专题 21.5 一次函数十六大必考点
【人教版】
【考点1 （一次)函数的概念】..............................................................................................................................1
【考点2 判断一次函数的图像】...........................................................................................................................3
【考点3 根据一次函数的性质求参数】...............................................................................................................6
【考点4 一次函数图像上点的坐标特征】.........................................................................................................10
【考点5 确定一次函数经过的象限】.................................................................................................................12
【考点6 根据一次函数的性质判断结论正误】.................................................................................................14
【考点6 根据一次函数的性质比较函数值大小】..............................................................................................17
【考点7 根据一次函数的性质比较自变量大小】..............................................................................................20
【考点8 根据一次函数性质确定参数取值范围】..............................................................................................22
【考点9 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】..............................................................................................25
【考点10 一次函数的平移】.................................................................................................................................30
【考点11 确定一次函数解析式】.........................................................................................................................32
【考点12 一次函数性质的实际应用】.................................................................................................................35
【考点13 一次函数图像的实际运用】.................................................................................................................41
【考点14 一次函数的新定义问题】.....................................................................................................................46
【考点15 一次函数的规律探究】.........................................................................................................................52
【考点1 （一次)函数的概念】
【例1】（上海市奉贤区联考2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷）下列所述不属于函数关系
的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
【答案】D
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一
的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；
B、x+2随x的变化而变化，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键．
【变式1-1】（2022·湖南·长沙市华益中学八年级期末）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一
个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．
【详解】A、部分自变量对应多个因变量，不是函数，不符合题意；
B、是函数，符合题意；
C、当x=0时，对应3个y值，不是函数，不符合题意；
D、部分自变量对应2个因变量，不是函数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．
3
【变式1-2】（2021·陕西安康·八年级期末）在①y＝﹣8x：②y＝﹣ ：③y＝√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y
x
