文档内容
专题 2.4 整式的加减全章八类必考点
【人教版2024】
【考点1 单项式、多项式相关概念】......................................................................................................................1
【考点2 整式的加减计算】......................................................................................................................................3
【考点3 整式的加减（不含某项）】......................................................................................................................6
【考点4 整式的加减（新定义）】..........................................................................................................................9
【考点5 整式的加减在图形中的应用】................................................................................................................16
【考点6 整式的化简求值】....................................................................................................................................21
【考点7 规律探究（数式规律）】........................................................................................................................26
【考点8 规律探究（图形规律）】........................................................................................................................33
【考点1 单项式、多项式相关概念】
2 1 1 x+3
1．（2024 秋•杨浦区校级月考）在代数式 2x2y，﹣5b2， ，0，5x2− y2 ， (m+n) 2 ， ，
3x 6 π 3
y2+6y+9中，整式的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据整式的定义求解．
1 1 x+3
【解答】解：式子2x2y，﹣5b2，0，5x2− y2 ， (m+n) 2 ， ，y2+6y+9，符合整式的定义，是整
6 π 3
式；
2
式子 ，分母中含有字母，不是整式．
3x
故整式有7个．
故选：C．
2 1 1 3x2+5
2．（2024•碑林区校级开学）代数式﹣0.3x，0，2m2n3﹣5m4， x2y3 ， ab2 ，− ，﹣2a2b2c，
5 3 2 2
中单项式有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据单项式和多项式的定义，对已知条件中的代数式进行判断，然后解答即可．3x2+5 2 1 1
【解答】解：∵2m2n3﹣5m4， 是多项式，﹣0.3x，0， x2y3 ， ab2 ，− ，﹣2a2b2c都是单项
2 5 3 2
式，
∴单项式有6个，
故选：B．
1 1 x2+2x+1 2
3．（2023秋•泗水县期中）下列式子：①abx；②x2﹣2xy+ ；③ ；④ ；⑤− x+y；⑥
y a x−2 3
5 x+1
；⑦ ．其中是多项式的有（ ）
π 2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】直接利用多项式的定义分析得出答案．
1 1 x2+2x+1 2 5 x+1
【解答】解：①abx；②x2﹣2xy+ ；③ ；④ ；⑤− x+y；⑥ ；⑦ ，是多项式
y a x−2 3 π 2
2 x+1
的有：⑤− x+y；⑦ 共有2个．
3 2
故选：A．
3πx2y2 3π
4．（2023秋•金牛区校级期中）单项式− 的系数是 − ，次数是 4 ．
2 2
【分析】根据单项式的系数和次数的定义解答即可．
【解答】解：因为 是数字不是字母，
3πx2 πy2 3π
所以单项式− 的系数是− ，
2 2
因为x的次数是2，y的次数是2，
则2+2＝4，
3πx2y2
所以单项式− 的次数是4，
2
3π
故答案为：− ；4．
2
1 n 2023
5．（2023秋•万州区期末）如果单项式− xm+2y与2x4yn+3的和是单项式，那么( ) = ﹣ 1 ．
2 m
【分析】根据同类项的概念列出方程，解方程求出m、n，根据有理数的乘方法则计算，得到答案．
【解答】解：由题意得：m+2＝4，n+3＝1，
解得：m＝2，n＝﹣2，n −2
则（ ）2023＝（ ）2023＝﹣1．
m 2
故答案为：﹣1．
6．（2023秋•海南期末）已知（m﹣1）a|m+1|b3是关于a、b的五次单项式，则m＝ ﹣ 3 ．
【分析】根据单项式的次数的意义可得|m+1|＝2且m﹣1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m+1|＝2且m﹣1≠0，
∴m＝1或﹣3且m≠1，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
7．（2023秋•仪陇县校级期中）若多项式5x5﹣3x3+（m﹣4）xm是关于x的五次二项式，则m＝ 4 或 3 或
5 ．
【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成
多项式的单项式的个数．
【解答】解：∵多项式5x5﹣3x3+（m﹣4）xm是五次二项式，
∴m﹣4＝0或m＝3或m＝5，
∴m＝4或m＝3或m＝5．
故答案为：4或3或5．
【考点2 整式的加减计算】
1．（2023秋•成武县期末）已知两个整式的差是c2d2﹣a2b2，其中一个整式是a2b2+c2d2﹣2abcd，则另一个
整式是 ．
【分析】当a2b2+c2d2﹣2abcd是减数时，与差相加；当a2b2+c2d2﹣2abcd是被减数时，与差相减，最后
计算出结果．
【解答】解：a2b2+c2d2﹣2abcd+c2d2﹣a2b2＝2c2d2﹣2abcd；
a2b2+c2d2﹣2abcd﹣（c2d2﹣a2b2）＝2a2b2﹣2abcd．
2．（2024春•南岗区校级月考）设A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B的次数是（ ）
A．7 B．4 C．3 D．4或3
【分析】根据合并同类项得法则可得出A+B的次数是四次的．
【解答】解：∵A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，
∴A+B的次数是4，
故选：B．3．（2024春•萨尔图区校级期末）若A，B，C都是关于x的三次多项式，则A﹣B+C是关于x的（ ）
A．三次多项式
B．六次多项式
C．不高于三次的多项式
D．不高于三次的多项式或单项式
【分析】本题主要运用多项式的加减运算法则、多项式的次数的定义以及分情况讨论的数学方法来解
决．
【解答】选项A，若A，B，C三项中的最高项即三次项运算后不能抵消，则 A﹣B+C可能是关于x的三
次多项式，但不能确定，故选项A错误；
选项B，三个三次多项式相加减，最多是三次多项式，不可能是六次多项式，故选项B错误；
选项C，若A，B，C三项中的最高项即三次项运算后能抵消，则A﹣B+C结果的次数小于三次，也可能
不是多项式，而成为单项式，故选项C错误；
选项D，如若A＝x3+x，B＝2x3+x，C＝x3+x，则A﹣B+C＝（x3+x）﹣（2x3+x）+（x3+x）＝x3+x﹣2x3﹣
x+x3+x＝x，而x是一个关于x的单项式．
故选：D．
4．（2023秋•海阳市期末）A和B都是三次多项式，则A+B一定是（ ）
A．三次多项式
B．次数不高于3的整式
C．次数不高于3的多项式
D．次数不低于3的整式
【分析】把整式相加，本质就是合并同类项，只把系数相加减，字母部分不变，因此次数不变，如果最
高次项系数互为相反数，次数就会减小．
【解答】解：A和B都是三次多项式，则A+B一定是次数不高于3的整式，
故选：B．
5．（2024秋•浦东新区校级月考）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：
