kx+b，与x轴，y轴分别交于点C(6,0)，点D，
2
8
直线l 与l 交于点E，已知点E的横坐标为 ．
1 2 3
(1)求直线l 的函数解析式；
2
(2)若直线l 上存在点P，使得S =6，请求出点P的坐标；
2 △OCP
(3)已知M是线段BE上的动点，过点M作直线MN平行于y轴，交直线l 于点N，过点M作y轴的垂线，
2交y轴于点Q，是否存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1:2？若存在，请求出满足条件的所有点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)直线l 的函数表达式为y=− x+3；
2 2
(2)点P的坐标为(2,2)或(10,−2)；
(8 1)
(3)点M的坐标为 , 或(2,1)．
7 7
【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解
答；
8 (8 5)
（1）将点E的横坐标 ，代入y=x−1求得点E的坐标为 , ，再利用待定系数法求得直线l 的函数表
3 3 3 2
达式；
1 1
（2）根据S = OC⋅|y )=6，解出y =2或y =−2，将其代入y=− x+3即可解答；
△OPC 2 P P P 2
( 1 )
（3）设点M(m,m−1)，则N m,− m+3 ，Q(0,m−1)，表示出
2
| ( 1 )) |3 ) 1
MN= (m−1)− − m+3 = m−4 ，MQ=|m|，分两种情况：①当MN= MQ时，②当
2 2 2
MN=2MQ时，分别进行计算即可解答；
8 8 5
【详解】（1）解：对于y=x−1，当x= 时，y= −1= ．
3 3 3
(8 5)
所以点E的坐标为 , ．
3 3
(8 5)
将E , ，C(6,0)代入y=kx+b，
3 3
{8
k+b=
5
)
得 3 3 ，
6k+b=0
{ k=− 1 )
解得 2 ．
b=3
1
∴直线l 的函数表达式为y=− x+3；
2 2（2）解：∵C(6,0)，
1 1
∴S = OC⋅|y )= ×6×|y )=6，
△OPC 2 P 2 P
解得y =2或y =−2．
P P
1
当y =2时，− x+3=2，
P 2
解得x=2；
1
当y =−2时，− x+3=−2，
P 2
解得x=10．
∴点P的坐标为(2,2)或(10,−2)；
（3）解：存在．
( 1 )
设点M(m,m−1)，则N m,− m+3 ，Q(0,m−1)．
2
| ( 1 )) |3 )
所以MN= (m−1)− − m+3 = m−4 ，MQ=|m|．
2 2
分两种情况：
1 |3 ) 1
①当MN= MQ时， m−4 = |m|，
2 2 2
解得m=2或m=4（舍去）．
所以点M的坐标为(2,1)；
|3 )
②当MN=2MQ时， m−4 =2|m|，
2
8
解得m= 或m=−8（舍去）．
7
(8 1)
所以点M的坐标为 , ．
7 7
(8 1)
综上，满足条件的所有点M的坐标为 , 或(2,1)．
7 7
6．（24-25八年级·河南安阳·期末）如图，直线l 的函数表达式为y=x+1，且l 分别交x轴、y轴于点A，
1 1
B；直线l 的函数表达式为y=kx+b，l 经过点C(0,−1)，分别交x轴、直线l 于点D，E，且E点坐标为
2 2 1
(n,3)．(1)则k=_____，b=______；
(2)直接写出不等式kx+b>x+1的解集；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P，使得△PDE的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)k=2，b=−1
(2)x>2
( 3)
(3)存在，点P 0,
5
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象即可求解；
(1 )
（3）作点E关于y轴对称点E′，连接DE′，交y轴于点P，此时△PDE周长最小，求出点D ,0 ，然后
2
6 3
再用待定系数法求出直线DE′解析式为y=− x+ 即可；
5 5
本题考查一次函数的图象及性质，轴对称最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：把(n，3)代入y=x+1得：3=n+1，
解得：n=2，
∴E(2,3)，
{2k+b=−3)
把E(2,3)，C(0，−1)代入y=kx+b得： ，
b=−1
{ k=2 )
解得： ，
b=−1
故答案为：2，−1；（2）∵E(2，3)，
∴由函数图象可得不等式kx+b>x+1的解集为：x>2；
（3）存在，理由，
如图，作点E关于y轴对称点E′，连接DE′，交y轴于点P，此时△PDE周长最小，
∵E(2，3)，
∴E′(−2，3)，
由（1）得直线l 的函数表达式为y=2x−1，
2
1
当y=0时，x= ，
2
(1 )
∴D ,0 ，
2
设直线DE′解析式为y=k x+b ，
1 1
6
{−2k
1
+b
1
=3
)
{ k
1
=−
5
)
∴ 1 ，解得： ，
k +b =0 3
2 1 1 b =
1 5
6 3
∴直线DE′解析式为y=− x+ ，
5 5
3
当x=0时，y= ，
5
( 3)
∴点P 0, ．
5
7．（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，点C(a,b)在第
三象限，AC⊥AB，AC=AB，若a，b满足|a+2)+(b+3) 2=0(1)如图1，求点A，B，C的坐标；
(2)D为x轴上一点，过点A作AE⊥AD且AE=AD（A，D，E三点按顺时针方向排列），连接EC，写出
线段EC，OB，OD之间的数量关系的所有情况，并选择其中一种加以证明；
(3)如图2，将线段AB平移，与x，y轴分别交于点M，N，在过点C且与x轴垂直的直线上存在点P，使得