＝0.5x﹣3中，一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义，正比例函数属于一次函数；一次函数是形如y=kx+b(k≠0) 的形式，结
合题中所给表达式，比照定义形式即可解答．
【详解】解：①y＝﹣8x是正比例函数，属于一次函数，符合题意；
3
②y=- 不是一次函数，不符合题意；
x
③y=√x+1不是一次函数，不符合题意；
④y=-5x2+1中未知数次数是二次，不是一次函数，不符合题意；
⑤y＝0.5x﹣3是一次函数，符合题意；∴一次函数有①y＝﹣8x和⑤y＝0.5x﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，
k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【变式1-3】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所八年级期末）已知函数y=(m+1)x+m2-1 是正比例函数，
则m=_____________．
【答案】1
【分析】根据函数是正比例函数，可知m+1≠0且m2-1=0，综合条件即可得到m的值．
【详解】解：∵y=(m+1)x+m2-1是正比例函数
∴m+1≠0且m2-1=0
∴m≠-1且m=±1
∴m=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数．易错点：容易不考虑
k≠0．
【考点2 判断一次函数的图像】
【例2】（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数 y=mx+n 与正比例函数
y=mnx （m，n为常数、且 mn≠0 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同
负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：A、一次函数m＞0，n＞0；正比例函数mn＜0，矛盾；
B、一次函数m＞0，n＜0；正比例函数mn＞0，矛盾；
C、一次函数m＞0，n＜0，正比例函数mn＜0，成立；
D、一次函数m＜0，n＞0，正比例函数mn＞0，矛盾，
故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y
＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，经过第二、三、四象限．
【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数
y=x+kb和y=kx+b（k、b为常数，且 k≠0）的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于无法直接辨识一次函数y=x+kb和y=kx+b的图象各是哪条直线，因此要根据选项先得到b≠0，
再根据k，b的正负分类讨论得出答案．
【详解】解：A、一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb
与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
B、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负
半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
C、一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负
半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；
D、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负
半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当
k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第
一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，
函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象．
【变式2-2】（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数y=bx-k的大致图像是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数
的性质，即可得到一次函数y=bx-k图像经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴b>0，-k>0，
∴一次函数y=bx-k图像第一、二、三象限，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）直线y =mx+n2+1和y =-mx-n的图象可能是（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】首先设定一个为一次函数y =mx+n2+1的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．
1
【详解】解：∵n2+1>0
∴y =mx+n2+1的图像与y轴的交点坐标在x轴上方，故排除A、B选项
1
C、如果过第一、二、四象限的图象是y，由y 的图象可知，m＜0；由y 的图象可知，m＜0，两结论不互
1 1 2
相矛盾，故正确；
D、如果过第一、二、三象限的图象是y，由y 的图象可知，m＞0；由y 的图象可知，m ＜0，两结论相
1 1 2
矛盾，故错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有
四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【考点3 根据一次函数的性质求参数】
【例3】（2022·河北·晋州市第七中学八年级期末）已知正比例函数y=(1-m)x的图像上一点(a,b)，且
ab<0，则m的值可能是（ ）
A．-0.5 B．0 C．1 D．1.5
【答案】D
【分析】根据ab<0可知，a，b异号，点(a,b)应该在第二象限或第四象限，所以正比例函数应该过二四
象限，即可推出m的取值范围．
【详解】解：由ab<0得：
a，b异号，点(a,b)应该在第二象限或第四象限
∵点在正比例函数的图像上