1 1 3 1
(−x2+5xy− y2 )−(− x2+4xy− y2 )=− x2 +y2，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的
2 2 2 2
一项应是（ ）
A．+xy B．﹣xy C．+9xy D．﹣7xy
1 1 3
【分析】先计算（﹣x2+5xy− y2）﹣（− x2+4xy− y2），然后对比题干中的式子，即可得到被墨水遮
2 2 2住的一项．
1 1 3
【解答】解：（﹣x2+5xy− y2）﹣（− x2+4xy− y2）
2 2 2
1 1 3
＝﹣x2+5xy− y2+ x2﹣4xy+ y2
2 2 2
1
=− x2+xy+y2，
2
∴被墨水遮住的一项应是+xy，
故选：A．
6．（2023秋•德州期末）小文在做多项式减法运算时，将减去 2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得
的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+1 B．3a2+4a﹣9 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6
【分析】设这个整式运算中的被减数为 A，则A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，从而可求出 A，再计算A﹣
（2a2+3a﹣5）即可得．
【解答】解：设这个整式运算中的被减数为A，
由题意得：A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，
则A＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5
＝﹣a2﹣2a+1，
所以正确的结果是A﹣（2a2+3a﹣5）
＝﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5）
＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5
＝﹣3a2﹣5a+6，
故选：D．
7．（2023秋•呈贡区期末）已知M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a﹣1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．以上都有可能
【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果．
【解答】解：∵M﹣N
＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a﹣1）
＝﹣2a2+4a+1+3a2﹣4a+1
＝a2+2＞0，
∴M＞N．故选：A．
【考点3 整式的加减（不含某项）】
1．（2023秋•阿图什市校级期末）已知A＝3x3+2x2﹣5x+7m+2，B＝2x2+mx﹣3，若多项式A+B不含一次
项，则多项式A+B的常数项是（ ）
A．16 B．24 C．34 D．35
【分析】首先求出A+B，根据多项式A+B不含一次项，列出方程求出m的值即可解决问题．
【解答】解：∵A+B＝（3x3+2x2﹣5x+7m+2）+（2x2+mx﹣3）
＝3x3+2x2﹣5x+7m+2+2x2+mx﹣3
＝3x2+4x2+（m﹣5）x+7m﹣1，
∵多项式A+B不含一次项，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5，
∴多项式A+B的常数项是34，
故选：C．
2．（2023秋•江岸区期末）若关于x、y的多项式（4x2﹣ax+5y﹣3）﹣2（﹣bx2﹣4x+y﹣3）的值与字母x
的取值无关，则b+a的值是（ ）
A．10 B．﹣6 C．﹣10 D．6
【分析】先将多项式化简，其次将含有x项的系数为0即可求解．
【解答】解：（4x2﹣ax+5y﹣3）﹣2（﹣bx2﹣4x+y﹣3）
＝4x2﹣ax+5y﹣3+2bx2+8x﹣2y+6
＝（4+2b）x2+（8﹣a）x+3y+3，
∵多项式的值与字母x的取值无关，
∴4+2b＝0，8﹣a＝0，
∴b＝﹣2，a＝8，
∴b+a＝﹣2+8＝6，
故选：D．
3．（2023秋•霸州市期中）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定
值12，则m＝ ﹣ 5 ，n＝ 3 ．
【分析】先将整式化简，再让含有x和y的项系数为0，得出m和n的值，即可求解．
【解答】解：（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）
＝3x2﹣my+9﹣nx2﹣5y+3＝（3﹣n）x2﹣（m+5）y+12，
∵无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，
∴3﹣n＝0，m+5＝0，
解得：n＝3，m＝﹣5．
故答案为：﹣5；3．
4．（2023秋•锦江区校级期末）已知关于x的整式A、B，其中A＝4x2+（m﹣1）x+1，B＝nx2﹣2x+1．
（1）求A﹣2B；
（2）若A﹣2B中不含x二次项和一次项，求m+n的值．
【分析】（1）将整式A，B代入所求式中，再根据去括号法则、合并同类项法则计算即可；
（2）由A﹣2B中不含x二次项和一次项可知，含x二次项和一次项的系数均为0，以此求解即可．
【解答】解：（1）A﹣2B＝4x2+（m﹣1）x+1﹣2（nx2﹣2x+1）
＝4x2+（m﹣1）x+1﹣2nx2+4x﹣2
＝（4﹣2n）x2+（m+3）x﹣1．
（2）∵A﹣2B中不含x二次项和一次项，
∴4﹣2n＝0，m+3＝0，
∴n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．
5．（2023秋•竹溪县期末）小明在准备化简代数式3（4x2+6xy）﹣■（x2+3xy﹣2）时一不小心将墨水滴在
了作业本上，使得（x2+3xy﹣2）前面的系数看不清了，于是小明就打电话询问李老师，李老师为了测
试小明对知识的掌握程度，于是对小明说：“该题标准答案的结果不含有 y．”请你通过李老师的话
语，帮小明解决如下问题：
（1）■的值为 6 ；
（2）求出该题的标准答案．
【分析】（1）先假设看不清的系数为a，再对代数式进行运算，最后根据结果不含有y求出答案．
（2）将完整的代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）设看不清的系数为a．
∴3（4x2+6xy）﹣a（x2+3xy﹣2），
＝12x2+18xy﹣ax2﹣3axy+2a，
＝（12﹣a）x2+（18﹣3a）xy+2a，
∵该题标准答案的结果不含有y，
∴18﹣3a＝0，∴a＝6．
故答案为：6．
（2）3（4x2+6xy）﹣6（x2+3xy﹣2），
＝12x2+18xy﹣6x2﹣18xy+12，
＝6x2+12．
1 1 1
6．（2024秋•杨浦区校级月考）已知：A=2x2+ax− y+ ，B＝x﹣4y+2﹣2bx2，A− B的值与字母x
3 5 2
取值无关，求2a﹣5b的值．
1
【分析】先根据整式的混合运算计算出A− B的值，再根据无关项计算出a，b的值，然后代入所求式
2
子计算即可．
1 1
【解答】解：∵A=2x2+ax− y+ ，B＝x﹣4y+2﹣2bx2，
3 5
1
∴A− B
2
1 1 1
=2x2+ax− y+ − (x−4 y+2−2bx2 )
3 5 2
1 1 1
＝2x2+ax− y+ − x+2y﹣1+bx2
3 5 2
1 5 4
=(2+b)x2+(a− )x+ y− ，
2 3 5
1
∵A− B的值与字母x取值无关，
2
1
∴2+b=0，a− =0，
2
1
∴a= ，b=−2，
2
1
∴2a−5b=2× −5×(−2)=11．
2
7．（2023秋•秦都区期中）无论x、y为何值，关于x、y的多项式2x2+my﹣12与多项式nx2﹣3y+6的差均
是一个定值，求m+n﹣mn的值．
【分析】根据关于x、y的多项式2x2+my﹣12与多项式nx2﹣3y+6的差均是一个定值，可以得到m、n的
值，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：（2x2+my﹣12）﹣（nx2﹣3y+6）＝2x2+my﹣12﹣nx2+3y﹣6
＝（2﹣n）x2+（m+3）y﹣18，
∵无论x、y为何值，关于x、y的多项式 2x2+my﹣12与多项式 nx2﹣3y+6的差均是一个定值，
∴2﹣n＝0，m+3＝0，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n﹣mn
＝﹣3+2﹣（﹣3）×2
＝﹣3+2+6
＝5．
【考点4 整式的加减（新定义）】
1．（2024秋•渝中区校级月考）有两个依次排列的代数式：x2，x2﹣4x+4，用第二个代数式减去第一个代
