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专题 21.4 因式分解法
1. 掌握因式分解法解一元二次方程。
2. 掌握整体法（换元法）解方程，并能够利用整体法（换元法）求相关式子的值。
教学目标
3. 掌握解一元二次方程的所有方法，能够根据不同的一元二次方程选择不同的方法熟
练的进行求解。
1. 重点
（1）因式分解法解一元二次方程；
（2）整体法（换元法）解方程或求值；
教学重难点
2. 难点
（1）因式分解法中利用十字相乘法解一元二次方程；
（2）整体法解方程与整体法的应用求值。知识点01 因式分解法解一元二次方程
1. 因式分解法解一元二次方程的定义：
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等
于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若 ，则A＝ 或B＝ 。
2. 因式分解的方法：
①提公因式法： ；
②公式法：平方差公式： ；
完全平方公式： ；
③十字相乘法：分解 ，若 且 ，则 。
3. 因式分解法解一元二次方程的步骤：
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
【即学即练1】
1．分解因式：6a2+3ab＝ ．
2．因式分解：x2﹣1＝ ．
3．分解因式：a2﹣4ab+4b2＝ ．
4．因式分解：x2﹣2x﹣35＝ ．
【即学即练2】
5．用因式分解法解下列方程：
（1）4x2﹣144x＝0 （2）2（5x﹣1）2＝3（1﹣5x）
（3）2x+6＝（3+x）2 （4）（x﹣2）2﹣2x+4＝0．
知识点02 整体法（换元法）解方程
1. 整体法（换元法）解方程：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
例题讲解：【例】解方程 ．
解：设 ，则原方程可化为 ．
解得 ．
当y=1时，即x-1=1，解得x=2；
当y=4时，即x-1=4，解得x=5．
所以原方程的解为x =2，x =5．
1 2
【即学即练1】
6．阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y ＝0，y ＝3．
1 2
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降幂的目的，体现了 的数学思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
【即学即练2】
7．请先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为：（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0．
解得t ＝﹣2，t ＝1．
1 2
所以x+y＝﹣2或x+y＝1．
问题：已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
【即学即练3】
8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别
为（ ）
A．x ＝﹣6，x ＝﹣2 B．x ＝0，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝﹣9，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝2
1 2 1 2
知识点03 用合适的方法解一元二次方程
1. 一元二次方程的解法比较：
解法 适用方程类型 方法重点
形如x2=p或(ax+b) 2=p（a，b，p均为常
直接开方法 开平方
数）的一元二次方程
适用于一切一元二次方程。多用于二次项系 配方：当二次项系数为1时，
配方法
数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程 配一次项系数一半的平方
确定a，b，c的值带入求根公
公式法 适用于一切一元二次方程
式
适用于右边为0，方程左边能因式分解成两
因式分解法 因式分解
个一次式乘积的形式的一元二次方程。
【即学即练1】
9．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣1）2＝（2x+3）2 （2）x2+4x﹣5＝0（3）x2−2❑√2x+1=0 （4）4（2x+1）2﹣4（2x+1）+1＝0．
题型01 用因式分解法解一元二次方程
【典例1】用因式分解法解下列方程：
（1）x2+x＝0； （2）4x2﹣121＝0；
（3）3x（2x+1）＝4x+2； （4）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．
【变式1】用因式分解法解下列方程：
（1）x2+16x＝0； （2）5x2﹣10x＝﹣5；
（3）x（x﹣3）+x﹣3＝0； （4）2（x﹣3）2＝9﹣x2．
【变式2】用因式分解法解下列方程：
（1）（x+2）2＝3x+6； （2）（3x+2）2﹣4x2＝0；（3）5（2x﹣1）＝（1﹣2x）（x+3）； （4）2（x﹣3）2+（3x﹣x2）＝0．
题型02 用合适的方法解一元二次方程
【典例1】选用合适的方法解下列方程：
（1）（x+4）2＝5（x+4）； （2）（x+1）2＝4x；
（3）（x+3）2＝（1﹣2x）2； （4）2x2﹣10x＝3．
【变式1】选择合适的方法解一元二次方程：
（1）4（x﹣5）2＝16； （2）3x2+2x﹣3＝0；
（3）x2+(❑√2+❑√3)x+❑√6=0； （4）（x+3）（x﹣1）＝5．题型03 用整体法（换元法）解方程
【典例1】阅读材料，解答问题：
解方程：x4﹣6x2+5＝0；
解：设x2＝y，则原方程可化为y2﹣6y+5＝0．
解得y ＝5，y ＝1．
1 2
当y＝5时，x2＝5，∴x=±❑√5；当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
∴原方程有四个解：x =❑√5，x =−❑√5，x ＝1，x ＝﹣1．
1 2 3 4
以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程，（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0．
【变式1】阅读下列材料：
为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为
y2﹣y﹣6＝0①，解①得y ＝﹣2，y ＝3．当y ＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y ＝3时，x2＝3，
1 2 1 2
解得x=±❑√3，∴原方程的解为x =❑√3， x =−❑√3．
1 2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复
杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．【变式2】阅读材料：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将（x2﹣1）视为一个整体；然后设x2﹣1＝y，则（x2
﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．①
解得y ＝4，y ＝1．
1 2
当y ＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x=±❑√5，
1
当y ＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x=±❑√2．
2
∴原方程的解为x =❑√2，x =−❑√2，x =❑√5，x =−❑√5．
1 2 3 4
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（1）x4﹣x2﹣6＝0；
（2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0．
【变式3】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程
可化为y2﹣5y+4＝0，解得y ＝1，y ＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝
1 2
4，解得x＝5，所以原方程的解为x ＝2，x ＝5；解方程（x2+2x）2﹣18（x2+2x）+45＝0时，我们可以
1 2
将x2+2x看成一个整体，设x2+2x＝y，则原方程可化为
y2﹣18y+45＝0，解得y ＝15，y ＝3，当y＝15时，即x2+2x＝15，解得x ＝3，x ＝5；当y＝3时，即
1 2 1 2
x2+2x＝3，解得x ＝1，x ＝﹣3；所以原方程的解为x ＝3，x ＝﹣5，x ＝1，x ＝﹣3；以上解法称为换
3 4 1 2 3 4
元法．
请利用这种方法解方程：
（1）（x+5）2﹣4（x+5）+3＝0；（2）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15＝0．
题型04 利用整体法（换元法）求式子的值
【典例1】若有理数a、b满足（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【变式1】已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（ ）
A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4
【变式2】已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
1 1 1
【变式3】如果实数x满足x2+ −2(x+ )−1=0，那么，x+
的值是 ．
x2 x x
题型05 根据一个方程的解求另一个方程的解
【典例1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣1）