∴图像过二四象限
∴1-m＜0，m＞1
故选D．
【点睛】本题考查正比例函数的图像和性质，根据点所在的象限，判断出图像所过象限是解题的关键．
【变式3-1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知一次函数y=kx+b，当x=-1时，y<0；当0≤x≤2时，-1≤ y≤3．则k=________．
【答案】2
【分析】当x=-1时，y<0；0≤x≤2时，-1≤ y≤3，可得y随x的增大而增大，再利用待定系数法求解函
数解析式即可．
【详解】解：当x=-1时，y<0；0≤x≤2时，-1≤ y≤3，
所以y随x的增大而增大，
所以当x=0,y=-1,x=2,y=3,
b=-1
∴{
2k+b=3
k=2
解得：{ ,
b=-1
故答案为：2
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的增减性，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌
握“一次函数的增减性的判断方法”是解本题的关键．
【变式3-2】（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室八年级期末）已知函数y=(2m+1)x+m-3（m为常数）．
(1)当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数；
(2)当m满足条件__________时，函数图象经过点(1,4)；
(3)当m满足条件__________时，y随x的增大而减小．
(4)当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方；
1
【答案】(1)m≠-
2
(2)m=2
1
(3)m<-
2
(4)m>3
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）将(1,4)代入y=(2m+1)x+m-3即可；
（3）根据一次函数的增减性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；
（4）将x=0代入函数表达式，即可求出该函数与y轴的交点坐标，由于函数图象与y轴的交点在x轴的上
方，只需要纵坐标大于0即可．
（1）∵变量y是变量x的一次函数；
∴2m+1≠0，
1
解得：m≠-
2
1
故答案为：m≠- ；
2
（2）
将(1,4)代入y=(2m+1)x+m-3得：4=（2m+1）×1+m-3
解得：m=2，
故答案为：m=2；
（3）
∵y随x的增大而减小，
∴2m+1<0，
1
解得：m<- ，
2
1
故答案为：m<- ；
2
（4）
当x=0时，y=m-3，
∴该函数与y轴的交点为（0，m-3），
∵函数图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴m-3>0，
解得：m>3；
故答案为：m>3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练地掌握一次函数的增减性以及一次函数与坐标轴的交点坐
标是解题的关键．
【变式3-3】（2022·安徽·八年级期末）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（5，3），B（4，0），直
线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
【答案】A
【分析】设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出
直线y=mx-5m+3过三角形的顶点A（5，3），结合直线y=mx-5m+3过点C（2，0），再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值．
【详解】解：设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），如图所示．
∵y＝mx﹣5m+3＝（x﹣5）m+3，
∴当x＝5时，y＝（5﹣5）m+3＝3，
∴直线y＝mx﹣5m+3过三角形的顶点A（5，3）．
∵直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的的两部分，
∴直线y＝mx﹣5m+3过点C（2，0），
∴0＝2m﹣5m+3，
∴m＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数上点的坐标特征，找出关于m的一元一
次方程是解题的关键．
【考点4 一次函数图像上点的坐标特征】
【例4】（2022·广东湛江·八年级期末）已知正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，则下列各点在该函数图
像上的是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【答案】A
【分析】先求出正比例函数y=3x，再将点坐标逐个代入，即可得答案．
【详解】解：∵正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，
∴6=2k，解得k=3，
∴正比例函数为y=3x，
在正比例函数y=3x中，
若x=-1，则y=3×(-1)=-3，（﹣1，﹣3）在函数图像上，故选项A符合题意，选项B不符合题意；
若x=3，则y=3×3=9，（3，1）不在函数图像上，故选项C不符合题意；若x=-3，则y=3×(-3)=-9，（﹣3，1）不在函数图像上，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及函数图像上点的坐标的特征，理解函数图像上的点，
其坐标需满足解析式是解本题的关键．
【变式4-1】（2022·重庆市璧山中学校八年级期末）直线y=-x+2经过点（1，a），则a=_________．
【答案】1
【分析】直接将点（1，a）代入直线y=-x+2，即可得出a＝1．
【详解】解：∵直线y=-x+2经过点（1，a），将其代入解析式
∴a＝1，
故答案为1．
【点睛】此题主要考查一次函数解析式的性质，熟练掌握一次函数上点的特征是解题的关键．
【变式4-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0
）的图象经过点A （2， 3），B(-1 ， 4)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)判断点P （5 ， 2 ），Q （3 ， 0 ）是否在该一次函数的图象上，并说明理由．