数式得到a ＝2，将a ＝2加8得到a ，将第2个代数式与a 相加得到第3个代数式，将a 加8得到
1 1 2 2 2
a ，将第3个代数式与a 相加得到第四个代数式，……依此类推．则以下结论：
3 3
①a ＝﹣4x+44；
6
②当第2024个代数式的值为36时，x＝4042或4054；
③a +a +a +⋯+a =−4nx+4n2（n为正整数）．其中正确的个数是（ ）
1 2 3 n
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由题意可推导一般性规律为a ＝﹣4x+8n﹣4；第n个代数式为（x﹣2n+2）2；则a ＝﹣4x+8×6
n 6
﹣4＝﹣4x+44，可判断①的正误；当第2024个代数式的值为36时，（x﹣2×2024+2）2＝36，可求x＝
4040 或 x＝4052，可判断②的正误；a
1
+a
2
+a
3
+⋯+a
n
＝﹣4x+8×1﹣4﹣4x+8×2﹣4+⋯﹣4x+8×n﹣4
n(n+1)
=−4nx+8× −4n=−4nx+4n2，可判断③的正误．
2
【解答】解：由题中给出的代数式之间的关系可得：a =x2−4x+4−x2=−4x+4，
1
a ＝a +8＝﹣4x+12，
2 1
第3个式子为x2﹣4x+4﹣4x+12＝x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，
a ＝a +8＝﹣4x+20，
3 2
第四个式子为a +a ＝x2﹣8x+16﹣4x+20＝x2﹣12x+36＝（x﹣6）2，
2 3
a ＝a +8＝﹣4x+28，
4 3第5个式子为x2﹣12x+36﹣4x+28＝x2﹣16x+64＝（x﹣8）2，
……
∴a ＝﹣4x+8n﹣4；
n
第n个代数式为（x﹣2n+2）2；
∴a ＝﹣4x+8×6﹣4＝﹣4x+44，正确，故①符合要求；
6
由题意可得：
（x﹣2×2024+2）2＝36，
∴（x﹣4046）2＝36，
∴x﹣4046＝±6，
∴x＝4040或x＝4052，错误，故②不符合要求；
a
1
+a
2
+a
3
+⋯+a
n
＝﹣4x+8×1﹣4﹣4x+8×2﹣4+⋯﹣4x+8×n﹣4
＝﹣4nx+8（1+2+3+⋯+n）﹣4n
n(n+1)
=−4nx+8× −4n
2
＝﹣4nx+4n2，正确，故③符合要求；
故选：C．
2．（2023秋•彭水县期末）对多项式a﹣b﹣c﹣d任意加一个或者两个小括号后仍然只含减法运算并将所
得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（a﹣b）﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c+d，a﹣b﹣（c﹣d）＝a﹣b
﹣c+d…，则下列说法中正确的有（ ）个．
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③只添加一个小括号，共有3种不同的结果；
④所有的“加算操作”共有4种不同的结果．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据括号前是“+”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过例
举判断③．
【解答】解：①如（a﹣b）﹣c﹣d＝a﹣b﹣c﹣d，（a﹣b﹣c）﹣d＝a﹣b﹣c﹣d，故①符合题意；
②a﹣b﹣c﹣d的相反数为﹣a+b+c+d，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意；
③第1种：（a﹣b）﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c+d；
第2种a﹣（b﹣c）﹣d＝a﹣b+c﹣d；第3种：a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d；
第4种：（a﹣b）﹣c﹣d＝a﹣b﹣c﹣d；
故③符合题意；
正确的个数为3，
故选：C．
3．（2023秋•铜梁区校级期末）有依次排列的3个整式：x，x+6，x﹣3，对任意相邻的两个整式，都用右
边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串．例如：x，6，
x+6，﹣9，x﹣3，我们称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以
此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：x，6﹣x，6，x，x+6，﹣x﹣15，﹣9，x+6，x﹣3；
②整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和大3；
③整式串5共65个整式；
④整式串2026的所有整式的和为3x﹣6075；
上述四个结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题中所给操作方式，依次求出整式串，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
整式串1为：x，6，x+6，﹣9，x﹣3，整式串1的所有整式的和为：3x；
整式串2为：x，6﹣x，6，x，x+6，﹣15﹣x，﹣9，x+6，x﹣3，整式串2的所有整式的和为：3x﹣3；
整式串3为：x，6﹣2x，6﹣x，x，6，x﹣6，x，6，x+6，﹣21﹣2x，﹣15﹣x，x+6，﹣9，x+15，x+6，
﹣9，x﹣3，整式串3的所有整式的和为：3x﹣6；
故①正确．
因为3x﹣6﹣（3x﹣3）＝﹣3，
故②错误．
整式串1中整式的个数为：5＝2×3﹣1；
整式串2中整式的个数为：9＝2×5﹣1；
整式串3中整式的个数为：17＝2×9﹣1；
整式串4中整式的个数为：33＝2×17﹣1；
整式串5中整式的个数为：65＝2×33﹣1；
故③正确．
由上面的发现可知，整式串1的所有整式的和为：3x﹣0×3；
整式串2的所有整式的和为：3x﹣1×3；
整式串3的所有整式的和为：3x﹣2×3；
整式串4的所有整式的和为：3x﹣3×3；
…，
所以整式串n的所有整式的和为：3x﹣3（n﹣1），
当n＝2026时，
3x﹣3（n﹣1）＝3x﹣6075．
故④正确．
故选：C．
4．（2023秋•铜梁区期末）在式子a×b+x+y中，a，b，x，y互不相等且都为正数，把任意两个字母交换位
置，然后化简运算，称为一次“交换操作”；例如一次“a，y交换操作”：y×b+x+a＝by+a+x（注意：
“a，y交换操作”与“y，a交换操作”算相同的“交换操作”）．下列说法：①存在“交换操作”，
使其运算结果与原式运算结果相等；②所有的“交换操作”一共有6种不同的运算结果；③若b＝1，
则有4次“交换操作”的运算结果相等；其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意可以判断题目中的各个说法是否正确．
【解答】解：①当a，b交换或x，y交换时，运算结果和原式运算结果相同，故①正确；
②所有的“交换操作”一共有ab+x+y，ay+x+b，ax+y+b，by+x+a，bx+y+a，一共有5种不同的运算结
果，故②错误；
③若b＝1，则有4次“交换操作”的运算结果相等，分别是a+x+y，a+y+x，x+a+y，x+y+a，故③正
确．
故选：C．
5．（2023秋•海淀区校级期末）小琪在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式
m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活
动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（ ）A．2n﹣m B．m C．n﹣m D．m+n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每 6个整式一循环，再求解每6个整式的整
式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2024次后出现2026个整式，结合
2026÷6＝337…4，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……，
第 2024次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m，﹣m；共2026
个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+
（﹣n+m）＝0，
∵2026÷6＝337…4，
∴第2024次操作后得到的整式中，求最后四项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）+（﹣m）＝2n﹣m．
故选：A．
6．（2023秋•渝中区期末）对一列整式进行如下操作：依次用左边的整式减去与之相邻的右边的整式，所