△MNP为等腰直角三角形（MN为直角边），请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)A(0,2)，B(5,0)，C(−2,−3)
(2)见解析
( 10)
(3)P(−2,5)或P(−2,−7)或P −2,−
7
【分析】（1）根据已知等式|a+2)+(b+3) 2=0中绝对值的非负性，可求出a和b的值，得到点C的坐
标，过点C作CD⊥AO于点D，证明△ACD≌△BAO(AAS)，从而得到AO=CD=2，BO=AD，进而
得到点A和B的坐标；
（2）分三种情况画出图形，根据同角的余角相等可证∠CAE=∠BAD，再证明△ACE≌△ABD(SAS)，
根据对应边相等可得答案；
（3）根据题意画出图形，利用一次函数与坐标轴的交点问题，及利用全等三角形的性质求出对应边的
长，从而得解．
【详解】（1）解：过点C作CD⊥AO于点D．∴∠CDA=∠AOB=90°，
∵|a+2)+(b+3) 2=0，
又∵|a+2)≥0，(b+3) 2≥0，
∴|a+2)=0，(b+3) 2=0，
∴a=−2，b=−3．
∴C(−2,−3)．
∴CD=2，OD=3．
在Rt△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°．
∵CA⊥AB，
∴∠CAB=∠DAC+∠BAO=90°．
∴∠C=∠BAO．
在△ACD和△BAO中，
{∠CDA=∠AOB
)
∠C=∠OAB ，
AC=BA
∴△ACD≌△BAO(AAS)．
∴AO=CD=2，BO=AD．
∴AD=AO+OD=2+3=5．
∴BO=5．
∴A(0,2)，B(5,0)．
（2）解：EC=OD−OB或EC=OB−OD或EC=OB+OD．
情况1，如图：
∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
{
AC=AB
)
∠CAE=∠BAD ，
AE=AD
∴△ACE≌△ABD(SAS)．
∴EC=DB．
∵DB=OD−OB，
∴EC=OD−OB．
情况2，EC=OB−OD，如图，
同理可得∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴EC=DB，
∵DB=OB−OD
∴EC=OB−OD；
情况3，EC=OB+OD，如图，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠CAE=∠BAD，
又∵AE=AD，AC=AB，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴EC=DB，
∵DB=OB+OD，
∴EC=OB+OD；
（3）解：①将AB向左平移OB的长度，再向下平移OA的长度后与x轴、y轴相交于点M，N，如图，
∴点M纵坐标为0，点N的横坐标为0，
∵A(0,2)，B(5,0)，
∴M(−5,0)，N(0,−2)，
∴OM=5，ON=2，
∵C(−2,−3)，PC⊥x轴，
∴点P的横坐标为−2，
过点M作GQ⊥x轴，过点P作PG⊥GQ于G，过点N作NQ⊥GQ于Q，则∠Q=∠G=90°，
∵∠GMP+∠QMN=∠QMN+∠QNM=90°，△MNP为等腰直角三角形，
∴∠GMP=∠QNM，MN=PM，
∴△GPM≌△QMN(AAS)，
∴GM=QN=5，
∴点P的坐标为P(−2,5)；
②如图, 过点P作PG⊥AO于G，同理△GPN≌△QNM，
∴NG=OM=5，
∴OG=ON+NG=2+5=7，
∴点P的坐标为P(−2,−7)；
③如图，
同理可得△PDM≌△MON，
∴DM=ON，DP=OM，
∴ON+OM=DM+OM=OD=2，
∵A(0,2)，B(5,0)，
∴设直线AB的解析式为：y=kx+t，
{5k+t=0) { k=− 2 )
则有： ，解得： 5 ，
t=2
t=2
2
∴l :y=− x+2，
AB 5
设点N的坐标为(0,n)，
2
∵平移后的直线MN的解析式为y=− x+n，
5(5n )
∴M ,0 ，
2
∵ON+OM=2，
5n
∴− −n=2，
2
4
解得：n=− ，
7
5n 10
∴DP=OM=− = ，
2 7
10
∴P (−2,− )，
3 7
( 10)
故P(−2,5)或P(−2,−7)或P −2,− ．
7
【点睛】此题考查了偶次方的非负性，一次函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟
练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8．（24-25八年级·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点C(0，6)的直线AB与直线OA
相交于点A(4，2)．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使PA+PC的值最小，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐
标；
【答案】(1)y=−x+6
(2)存在，点P的坐标(3，0)
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、C坐标代入，利用待定系数法，即可求出函数解
析式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，连接CP，此时PA+PC最小，根据点C关于x轴的对称点D，得出点D的坐标，然后根据待定系数法求出直线AD的解析式，然后令y=0，得出
2x−6=0，解出方程，即可得出点P的坐标．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
{ b=6 )
根据题意，可得： ，
4k+b=2
{k=−1)
解得： ，
b=6
∴直线AB的解析式为y=−x+6；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点C关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，连接CP，