1 11
【答案】(1)一次函数的解析式为y=- x+
3 3
(2)点P （5 ， 2 ）在该函数图象上；点Q （3 ， 0 ）不在该函数图象上．理由见解析
【分析】（1）用待定系数法可得解析式；
（2）结合（1），设x=5，算出y值，即可判断P是否在图象上，同理可判断Q．
（1）
∵ 点A，B在一次函数的图象上，
∴ ¿ 解得¿
1 11
∴ 一次函数的解析式为y=- x+ ．
3 3
（2）
1 11
把x=5代入到y=- x+ 中，得y=2，
3 3
∴ 点P （5 ， 2 ）在该函数图象上；
1 11 8
把x=3代入到y=- x+ 中，得y= ≠0，
3 3 3∴ 点Q （3 ， 0 ）不在该函数图象上．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定
系数法．
【变式4-3】（2022·浙江·杭州江南实验学校三模）一次函数y =ax-a+1（a为常数，且a≠0）．
1
(1)若点（﹣1，3）在一次函数y =ax-a+1的图像上，求a的值；
1
(2)若a>0，当-1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y 的表达式；
1
(3)对于一次函数y =kx+2k-4（k≠0），若对任意实数x，y >y 都成立，求k的取值范围．
2 1 2
【答案】(1)a=-1
(2)y =4x-3
1
5
(3)k< 且k≠0
3
【分析】（1）将点（﹣1，3）代入一次函数解析式，转化为关于a的一元一次方程并求解即可；
（2）由a>0时，y随x的增大而增大，可确定当x=2时，函数有最大值，然后代入函数解析式求解即可；
（3）由题意可知，两直线应该平行，即有k=a，再根据y >y 列出不等式并求解即可．
1 2
（1）
解：将点（﹣1，3）代入一次函数y =ax-a+1，
1
可得3=-a-a+1，解得a=-1；
（2）
∵a>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，函数有最大值，即y =2a-a+1=5，
1最大
解得a=4，
∴此时一次函数y 的表达式为y =4x-3；
1 1
（3）
由题意可知，k=a≠0，
∴y =kx-k+1，
1
∵对任意实数x，y >y 都成立，
1 2
∴-k+1>2k-4，
5
解得k< ，
3
5
∴k的取值范围为k< 且k≠0．
3【点睛】本题主要考查了一次函数解析式与点的关系、一次函数的图像与性质、一次函数与不等式的综合
应用等知识，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
【考点5 确定一次函数经过的象限】
【例4】（2022·山东菏泽·八年级期末）一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且
y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意分别求得k<0和b<0，再进行判断即可．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过点P(-2,-1)，
∴-1=-2k+b，
∴b=2k-1，
∵一次函数y=kx+b中y随着x的增大而减小，
∴k<0，
∴b=2k-1＜0，
∵k<0，b＜0，
∴该图像不经过的象限是第一象限，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式4-1】（2022·上海市梅陇中学九年级期末）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线
ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从
而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）若一次函数y=kx+b(k、b是常数)的图
象不经过第二象限，则一次函数y=-x+kb的图象（ ）A．过二、三、四象限 B．过二、四象限 C．不过第一象限 D．不过第三象限
【答案】C
【分析】根据图象不经过第二象限，确定k>0，b≤0，从而确定函数y=-x+kb为y=-x或y=-x+kb且kb
＜0求解即可
【详解】∵函数的y=kx+b图象不经过第二象限，
∴k>0，b≤0，
∴y=-x+kb为y=-x或y=-x+kb且kb＜0，
∴函数图像分布在二、四象限或二、三、四象限，
即函数图像不经过第一象限，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k,b的关系是解题的关键．
【变式4-3】（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期末）在平面直角坐标系中，点A(-5,-1)关于原点
对称的点的坐标为A'(a,b)，关于x轴对称的点的坐标为B(c,d)，则一次函数y=(a-c)x-(b+d)的图象不
经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出a，b，c，d，再根据一次函数的图像性质判断即可．
【详解】∵A(-5,-1)，
∴关于原点对称的点的坐标为A'(5,1)，关于x轴对称的点的坐标为B(-5,1)，
∴a=5，b=1，c=-5，d=1，
∴a-c=10，b+d=2，
∴一次函数为y=10x-2，
∴一次函数图像经过一、三、四象限，
∴不经过第二象限；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中，对称点的坐标特征和一次函数的图像性质，熟练掌握一次函
数的性质是解题的关键．
【考点6 根据一次函数的性质判断结论正误】
1
【例6】（2022·黑龙江·林口县教师进修学校八年级期末）将直线y= x向上平移2个单位长度后得到直线
2
y＝kx＋b，则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是（ ）A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与y轴交于（2，0） D．与x轴交于（－4，0）
【答案】D
1 1
【分析】直线y= x向上平移2个单位长度后得到的解析式为y= x+2，再根据一次函数的图象性质逐
2 2
一判断即可选出正确答案．
1 1
【详解】解：直线y= x向上平移2个单位长度后得到的解析式为y= x+2，
2 2
1
A．∵k= ＞0，b=2＞0，故经过第一、二、三象限，故A错误；
2
1
B．∵k= ＞0，故y随x的增大而增大，故B错误；