得之差写在这两个整式之间，产生一列新的整式，完成以上步骤称为一次操作．如整式列：x，2x﹣1经
过第一次操作后得到整式列（1）：x，1﹣x，2x﹣1；将整式列（1）按上述方式再做一次操作，可以得
到整式列（2）：x，2x﹣1，1﹣x，2﹣3x，2x﹣1；…；以此类推，可以得到无数个整式列．以下结
论：
①整式列（3）的各项之和为2；
②整式列（5）一共有33项；
③若x＝﹣1，则整式列（2023）各项之和4042．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据题意求出整式列（3）为：x，l﹣x，2x﹣1，3x﹣2，1﹣x，2x﹣1，2﹣3x，3﹣5x，2x﹣1，再根据整式的加减计算法则求出整式列（3）的各项之和即可判断①；
第四次操作后有9+8＝17项，则第五次操作后有17+16＝33项，即可判断②；
求出整式列（1）（2）（3）的各项之和可得规律整式列（n）的各项之和为2（n﹣2），据此可判断
③．
【解答】解：根据题意可得整式列（3）为：x，1﹣x，2x﹣1，3x﹣2，1﹣x，2x﹣1，2﹣3x，3﹣5x，2x
﹣1；
∴x+（1﹣x）+（2x﹣1）+（3x﹣2）+（1﹣x）+（2x﹣1）+（2﹣3x）+（3﹣5x）+（2x﹣1）
＝x+1﹣x+2x﹣1+3x﹣2+1﹣x+2x﹣1+2﹣3x+3﹣5x+2x﹣1
＝2，故①正确；
第四次操作后有9+8＝17项，则第五次操作后有17+16＝33项，即整式列（5）一共有33项，故②正
确；
当x＝﹣1时，整式列（1）的各项之和
x+1﹣x+2x﹣1＝2x＝﹣2，
整式列（2）的各项之和为
x+2x﹣1+1﹣x+2﹣3x+2x﹣1＝x+1＝0，整式列（3）的各项之和为2，
⋯⋯，
以此类推，整式列（n）的各项之和为2（n﹣2），
∴整式列（2023）各项之和2×（2023﹣2）＝4042，故③正确；
∴正确的有3个．
故选：D．
7．（2023秋•北碚区校级期末）已知两个整式A＝a+b，B＝a﹣b，用整式A与整式B求和后得到整式N ＝
1
2a，称为第一次操作；将第一次操作的结果N 加上2A+B，结果记为N ，称为第二次操作；将第二次操
1 2
作的结果N 加上3A+2B，结果记为N ，称为第三次操作；将第三次操作的结果N 加上4A+3B，结果记
2 3 3
为N ，称为第四次操作，…，以此类推．以下四个说法正确的个数是（ ）
4
①当a＝b时，则第5次操作的结果N ＝30a；
5
②当b＝﹣30a时，则有N ＝N ；
10 30
③N +N +N +N +N +N ＝97a+15b；
1 2 3 4 5 6
④当a＝2，b＝2023时，N ＞m2+2023m﹣2023．
m
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】依次求出 N ，N ，N ，N ，……，找到规律即可解决问题．
1 2 3 4
【解答】解：∵A＝a+b，B＝a﹣b，∴A+B＝（a+b）+（a﹣b）＝2a，
根据题意可知：N ＝A+B＝2a，
1
N ＝N +2A+B＝5a+b，
2 1
N ＝N +3A+2B＝10a+2b，
3 2
N ＝N +4A+3B＝17a+3b，
4 3
……，
由此可见，第n次操作的结果为N =(n2+1)a+(n−1)b，
n
当b＝a时，则第5次操作的结果N ＝26a+4b＝26a+4a＝30a；
5
故①符合题意；
当b＝﹣30a时，
N ＝101a+9b＝101a﹣270a＝﹣169a，
10
N ＝901a+29b＝901a﹣870a＝31a，
30
∴N ≠N ；
10 30
故②不符合题意；
由题可知，N +N +N +N +N +N ＝（2+5+10+17+26+37）a+（0+1+2+3+4+5）b＝97a+15b，
1 2 3 4 5 6
故③符合题意；
当a＝2，b＝2023时，N =2(m2+1)+2023(m−1)=2m2+2+2023m−2023=2m2+2023m﹣2021，
m
N −(m2+2023m−2023)=2m2+2023m−2021−(m2+2023m−2023)=2m2+2023m﹣ 2021﹣ m2﹣
m
2023m+2023＝m2+2＞0，
则N ＞m2+2023m−2023，
m
故④符合题意；
综上，①③④正确；
故选：D．
【考点5 整式的加减在图形中的应用】
1．（2023秋•泗洪县期末）图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方
式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即
两个长方形）的面积分别表示为S ，S ，若S＝S ﹣S ，且S为定值，则a，b满足的关系是（ ）
1 2 1 2A．a＝2b B．a＝3b C．a＝4b D．a＝5b
【分析】设BC＝n，先算求出阴影的面积分别为S ＝a（n﹣4b），S ＝2b（n﹣a），即可得出面积的差
1 2
为S＝S ﹣S ＝（a﹣2b）n﹣2ab，因为S的取值与n无关，即a﹣2b＝0，即可得出答案．
1 2
【解答】解：设BC＝n，
则S ＝a（n﹣4b），S ＝2b（n﹣a），
1 2
∴S＝S ﹣S ＝a（n﹣4b）﹣2b（n﹣a）＝（a﹣2b）n﹣2ab，
1 2
∵当BC的长度变化时，S的值不变，
∴S的取值与n无关，
∴a﹣2b＝0，
即a＝2b．
故选：A．
2．（2023秋•高阳县期末）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形ABCD中，将图中的两个空白
小长方形分别记为S ，S ，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ）
1 2
A．a+2b＝m
B．小长方形S 的周长为a+m﹣b
1
C．S 与S 的周长和恰好等于长方形ABCD的周长
1 2
D．只需知道a和m的值，即可求出S 与S 的周长和
1 2
【分析】A、由图可知，a+2b≠m；
B、小长方形S 的长为（m﹣b），宽为a，根据周长公式列式计算，即可判断；
1
C、分别计算S 与S 的周长，以及长方形ABCD的周长，即可判断；
1 2D、由C知，只需知道a和m的值，即可求出S 与S 的周长和．
1 2
【解答】解：A、由图可知，a+2b≠m，故本选项结论错误，不符合题意；
B、小长方形S 的周长为：2（m﹣b）+2a＝2m﹣2b+2a，故本选项结论错误，不符合题意；
1
C、小长方形S 的周长为2m﹣2b+2a，小长方形S 的周长为：2（m﹣2a）+2b＝2m﹣4a+2b，
1 2
所以S 与S 的周长和为：2m﹣2b+2a+2m﹣4a+2b＝4m﹣2a＝2m﹣2a+2m，
1 2
长方形ABCD的周长为：2m+2n＝2m﹣2a+4a+2b，
如果 S 与 S 的周长和恰好等于长方形 ABCD 的周长，那么 2m＝4a+2b，即 m＝2a+b，但是图中
1 2
a+2b≠m，
故本选项结论错误，不符合题意；
D、由C知，S 与S 的周长和为4m﹣2a，
1 2
所以只需知道a和m的值，即可求出S 与S 的周长和，
1 2
故本选项结论正确，符合题意．
故选：D．
3．（2023秋•瑶海区校级期末）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，如
要求出阴影部分周长的差，只需知道a，b，c，d中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【分析】欲了解两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，正方形①的边长为c，
正方形②的边长为b，正方形③的边长为a．进而推断出C阴影六边形 ＝2a+2b+2（d﹣a）＝2b+2d以及C
阴影四边形
＝2c+2（d﹣c）＝2d．那么两个阴影部分的周长之差为2b，所以只需要知道正方形②的边长，
即知道b就可以知道两个阴影部分的周长．
【解答】解：观察图形可知，正方形①的边长为c，正方形②的边长为b，正方形③的边长为a．
则C阴影六边形 ＝2a+2b+2（d﹣a）＝2b+2d，
C阴影四边形 ＝2c+2（d﹣c）＝2d，
C阴影六边形 ﹣C阴影四边形 ＝2b+2d﹣2d＝2b．
故选：B．
4．（2023秋•宁波期末）如图，一个长方形被分成了4个小长方形，其中②和③大小、形状相同，若要求出①和④两个长方形的周长之和，只要知道下列哪条线段的长度即可（ ）
A．线段AD B．线段AB C．线段ME D．线段MF
【分析】根据题意运用长方形周长公式进行列式、求解．
【解答】解：由题意得，
CD＝AB，DE＝CF＝AN，PC＝AE＝BF，
∴①和④两个长方形的周长之和为：
2（DP+DE）+2（BF+NB）
＝2（DP+DE+BF+NB）
＝2（DP+PC+AN+NB）
＝2（CD+AB）
＝2AB，
∴只要知道下列线段AB的长度即可，
故选：B．
5．（2023秋•嘉兴期末）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图
