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第 03 讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）
一、单选题
1．己知m，n是两条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，下列命题中正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．已知空间中 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， ， 与 异面 D． ， ，
3．已知两条不同的直线 及两个不同的平面 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 与 是异面直线
C．若 ，则 与 平行或异面
D．若 ，则 与 一定相交
4．设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 与 所称的角相等，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．三棱柱 中， 面 ， 则下列两条直线中，不互相垂直的
是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
6（理科）．如图，在正四棱柱 中， 是棱 的中点，点在棱 上，且 .若过点 的平面与直线 交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．空间四边形 中， ，则异面直线 与 所成的角的大小为
___________.
8．正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为 ，则该正棱锥的侧棱长为______．
9．如图， 是 的二面角 棱 上的两点，线段 、 分别在平面 内，
且 ， ， ， ， ，则线段 的长为______．
10．a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a b，b c，则a c；
②若a b，b c，则a c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a 平面 ，b 平面 ，则a，b一定是异面直线；
上述命题中正确的是_______（只填序号）．
三、解答题
11（理科）．如图，在正三棱柱 中，底面边长为2， ，D为 的中点，
点E在棱 上，且 ，点P为线段 上的动点．(1)求证： ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 ，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
12．四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ，
为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的正切值；
一、单选题
1．已知矩形ABCD中， ，将 沿BD折起至 ，当 与AD所成
角最大时，三棱锥 的体积等于（ ）
A． B． C． D．
2．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B．若l m，m n，l⊥α，则n⊥α
⊂ ⊂
C．若l m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n
D．若m α，n⊥α，l⊥n，则l m
⊂3．已知正方体 的边长为2，点E，F分别为棱CD， 的中点，点P为
四边形 内（包括边界）的一动点，且满足 平面BEF，则点P的轨迹长为
（ ）
A． B．2 C． D．1
4．如图，在正方体ABCD﹣ABC D 中，AB＝2，P为CC 的中点，点Q在四边形DCC D
1 1 1 1 1 1 1
内（包括边界）运动，若AQ∥平面ABP，则AQ的最小值为（ ）
1
A．1 B． C． D．
5．在棱长为1的正方体ABCD﹣ABC D 中，点M，N分别是棱BC，CC 的中点，动点P
1 1 1 1 1
在正方形BCC B（包括边界）内运动．若 平面AMN，则PA 的最小值是（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
6．在正方体 中，则下列判断错误的是（ ）
A． 平面 B．平面 ∥平面
C．直线 过 的垂心 D．平面 与平面 夹角为
二、填空题
7．在三棱柱 中， 底面 ， ， ， 与平面 所
成的角为45°.当三棱柱 的体积最小时，三棱柱 外接球的表面积为
______.8．如图，在棱长为2的正方体 中， 、 、 分别是 ， ，
的中点， 是线段 上的动点，则下列命题：
①不存在点 ，使 平面 ；
②三棱锥 的体积是定值；
③直线 平面
④经过 、 、 、 四点的球的表面积为 .
正确的是______.
9．如图，已知圆 的直径 长为 2 ，上半圆圆弧上有一点 ，点 是劣弧
上的动点，点 是下半圆弧上的动点，现以 为折线，将上、下半圆所在的平面折成
直二面角，连接 则三棱锥 的最大体积为___________.
10．已知正四棱锥 的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球
面上，则球心到四棱锥侧面的距离为___________.
三、解答题
11．如图， 是正方形 所在平面外一点， ，且平面 平面
， ， 分别是线段 ， 的中点．(1)求证：
(2)求证： 平面
(3)求点 到平面 的距离．
12（理科）．如图， 在三棱锥 中， 二面角 是直二面角， ，
且 ， 为 上一点， 且 平面 ． 分别为棱 上
的动点， 且 ．
(1)证明： ；
(2)若平面 与平面 所成角的余弦值为 ， 求 的值．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体 中，E，F分别为 的中
点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱
上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题（理））在长方体 中，已知 与平面 和
平面 所成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
4．（2020·山东·高考真题）已知正方体 （如图所示），则下列结论正确
的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·全国·高考真题（理））如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，
平面 平面 是线段 的中点，则
A． ，且直线 是相交直线B． ，且直线 是相交直线
C． ，且直线 是异面直线
D． ，且直线 是异面直线
6．（2019·浙江·高考真题）设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱
上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为
，二面角 的平面角为 ，则
A． B．
C． D．
7．（2019·全国·高考真题（文））设 ， 为两个平面，则 的充要条件是
A． 内有无数条直线与 平行
B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 平行于同一条直线
D． ， 垂直于同一平面