2
C．令y=0，则x=-4，所以与x轴交点为(-1，0)，故C错误；
D．令x=0，y=2，则与y轴的交点为(0，2)，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握函数图象平移规律“上加下减”以及一次函数的性质是解题关
键．
【变式5-1】（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．一次函数y=-x+6的图像不经过第三象限
B．一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点坐标是(0,4)
1
C．一个正比例函数的图像经过(1,-2)，则它的表达式为y=- x
2
D．若P (x ,y )，P (x ,y )在直线y=kx+b上，且x >x ，则y >y ；
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】根据一次函数中的k、b的值判断函数图象经过的象限；根据坐标轴上的点的特征可求出与x轴的
交点坐标；利用待定系数法可求出一次函数的表达式；根据一次函数的图象的增减性，可以判断出y 、y
1 2
的大小．
【详解】解：A、一次函数y=-x+6的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故选项符合题意；
B、一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点坐标是(2,0)，与y轴的交点坐标是(0,4)，故选项不符合题意；
C、正比例函数的图像经过(1,-2)，则它的表达式为y=-2x，故选项不符合题意；
D、若P (x ,y )，P (x ,y )在直线y=kx+b上，且x >x ，当k>0时，y >y ；当k<0时，y <y ，故
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象及其性质，熟练掌握一次函数的图象及其性质是解答本题的关键．
【变式5-2】（2022·江苏淮安·八年级期末）关于一次函数y=x-1的图像如图所示，图像与x轴、y轴的交
点分别为A、B，以下说法：
1
①A点坐标是(1,0)；②y随x的增大而增大；③△AOB的面积为 ；④直线y=x-1可以看作由直线y=x向
2
下平移1个单位得到．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质对每个选项分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵y=x-1，
令y=0，则x=1，
∴点A的坐标为(1,0)，故①正确；
由图像可知，y随x的增大而增大；故②正确；
令x=0，则y=-1，故点B为(0,-1)，
∴OA=1，OB=1，
1 1
∴S = ×1×1= ，故③正确；
ΔOAB 2 2
直线y=x-1可以看作由直线y=x向下平移1个单位得到，故④正确；
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像与几何变换，逐一分
析四条结论是否符合题意是解题的关键．
【变式5-3】（2022·河北·易县易州九年一贯制学校八年级期末）关于自变量x的函数y＝（k－3）x＋2k，
下列结论：①当k≠3时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点（－2，6）；
③若函数经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是k＜3
其中结论正确的序号是__________．
【答案】①②③
【分析】根据一次函数的定义，函数图像和系数的关系逐一判断选项即可.
【详解】解：①当k≠3时，函数是一次函数；故①符合题意；
②y＝（k﹣3）x+2k＝k（x+2）﹣3x，当x＝﹣2时，y＝6，过函数过点（﹣2，6），故②符合题意；
③函数y＝（k﹣3）x+2k经过二，三，四象限，则¿，解得：k＜0，故③符合题意；
2k
④当k﹣3＝0时，y＝6，与x轴无交点；当k≠3时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即﹣ >0，
k-3
解得：0＜k＜3，故④不符合题；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查根据一次函数的定义，一次函数图象的性质，一次函数与x轴交点问题，交点坐标确定
解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
【考点6 根据一次函数的性质比较函数值大小】
【例6】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）设一次函数y＝kx+3k﹣5（k≠0），对任意两个k
的值k 、k ，分别对应两个一次函数y ，y ．若k k ＜0，当x＝m时，取相应y ，y 中较小值p，则p
1 2 1 2 1 2 1 2
的最大值是（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣2 D．0
【答案】B
【分析】整理一次函数解析式求出不论k取任何值时一次函数经过的定点，再根据k k ＜0，可知两直线一
1 2
条经过第一、三象限，一条经过第二、四象限，所以当m为交点横坐标时，所对应y ，y 中的较小值p
1 2
最大，然后即可得解．
【详解】解：∵y=kx+3k-5=k（x+3）-5，
∴不论k取何值，当x=-3时，y=-5，
∴一次函数y=kx+3k-5经过定点（-3，-5），
又∵对于任意两个k的值k 、k ，k k ＜0，
1 2 1 2
∴两个一次函数y ，y ，一个函数图象经过第一、三象限，一个经过第二、四象限，
1 2
∴当m=-3，相应的y ，y 中的较大值p，取得最大值，最大值为-5．
1 2故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，整理函数解析式，然后求出一次函数y=kx+3k-5经过
的定点坐标是解题的关键．
【变式6-1】（2022·四川成都·八年级期末）一次函数y=x-1的图像交x轴于点A．交y轴于点B，在
y=x-1的图像上有两点(x ,y )、(x ,y )，若x <0<x ，则下列式子中正确的是（ ）．
1 1 2 2 1 2
A．y <0<y B．y <-1<y C．y <-1<y D．y <0<y
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】C