（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM＝ND．若AD＝17，m﹣n＝
8
9，则正方形①的边长为 ．
3
【分析】设AB＝x，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及
图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决．
【解答】解：设AB＝x，正方形①边长为a，正方形②边长为b，∵AD＝17，
则图（1）中阴影部分的周长和为m＝2（17﹣a）+2（17﹣b）+2（x﹣a）+2（x﹣b）
＝4x+68﹣4a﹣4b，
∵AM＝ND，
图（2）中阴影部分的周长和为
17 a 17−a 17−a 17−a
n=x+(17−b)+(x−a)+ + −b+a+ +x−b+ +x−b+ ，
2 2 2 2 2
＝4x+51﹣a﹣4b，
∵m﹣n＝9，
（4x+68﹣4a﹣4b）﹣（4x+51﹣a﹣4b）＝9，
8
解得：a= ，
3
8
则正方形①的边长为 ，
3
8
故答案为： ．
3
6．（2023秋•思明区校级期末）将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长
方形ABCD中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖
的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为C ，图2中阴影部分的周长为C ，则C ﹣C 的值为
1 2 1 2
0 ．
【分析】根据周长的计算公式，列出式子计算．
【解答】解：由题意知：
C ＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a．
1
∵ABCD是长方形．
∴AB＝CD．
∴C ＝2AD+2AB﹣2b．
1
同理：
C ＝AD﹣b+AB﹣a+a﹣b+a+BC﹣a+AB＝2AD+2AB﹣2b．
2∴C ﹣C ＝0．
1 2
故答案为：0．
7．（2023秋•郾城区期中）如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为a，b，
c，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为 2 b ．
【分析】设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，依次表示图上阴影部分的各边的长，从而利用
周长公式可得答案．
【解答】解：设重叠部分的小长方形的长与宽分别为x和y，
则阴影部分的周长为：
2（a+b﹣x﹣c）+2（b+c﹣y）﹣2（b﹣x）﹣2（a﹣y）
＝2a+2b﹣2x﹣2c+2b+2c﹣2y﹣2b+2x﹣2a+2y
＝2b．
故答案为：2b．
【考点6 整式的化简求值】
1．（2023秋•夏邑县期末）先化简，再求值．
1 1
5x2−[2xy−3( xy+2)+4x2 ]，其中x、y满足（x+2）2+|y− |＝0．
3 2
【分析】先根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于 x，y的方程，求出x，y，再根据去括
号法则和合并同类项法则进行化简，最后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可．
1
【解答】解：∵（x+2）2+|y− |＝0，
2
1
∴x+2=0，y− =0，
2
1
解得：x=−2，y= ，
2
原式＝5x2﹣（2xy﹣xy﹣6+4x2）＝5x2﹣2xy+xy+6﹣4x2
＝5x2﹣4x2﹣2xy+xy+6
＝x2﹣xy+6，
1
当x=−2，y= 时，
2
1
原式=(−2) 2−(−2)× +6
2
＝4+1+6
＝11．
2．（2023秋•贵阳期末）已知代数式A＝6x2+3xy+2y，B＝3x2﹣2xy+5x．
（1）求A﹣2B；
3
（2）当x=− ，y＝﹣6时，求A﹣2B的值；
4
（3）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【分析】（1）将A，B的代数式代入A﹣2B中计算即可；
（2）将数值代入（1）中化简结果计算即可；
（3）将（1）中化简结果变形后根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）∵A＝6x2+3xy+2y，B＝3x2﹣2xy+5x，
∴A﹣2B
＝6x2+3xy+2y﹣2（3x2﹣2xy+5x）
＝6x2+3xy+2y﹣6x2+4xy﹣10x
＝7xy+2y﹣10x；
3
（2）当 x=− ，y＝﹣6时，
4
A﹣2B
3 3
＝7×（− ）×（﹣6）+2×（﹣6）﹣10×（− ）
4 4
63 15
= −12+
2 2
＝27；
（3）A﹣2B
＝7xy+2y﹣10x
＝（7y﹣10）x+2y当7y﹣10＝0时，与x的取值无关，
10
即y= ．
7
3．（2023秋•雨湖区期末）（1）数学赵老师布置了一道数学题：已知x＝2023，求整式2（x2﹣5x+1）﹣
（﹣x+2x2﹣1）+9x的值，小涵观察后提出：“已知x＝2023是多余的．”你认为小涵的说法对吗？请
说明理由．
（2）已知整式A＝2x2﹣3kx+x+1，整式A与整式B之差是3x2﹣2kx+x．
①求整式B；
②若k是常数，且A+2B的值与x无关，求k的值．
【分析】（1）将原式去括号，合并同类项后即可得出答案；
（2）①根据题意列式计算即可；
②根据题意列式计算后得到关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）小涵的说法对，理由如下：
2（x2﹣5x+1）﹣（﹣x+2x2﹣1）+9x
＝2x2﹣10x+2+x﹣2x2+1+9x
＝3，
即整式的值与x的取值无关，
故小涵的说法对；
（2）①B＝2x2﹣3kx+x+1﹣（3x2﹣2kx+x）
＝2x2﹣3kx+x+1﹣3x2+2kx﹣x
＝﹣x2﹣kx+1，
即整式B为﹣x2﹣kx+1；
②A+2B
＝2x2﹣3kx+x+1+2（﹣x2﹣kx+1）
＝2x2﹣3kx+x+1﹣2x2﹣2kx+2
＝（﹣5k+1）x+3，
⸪A+2B的值与x无关，
⸫﹣5k+1＝0，
1
解得k= ．
5
3 1
4．（2023秋•梁山县期末）已知A= nx2−2x−1，B=3x2− mx+4．
2 3（1）当2A﹣3B的值与x的取值无关，求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，求多项式（2m2﹣3mn+3n2）﹣（m2﹣mn+2n2）的值．
【分析】（1）先把已知条件中的A，B代入2A﹣3B，然后利用去括号法则和合并同类项法则进行化
简，最后根据2A﹣3B的值与x的取值无关，列出关于m，n的方程，求出m，n即可；
（2）先利用去括号法则和合并同类项法则把所求多项式进行化简，然后再把（1）中所求m，n代入化
简后的式子进行计算即可．
3 1
【解答】解：（1）∵A= nx2−2x−1，B=3x2− mx+4，
2 3
3 1
∴2A﹣3B=2( nx2−2x−1)−3(3x2− mx+4)
2 3
＝3nx2﹣4x﹣2﹣9x2+mx﹣12
＝3nx2﹣9x2+mx﹣4x﹣12﹣2
＝（3n﹣9）x2+（m﹣4）x﹣14，
∵2A﹣3B的值与x的取值无关，
∴3n﹣9＝0，m﹣4＝0，
解得：m＝4，n＝3；
（2）（2m2﹣3mn+3n2）﹣（m2﹣mn+2n2）
2m2﹣3mn+3n2﹣m2+mn﹣2n2
＝2m2﹣m2+3n2﹣2n2+mn﹣3mn
＝m2+n2﹣2mn，
当m＝4，n＝3时，
原式＝m2+n2﹣2mn
＝（m﹣n）2
＝（4﹣3）2
＝12
＝1．
5．（2023秋•金牛区期末）已知m＝xy+2x﹣3y+1，n＝3xy﹣x+2y+4．
（1）当x＝﹣1时，且x、y在数轴上的位置如图所示，化简|m﹣3|+4|n+3|；
（2）若3m﹣2n的值与y的取值无关，求x的值．
【分析】（1）根据当x＝﹣1时，x、y在数轴上的位置可知y＞0，|y|＜1，可得m﹣3＝﹣4y﹣4＜0，n+3＝﹣y+8＞0，再根据绝对值的意义化简即可；
（2）由3m﹣2n＝﹣3xy+8x﹣13y﹣5，3m﹣2n的值与y的取值无关，得﹣3x﹣13＝0，即可求出答案．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，x、y在数轴上的位置可知y＞0，|y|＜1，
∴m﹣3＝﹣y﹣2﹣3y+1﹣3＝﹣4y﹣4＜0，n+3＝﹣3y+1+2y+4+3＝﹣y+8＞0，
∴|m﹣3|+4|n+3|
＝|﹣4y﹣4|+4|﹣y+8|
＝4y+4﹣4y+32
＝36；
（2）3m﹣2n
＝3xy+6x﹣9y+3﹣6xy+2x﹣4y﹣8
＝﹣3xy+8x﹣13y﹣5，
∵3m﹣2n的值与y的取值无关，