∴PC=PD，
∴PA+PC=PA+PD=AD，
∴此时PA+PC的值最小，
∵C(0，6)，
∴点C关于x轴的对称点D的坐标为(0，−6)，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
{ n=−6 )
根据题意，可得： ，
4m+n=2
{m=2
)
解得： ，
n=−6
∴直线AD的解析式为y=2x−6，
令y=0，则2x−6=0，
解得：x=3，
∴点P的坐标(3，0)．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、轴对称—最短路径问题、求点的坐标，解本的关键在
求出直线AB的解析式．
9．（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+6与x轴和y轴分别交于
点B和点C，与直线OA相交于点A(4,2)，动点M在线段OA和射线AC上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求△OAC的面积．
1
(3)是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说
4
明理由．
【答案】(1)B的坐标为(6,0)，点C的坐标为(0,6)
(2)12
( 1)
(3)存在，点M的坐标是 1, 或(1,5)或(−1,7)
2
【分析】（1）在y=−x+6中，令y=0，则x=6；令x=0，则y=6，从而可得答案；
（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；
1 1 1
（3）设点M的坐标为(a,b)，求解直线OA的表达式是y= x，由 ×6×|a)= ×12，可得a=±1，当点
2 2 4
1 1
M在线段OA上时，如图①，则a=1，此时b= ×1= ，当点M在射线AC上时，如图②，a=1时，
2 2
b=−a+6=5，则点M 的坐标是(1,5)；a=−1时，b=−a+6=7，则点M 的坐标是(−1,7)．从而可得答
1 2
案．
【详解】（1）解：在y=−x+6中，令y=0，则x=6；令x=0，则y=6．
故点B的坐标为(6,0)，点C的坐标为(0,6)．
（2）∵C(0,6)，A(4,2)，
1
∴S = ×6×4=12．
△AOC 21
（3）存在点M使S = S ． 理由如下：
△OMC 4 △OAC
设点M的坐标为(a,b)，直线OA的表达式是y=mx．
∵A(4,2)，
1
∴4m=2，解得m= ．
2
1
∴直线OA的表达式是y= x．
2
1
∵S = S ，
△OMC 4 △OAC
1 1
∴ ×6×|a)= ×12．
2 4
∴a=±1．
1 1
当点M在线段OA上时，如图①，则a=1，此时b= ×1= ，
2 2
( 1)
∴点M的坐标是 1, ．
2
当点M在射线AC上时，如图②，a=1时，b=−a+6=5，则点M 的坐标是(1,5)；
1
a=−1时，b=−a+6=7，则点M 的坐标是(−1,7)．
2
1
综上所述，点M的坐标是(1, )或(1,5)或(−1,7)．
2
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标
与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
10．（24-25八年级·北京密云·期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，给出如下定义：点N为
图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．(1)已知点A(4,0)，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点B(−2,3),C(1,3),D(−2,0)．
①连接BC，求点D和线段BC的中立点E的横坐标x 的取值范围；
E
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在ΔBCD的边上存在点F和ΔBCD的中立点，直接写出点F
的横坐标x 的取值范围．
F
【答案】(1)(2,0)
1
(2)①−2≤x ≤− ；②−3≤x ≤4
E 2 F
【分析】（1）根据“中立点”的定义求解即可；
（2）①连接BD，取BD中点E ，求出E 的横坐标，连接CD，取CD中点E ，根据中点坐标公式求出E
1 1 2 2
的横坐标，即可得出对答案；
②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可．
【详解】（1）∵点A(4,0)，若点P是点A和原点的中立点，
∴P(2,0)，
故答案为：(2,0)；
（2）① 连接BD，取BD中点E ，如图，
1
∵B(−2,3),D(−2,0)，
∴E 点的横坐标−2，
1
连接CD，取CD中点E ，
2
∵B(−2,3),C(1,3)，−2+1 1
∴x = =− ，
E 2 2 2
1
∴−2≤x ≤− ；
E 2
②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为y=x．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点F 的纵坐标是−3，代入y=x，得
1
∴x=−3，即点F 的横坐标是−3．
1
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是-2，C(1,3)，
−2+x
∴ F 2=1，
2
∴x =4，
F
2
∴−3≤x ≤4．
F
【点睛】本题考查了新定义，中点坐标公式，正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键．