【分析】根据一次函数y=x-1，可得图像与y轴交点B的坐标以及增减性，再结合图像即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=x-1，函数值y随x的增大而增大，
且∵一次函数y=x-1与y轴交于点B，
∴点B的坐标为(0,-1)，
∴当x<0时，y<-1，
当x>0时，y>-1，
∵x <0<x ，
1 2
∴y <-1<y ，
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图像是
一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了一次函数的增减性．
【变式6-2】（2022·辽宁鞍山·九年级阶段练习）定义max(a,b)，当a≥b时，max(a,b)=a，当a<b时，
max(a,b)=b；已知函数y=max(x+3,-x+9)，则该函数的最小值是______．
【答案】6
【分析】根据新定义内容分情况讨论，然后结合一次函数的增减性求得函数最小值．
【详解】解：当x+3≥-x+9时，
解得x≥3，此时y=x+3，
∵1＞0，
∴y随x的增大而增大，
当x=3时，y最小值为6；
当x+3＜-x+9时，
解得x＜3，
此时y=-x+9，
∵-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
综上，当x=3时，y最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解
题关键．
【变式6-3】（2022·福建厦门·八年级期末）已知一次函数y=-2x+4．
(1)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)若n>3，点C(n+3，y )，D(2n+1，y )都在一次函数y=-2x+4的图象上，试比较y 与y 的大小，
1 2 1 2
并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)y >y ，理由见解析
1 2
【分析】（1）求出一次函数y=-2x+4图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；
（2）由函数解析式可判断该函数y随x的增大而减小，又可判断2n+1>n+3，即可确定y >y ．
1 2
（1）
对于y=-2x+4，
当y=0时，即-2x+4=0，
∴x=2；
当x=0时，即y=4．
∴函数y=-2x+4的图象经过点(2，0)、(0，4)；
∴函数y=-2x+4的图象如图所示．（2）
∵n>3，
∴(2n+1)-(n+3)=n-2>0，
∴2n+1>n+3．
∵y=-2x+4，k=-2>0，
∴y随x的增大而减小．
∵点C(n+3，y )，D(2n+1，y )都在一次函数y=-2x+4的图象上，
1 2
∴y >y ．
1 2
【点睛】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
【考点7 根据一次函数的性质比较自变量大小】
【例7】（2022·四川成都·三模）一次函数y =k x+b 和y =k x+b 的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣
1 1 1 2 2 2
1与y =k x+b 和y =k x+b 的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k ＞0，k ＜0，则a、
1 1 1 2 2 2 1 2
b、c从大到小排列应为________．
【答案】c＞a＞b
【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断．
【详解】解：∵k ＞0，k ＜0，
1 2
点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等
∴ y＝n﹣1是一条水平线
画出满足题意位置关系的函数图像如下，
由图像易得：c＞a＞b，
故答案为：c＞a＞b．【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键．
【变式7-1】（2022·福建·厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）八年级期末）点
M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x-3图像上两点，则a_____b（填“>”、“=”或”<”）．
【答案】<
【分析】由k=2>0结合一次函数的性质即可得出该函数为增函数，再结合2＜3即可得出结论．
【详解】解：∵k=2>0，
∴一次函数y随x增大而增大，
同理当y越大时x也越大，
∵2＜3，
∴a<b．
故答案为<．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键确定一次函数的增减性．
【变式7-2】（2022·广东梅州·八年级期末）若点A（x ，－1），B（x ，－3），C（x ，4）在一次函数y
1 2 3
＝－2x＋m（m是常数）的图象上，则x ，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x ＞x ＞x B．x ＞x ＞x
1 2 3 2 1 3
C．x ＞x ＞x D．x ＞x ＞x
1 3 2 3 2 1
【答案】B
【分析】利用一次函数的增减性判定即可．
【详解】解：由y=-2x+m知，函数值y随x的增大而减小，
∵4＞-1＞-3，A（x，-1），B（x，-3），C（x，4），
1 2 3
∴x＞x＞x．
2 1 3故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是通过a=-2＜0得知函数值y随x的增大而减小，反之
x随y的增大也减小．
【变式7-3】（2022·吉林·敦化市第三中学校八年级阶段练习）已知一次函数y=(m-2)x+3-m的图象不
经过第三象限，且m为正整数．
(1)求m的值；
(2)当-4<y<0时，求x的取值范围．
【答案】(1)m=1
(2)2<x<6
【分析】（1）由一次函数y=(m-2)x+3-m的图象不经过第三象限，可得k<0,b≥0, 再建立不等式组，
结合m为正整数即可得到答案；
（2）由（1）先得到函数解析式，再分别求解当y=-4,y=0时的自变量的值，再结合一次函数的增减性
可得答案．
（1）
解：∵一次函数y=(m-2)x+3-m的图象不经过第三象限，
m-2<0
∴{ ,
3-m≥0
解得：m<2,
∵m为正整数，
∴m=1.