∴﹣3x﹣13＝0，
13
∴x=− ．
3
6．（2023秋•松阳县期末）已知A＝5x2+3kx﹣2，B＝﹣2x2+2kx+3．
（1）当k＝﹣3，x＝2时，求A的值；
（2）若3x2+kx＝4，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B＝12x2+k，且k是整数时，求整数x的值．
【分析】（1）将已知整式代入，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值；
（2）先化简2A﹣B，再将3x2+kx＝4整体代入求值即可；
7
（3）由题意得12x2+4kx﹣7＝12x2+k，化简得k（4x﹣1）＝7，从而得出k= ，再由k为整数，求
4x−7
出k的值，再求出x的值即可．
【解答】解：（1）当k＝﹣3，x＝2时，
A＝5x2+3kx﹣2
＝5×22+3×（﹣3）×2﹣2
＝20﹣18﹣2
＝0；
（2）2A﹣B＝2（5x2+3kx﹣2）﹣（﹣2x2+2kx+3）
＝10x2+6kx﹣4+2x2﹣2kx﹣3
＝12x2+4kx﹣7＝4（3x2+kx）﹣7，
∵3x2+kx＝4，
∴原式＝4（3x2+kx）﹣7＝4×4﹣7＝9；
（3）∵2A﹣B＝12x2+k，
∴12x2+4kx﹣7＝12x2+k，
∴4kx﹣k＝7，
∴k（4x﹣1）＝7，
7
∴k= ，
4x−7
∵k为整数，
∴k＝±1或±7，
又∵x为整数，
∴x＝0或x＝2．
7．（2023秋•百色期末）数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：2x5﹣（3x3y﹣2x2y）
+（3x3y﹣2x2y﹣2x5）+2023，其中x＝2024，y＝﹣2023．”同学们思考时小桐说：本题中x＝2024，y＝
﹣2023是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有 x和y，不给出x，y的值怎么能求出
多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．
【分析】将原式去括号，合并同类项后即可求得答案．
【解答】解：我同意小桐的观点，理由如下：
2x5﹣（3x3y﹣2x2y）+（3x3y﹣2x2y﹣2x5）+2023
＝2x5﹣3x3y+2x2y+3x3y﹣2x2y﹣2x5+2023
＝（2x5﹣2x5）+（﹣3x3y+3x3y）+（2x2y﹣2x2y）+2023
＝2023，
∵化简的结果不含有x和y，
∴结果跟x和y的取值无关，
因此本题中x＝2024，y＝﹣2023是多余的条件．
【考点7 规律探究（数式规律）】
1 1
1．（2024秋•凉州区校级月考）已知a＞0，S = ，S =−S −1，S = ，S =−S −1⋯．（即当
1 a 2 1 3 S 4 3
21
n为大于1的奇数时，S
n
=
S
；当n为大于1的偶数时，S
n
＝﹣S
n﹣1
﹣1）按此规律，当a＝2时，S
2024
n−1
3
＝ − ．
2
【分析】根据题目中的材料，可以计算出前几项的值，可以发现数据的变化规律，从而可以求得 S
2024
的值．
1
【解答】解：当a＝2时，S = ．
1 2
3
S =−S −1=− ．
2 1 2
1 2
S = =− ．
3 S 3
2
1
S =−S −1=− ．
4 3 3
1
S = =−3．
5 S
4
S ＝﹣S ﹣1＝2，
6 5
1 1
S = = ，
7 S 2
6
……
每6个数一循环，
2024÷6＝337……2，
3
∴S =− ，
2024 2
3
故答案为：− ．
2
2．（2024秋•中原区校级月考）观察一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，将这列数排成如图所
示形式．记a
i，j
，对应的数为第i行（最上为第1行）第j列（最左为第1列）的数，如a
2，3
＝4，那
么，a 9，9 对应的数为 ﹣ 7 3 ．【分析】根据图形中的数据，可以发现每行数字的个数和这列数中奇数都是负数，偶数都是正数，从而
可以求得a
9，9
对应的数字，本题得以解决．
【解答】解：由图可知，
第一行1个数，第二行3个数，第三行5个数，…，
则第n行有（2n﹣1）个数，
这列数奇数个数是负的，偶数个数正的，
第8行有2×8﹣1＝15个数，
8×(1+15)
则前8行一共有1+3+5+…+15= =64，
2
故第9行第9个数字是：64+9＝73，
即a
9，9
对应的数为：﹣73．
故答案为：﹣73．
4 8 16 32 64
3．（2024春•和平区校级期末）给出依次排列的一列数：﹣1， ，− ， ，− ， ，…，按照此
5 10 17 26 37
2n
规律，第n个数为 （﹣ 1 ） n ．
n2+1
【分析】分别从符号、分子、分母三个方面找规律求解．
2n
【解答】解：第n个数为：（﹣1）n ，
n2+1
2n
故答案为：（﹣1）n ．
n2+1
4．（2023秋•东莞市校级期中）观察下列三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…①
﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63…②1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32…③
（1）第①行的第n个数是 （﹣ 2 ） n ？
m
（2）第①行某列的数是m，则第②行该列的数是 m ﹣ 1 ，第③行该列的数是 − ；
2
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【分析】（1）由所给的数字不难得出第n个数为：（﹣2）n；
（2）第②行的数等于等于第①行中相应的数减1，第③行的数等于第①行中相应的数除以（﹣2），
据此可求解；
（3）求出各行中的第10个数相加即可．
【解答】解：（1）∵﹣2＝（﹣2）1，
4＝（﹣2）2，
﹣8＝（﹣2）3，
16＝（﹣2）4，
…，
∴第①行的第n个数是：（﹣2）n；
故答案为：（﹣2）n；
（2）∵﹣3＝﹣2﹣1，3＝4﹣1，﹣9＝﹣8﹣1，…，
∴第②行中的数为：（﹣2）n﹣1，
∵第①行某列的数是m，
∴第②行中的数为：m﹣1；
∵1＝﹣2÷（﹣2），﹣2＝4÷（﹣2），4＝﹣8÷（﹣2），…，
∴第③行中的数为：（﹣2）n÷（﹣2），
∵第①行某列的数是m，
m
∴第③行某列的数是：− ，
2
m
故答案为：m﹣1；− ；
2
（3）第①行第10个数为：（﹣2）10＝1024，
第②行第10个数为：1024﹣1＝1023，
第③行第10个数为：1024÷（﹣2）＝﹣512，
∴其和为：1024+1023﹣512＝1535．1 1 1 1 1 1 1 1
5．（2024秋•广信区校级月考）观察下列等式 =1− ， = − ， = − ，将以上三个
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
等式两边分别相加得： + + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1 1 1 1
（1）猜想并写出： = − ； = − ；
4×5 4 5 n(n+1) n n+1
（2）直接写出下列各式的计算结果：
1 1 1 1 2023
① + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 2023×2024 2024
1 1 1 1 n
② + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 n(n+1) n+1
1 1 1 1
（3）探究并计算： + + +⋯⋯+ ．
2×4 4×6 6×8 2022×2024
【分析】（1）观察已知等式可知相邻两个正整数乘积的倒数等于较小的数的倒数减去较大数的倒数，
据此规律求解即可；
（2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果；
（3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算．
1 1
【解答】解：（1） =1− ，
1×2 2
1 1 1
= − ，
2×3 2 3
1 1 1
= − ，
3×4 3 4
……，
1 1 1
以此类推可知， = − ，
n(n+1) n n+1
1 1 1
∴ = − ，
4×5 4 5
1 1 1 1
故答案为： − ； − ；
4 5 n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 2023
（2）①原式=1− + − + − +⋯+ − =1− = ；
2 2 3 3 4 2023 2024 2024 2024
1 1 1 1 1 1 1 1 n
②原式=1− + − + − +⋯+ − =1− = ；