2+bx+2＝b必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【变式1】若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必
有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
【变式2】已知方程ax2+bx+c＝0的解是x ＝4，x ＝﹣5，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解 ．
1 2
【变式3】若关于x的方程x2+hx﹣k＝0（其中h、k均为常数）的解是x ＝2，x ＝﹣3，则关于y的方程
1 2
（﹣y+2）2+h（﹣y+2）﹣k＝0的解是 ．
题型06 解含绝对值的方程
【典例1】有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的
重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：例：解方程x2﹣2|x|﹣3＝0．
解：①当x≥0时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1（与x≥0矛盾，舍去），x ＝3．
1 2
②当x＜0时，原方程为x2+2x﹣3＝0，
解得x ＝1（与x＜0矛盾，舍去），x ＝﹣3．
1 2
所以原方程的根是x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分
类讨论．
任务：请参照上述方法解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
【变式1】阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x ＝5，x ＝﹣2（舍去）；
1 2
②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x ＝﹣5，x ＝2（舍去）．
3 4
综上所述，原方程的解是x ＝5，x ＝﹣5．
1 2
请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．【变式2】阅读下面的例题与解答过程：
例．解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍去）；
1 2
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0，解得x ＝1，x ＝﹣2（不合题意，舍去）；
1 2
∴原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想﹣﹣﹣
分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0；
（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|﹣4＝0．
1．解下列方程：①3x2﹣27＝0；②x2﹣3x﹣1＝0；③（x+2）（x+4）＝x+2；④2（3x﹣1）2＝3x﹣1．
较简便的方法是（ ）
A．依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B．依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
2．若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（ ）
A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3）
C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）
3．方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝3
C．x ＝2，x ＝3 D．x ＝﹣2，x ＝﹣3
1 2 1 24．关于x的一元二次方程（2x﹣1）（x+m）＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
1
A．2 B．1 C．﹣1 D．−
2
5．定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝2025 B．x ＝﹣1，x ＝﹣2025
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝2025 D．x ＝1，x ＝﹣2025
1 2 1 2
6．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．2❑√5 B．8 C．4❑√5 D．10
7．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（ ）
A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2024，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必
有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
10．已知方程（x+a）（x+b）＝0 有 M 个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0 有 N 个解，其中 a≠b，则
（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
11．小聪同学解方程x2＝4x得到x＝4，则他漏掉一个根是x＝ ．
12．已知a、b是实数，且满足（a2+b2）2+3（a2+b2）﹣4＝0，a2+b2＝ ．
13．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣4x+3＝0的一个根，则这个三角形的周长为
．
14．刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例
如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到
实数﹣1，则m的值是 ．
{ a−b(a≥b) )
15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b = ．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2
2b−a(a＜b)
＝2．若x ，x 是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x ※x ＝ ．
1 2 1 2
16．用适当的方法解方程：
（1）4（x+1）2＝36； （2）x2﹣2x+8＝0；（3）（y+3）（y﹣1）＝2； （4）2x2−2❑√2x+1=0．
17．对于任意实数a，b（a≠0）规定一种新运算a*b＝ab+ab﹣2．例如：3*2＝32+3×2﹣2＝13．请根据上
述定义解决以下问题：
（1）计算：（﹣2）*3．
（2）若（﹣x）*2的值为1，求x的值．
18．阅读下列材料：
解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0，
解得y ＝2，y ＝3．
1 2
当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：x=±❑√3；
当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2．
∴原方程的解为：x =❑√3，x =−❑√3，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中
的转化思想．
（1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0；
（2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值．19．阅读下面的例题与解答过程：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝2，x ＝﹣1（舍去）；
1 2
当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x ＝﹣2，x ＝1（舍去）．
3 4
∴原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一
种重要思想——分类讨论思想．
请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．
|a a
)
|a a
)
20．材料阅读：材料1：符号“ 1 2 ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为 1 2 = a b ﹣a b ．
b b b b 1 2 2 1
1 2 1 2
如
| 5 2 )=
5×（﹣4）﹣2×（﹣3）＝﹣14．
−3 −4
材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程
的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思
想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）时，我们可以利用因
式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：x2+3x+2＝0．∵x2+3x+2＝（x+1）（x+2），∴
（x+1）（x+2）＝0．故x+1＝0或x+2＝0．因此原方程的解是x ＝﹣1，x ＝﹣2．
1 2
根据材料回答以下问题．
（1）二阶行列式
|5 6)=
；
4 7
（2）求解
|x 2x−4)=
12中x的值；
1 x+4
（3）结合材料，若m =
|x −3x)
，n =
|x −6)
，且m﹣n＝0，求x的值．
1 x 1 8