2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+11 1 1 1 1
（3）原式= ×( + + +⋯+ )
4 1×2 2×3 3×4 1011×1012
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×(1− + − + − +⋯+ − )
4 2 2 3 3 4 1011 1012
1 1
= ×(1− )
4 1012
1 1011
= ×
4 1012
1011
= ．
4048
6．（2024秋•新吴区校级月考）仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题：
例：求1+2+22+23+24+⋯+22017的值．
解：令S＝1+2+22+23+24+⋯+22017，则2S＝2+22+23+24+25⋯+22018．
所以2S﹣S＝22018﹣1，即S＝22018﹣1．
所以1+2+22+23+24+⋯+22017＝22018﹣1．
仿照以上推理过程，计算下列式子的值：
（1）1+5+5+53+54+⋯+5100；
（2）1﹣3+32﹣33+34﹣35+⋯+32022．
【分析】（1）根据材料中的方法，设原式＝S，两边乘以5变形后，相减求出S即可；
（2）根据材料中的方法，设原式＝S，两边乘以3变形后，相加求出S即可．
【解答】解：（1）设S＝1+5+52+53+54+⋯+5100，
则5S＝5+52+53+54+⋯+5101，
∴5S﹣S＝5101﹣1，
5101−1
∴1+5+52+53+54+⋯+5100= ；
4
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+34﹣35+⋯+32022，
则3S＝3﹣32+33﹣34+35﹣36+⋯+32023，
32023+1
∴S= ，
4
32023+1
∴1−3+32−33+34−35+⋯+32022= ．
4
7．（2023秋•威远县校级期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：1
第①式：1×2= (1×2×3−0×1×2)；
3
1
第②式：2×3= (2×3×4−1×2×3)；
3
1
第③式：3×4= (3×4×5−2×3×4)；
3
1
将这三个等式的两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4= ×3×4×5=20；
3
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21＝ 308 0 ；
1
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+n（n+1）＝ n （ n +1 ）（ n +2 ） （用含n的式子表示）；
3
【阅读材料二】观察下列几个等式：
1
第①式：12= ×1×2×3=1；
6
1
第②式：12+22= ×2×3×5=5；
6
1
第③式：12+22+32= ×3×4×7=14；
6
1
第④式：12+22+32+42= ×4×5×9=30；
6
请你思考后解答下列问题：
（1）12+22+32+…+202＝ 287 0 ；
（2）12+22+32+…+n2＝ 1927 0 （用含n的式子表示）；
（3）计算：212+222+232+…+392+402；
【拓展应用】：
2 1
直 接 写 出 下 式 的 结 果 ： [(12+22+32+⋯+1002 )− (1×2+2×3+3×4+⋯+100×101)]=
33 2
10100 ．
【分析】【阅读材料一】（1）利用题干中的规律解答列式即可；
（2）利用题干中的规律解答列式即可；
【阅读材料二】（1）利用题干中的规律解答列式即可；
（2）利用题干中的规律解答列式即可；
（3）利用题干中的规律解答列式求得 12+22+32+…+202+212+222+232+…+392+402和12+22+32+…+202＝2870，两式相减即可得出结论；
1
【拓展应用】先计算得到12+22+32+…+1002= ×100×101×201，1×2+2×3+3×4+⋯+100×101的值，再代
6
入运算即可．
【解答】解：【阅读材料一】（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21
1
= ×20×21×22
3
＝3080．
故答案为：3080；
1
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+n（n+1）= n（n+1）（n+2）．
3
1
故答案为： n（n+1）（n+2）．
3
【阅读材料二】（1）12+22+32+…+202
1
= ×20×21×41
6
＝2870；
故答案为：2870；
1
（2）12+22+32+…+n2= n（n+1）（2n+1）．
6
1
故答案为： n（n+1）（2n+1）；
6
（3）∵12+22+32+…+202+212+222+232+…+392+402
1
= ×40×41×81
6
＝22140，
∵12+22+32+…+202＝2870，
∴212+222+232+…+392+402＝22140﹣2870＝19270；
1
【拓展应用】∵12+22+32+…+1002= ×100×101×201＝338350，
6
1
1×2+2×3+3×4+⋯+100×101= ×100×101×102＝343400，
3
2 1
∴ [(12+22+32+⋯+1002 )− (1×2+2×3+3×4+⋯+100×101)]
33 22 1
= ×（338350− ×343400）
33 2
＝10100．
故答案为：10100．
【考点8 规律探究（图形规律）】
1．（2024秋•黄陂区月考）古希腊著名的必达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形
数”，把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现任何一个大于1的“正方形
数”可以写成两个相邻的“三角形数”，即：（1）4＝1+3；（2）9＝3+6；（3）16＝6+10，…按这一
规律，请写出第6个图形中的一条等式 4 9 ＝ 21+2 8 ．
【分析】根据题中所给等式，发现规律，并用含n的等式表示出第n个图形中的等式，据此可解决问
题．
【解答】解：由题知，
因为第1个图形是：4＝22＝1+2+1＝1+3，
第2个图形是：9＝32＝1+2+3+2+1＝3+6，
第3个图形是：16＝42＝1+2+3+4+3+2+1＝6+10，
…，
n(n+1) (n+1)(n+2)
所以第n个图形是：（n+1）2＝1+2+3+…+n+n+1+…+3+2+1= + ．
2 2
当n＝6时，
第6个图形中的等式为：49＝21+28．
故答案为：49＝21+28．
2．（2024秋•迎泽区校级月考）如图所示：观察下列每一组图形中点的总个数，则第（n+2）个图中共有
3 n +7 个点．
【分析】根据点的个数变化得到第n个图点的个数表达式，即可解答．【解答】解：第一个图，有4个点；
第二个图，共有7个点；
第三个图，共有10个点；
∴每次变化都加多3个点；
∴第n个图点的个数为：1+3n；
∴（n+2）个图点的个数为：1+3（n+2）＝3n+7
故答案为：3n+7．
3．（2023秋•金寨县期末）如图是一组有规律的图煤，第 1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7
个基础形组成，……，第2024个图案中的基础图形个数为 607 3 ．
【分析】根据所给图形，依次求出图案中基础图形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图案中的基础图形个数为：4＝1×3+1；
第2个图案中的基础图形个数为：7＝2×3+1；
第3个图案中的基础图形个数为：10＝3×3+1；
…，
依次类推，第n个图案中的基础图形个数为（3n+1）个．
当n＝2024时，
3n+1＝3×2024+1＝6073（个），
即第2023个图案中的基础图形个数为6073个．
故答案为：6073．
4．（2023秋•咸宁期末）某餐厅中，一张桌子可以坐6人，如果把多张桌子摆在一起，可以有以下两种摆
放方式．（1）当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐 2 2 人，第二种摆放方式能坐 1 4 人，
（2）当有n张桌子时，第一种摆放方式能坐 4 n + 2 人，第二种摆放方式能坐 2 n + 4 人，
（3）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐（即桌子要摆在一起），但餐厅只有25张这样的餐桌，
若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？
【分析】（1）（2）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有n张桌子时是6+4
（n﹣1）＝4n+2，由此算出5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐4×5+2＝22人；
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6+2（n﹣1）＝2n+4，由此算出5张桌子，
用第二种摆设方式，可以坐2×5+4＝14人．
（2）分别求出n＝25时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断．
【解答】解：（1）当有5张桌子时，第一种摆放方式能坐4×5+2＝22人，第二种摆放方式能坐2×5+4
＝14人；
（2）第一种中，只有一张桌子是 6人，后边多一张桌子多 4人．即有n张桌子时是6+4（n﹣1）＝
4n+2．
第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6+2（n﹣1）＝2n+4．
（2）打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．
因为，当n＝25时，4×25+2＝102＞98
当n＝25时，2×25+4＝54＜98
所以，选用第一种摆放方式．
5．（2024秋•禅城区校级月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列
相关问题．
材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，
部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=
，空白部分的面积之和为：
+ + + + + =1−
．
24 64 2 22 23 24 25 26 26
材料二：欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+4+8+16+…+230①
等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16+32+⋯+231②
由②式减去①式，得S＝231﹣1，
∴1+2+4+8+16+⋯+230＝231﹣1．
解决问题：1
（1）图1部分③的面积为 ．
8
1 1 1 1 1
（2）如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得 + + + +⋯+ 的值
2 22 23 24 22024
1
为 1− ．
22024
（3）利用材料二提供的方法，请你求出1+5+52+53+54+⋯+520的值．
1 1 1 1 1
（4）通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题： + + +⋯+ 的值为 （ 1
4 42 43 4100 3
1
−
499
） ．
【分析】（1）根据图形即可得到结论；
1 1 1 1 1
（2）观察图形发现部分①的面积为 ，部分②的面积为 = ，部分③的面积为 = ，…，阴影部
2 22 4 23 8
1
分的面积为 ，据此规律解答即可；
2n
（3）根据已知先求出5S，再相减，即可得出答案；
1 1 1 1
（3）令S = + + +⋯+ ，再求出4S，两式相减求出3S，据此求解即可．
4 42 43 4100
1 1
【解答】解：（1）图1部分③的面积为= = ，
23 8
1
故答案为： ；
8
（2）∵正方形边长为1，
∴正方形面积为1，∵①是边长为1的正方形纸片面积的一半，
1
∴①的面积为 ，
2
1 1
依此论推②的面积为 = ，
22 4
1 1
③的面积为 = ，
23 8
…
1 1 1 1 1
因此，求
+ + + +⋯+
的值，
2 22 23 24 22024
即为求将图形分割下去空白部分的面积，
1
此时剩余阴影部分面积为： ，
22024
1 1 1 1 1 1
∴ + + + +⋯+ = 1− ，
2 22 23 24 22024 22024
1
故答案为：1− ；
22024
（3）令S＝1+5+52+53+54+…+520①，
等式两边同时乘以5，得5S＝5+52+53+54+55+…+521②，
由②式减去①式，得4S＝521﹣1，
521−1
∴S= ，
4
521−1
∴1+5+52+53+54+⋯+520= ；
4
1 1 1 1
（3）令S = + + +⋯+ ①，
4 42 43 4100
1 1 1 1 1
等式两边同时乘以4，得4S＝1 + + + + 4+... + ②，
4 42 43 4 499
1
②﹣①得，3S＝1− ，
499
1 1
∴S= （1− ），
3 499
1 1 1 1 1 1
即 + + +⋯+ = （1− ），
4 42 43 4100 3 4991 1
故答案为： （1− ）．
3 499
6．（2024秋•宜都市校级月考）综合与实践．
观察与思考：
规律发现：请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中小圆圈的个数为 3 n ；
1×2 2×3
（2）第1个图案中小星星的个数可表示为 ，第2个图案中的小星星的个数可表示为 ，第3个
2 2
3×4 n(n+1)
图案中小星星的个数可表示为 ，⋯，第n个图案中小星星的个数可表示为 ；
2 2
规律应用：
（3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的偶数之和2+4+6+⋯+2n等于
第n个图案中小圆圈的个数的4倍．
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解；
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）第1个图案中有3个 ，
第2个图案中有3+3＝6个 ，
第3个图案中有3+2×3＝9个 ，
第4个图案中有3+3×3＝12个 ，
……，
∴第n个图案中有3n个 ，
故答案为：3n；
1×2
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 ，
22×3
第2个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
3×4
第3个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
4×5
第4个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
……，
n(n+1)
第n个图案中“★”的个数可表示为 ，
2
n(n+1)
故答案为： ；
2
n(n+1)
（3）依题意得：1+2+3+⋯⋯+n= ，
2
∴2+4+6+⋯+2n＝2×（1+2+3+……+n）＝n（n+1），
第n个图案中有3n个 ，
∴n（n+1）＝3n×4，
解得：n＝0（舍去）或n＝11．
7．（2024秋•姑苏区校级月考）图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有
一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了 n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形
n(n+1)
状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n= .
2
如果图①﹣④中各有11层．
（1）图①中共有 6 6 个圆圈；
（2）我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边
圆圈的数是 5 6 ．
（3）我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，求图④所有圆圈
中各数的绝对值之和．
【分析】（1）根据图形中圆圈的个数变化规律求解；（2）11层时最底层最左边这个圆圈中的数是第10层的最后一个数加1；
（3）由（1）得出圆圈的总个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．
1
【解答】解：（1） ×11×（11+1）＝66，
2
故答案为：66；
1
（2） ×10×（10+1）＝55，55+1＝56，
2
故答案为：56；
（3）图4中共有66个数，其中23个负数，1个0，42个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的和为：
|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+42＝
（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+42）
＝276+903
＝1179．