（2）
当m=1时，函数为：y=-x+2,
当y=-4时，-4=-x+2,
解得：x=6,
当y=0时，0=-x+2,
解得：x=2,
∵-4<y<0且y随x的增大而减小，
∴2<x<6.
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，掌握“一次函数的图象不经过第三象限，则k<0,b≥0”是解本
题的关键．【考点8 根据一次函数性质确定参数取值范围】
【例8】（2022·福建厦门·八年级期末）已知一次函数y＝kx＋b－x的图像与x轴的负半轴相交，且函数值y
随自变量x的增大而减少，则k，b的取值情况为（ ）
A．k＜1，b＜0 B．k＜1，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【答案】A
【分析】由题意根据一次函数图像与系数的关系结合一次函数的性质，即可得出关于k、b的一元一次不等
式，解之即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b-x=（k-1）x+b的图像与x轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大
而减小，
∴一次函数经过第二、三、四象限，
∴k-1＜0，b＜0，
∴k＜1，b＜0．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系以及一次函数的性质，根据一次函数图像与系数的关系结合
一次函数的性质，找出关于k、b的一元一次不等式是解题的关键．
【变式8-1】（2022·河南安阳·八年级期末）函数y=(k-1)x-3（k是常数，k≠1）的图象上有两个点
A(x ,y )，B(x ,y )，且(x -x )(y - y )<0，则k的取值范围为______．
1 1 2 2 1 2 1 2
【答案】k<1
【分析】先根据(x -x )(y - y )<0可得出¿或¿两种情况讨论求解即可．
1 2 1 2
【详解】解：∵点A(x ,y )，B(x ,y )在函数y=(k-1)x-3（k是常数，k≠1）的图象上，且
1 1 2 2
(x -x )(y - y )<0，
1 2 1 2
∴¿或¿
∴函数值y随x的增大而减小，
∴k-1<0
解得，k<1
故答案为：k<1
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上各点坐标一定适应此函数解析式是解答本题的关键．
【变式8-2】（2022·湖南永州·八年级期末）如图，直线y=kx+b，与y轴交于点（0，3）与x轴交于点（a，
0）当-2 ≤ a < 0时，k的取值范围是（ ）
3
A．-1≤k<0 B．1≤k≤3 C．k≥3 D．k≥
2
【答案】D
【分析】由题意可得：b=3，所以y=kx+3过定点（0，3），再求解一次函数过(-2,0)时，k的值，再根据-2
≤ a < 0，确定一次函数的图象的位置，从而可得答案．
【详解】解：如图，直线y=kx+b，与y轴交于点（0，3），
∴b=3,
∴y=kx+3过定点（0，3），
当y=kx+3过(-2,0)时，
∴-2k+3=0,
3
解得：k= ,
2
3
所以当-2 ≤ a < 0时，k的取值范围是k≥ .
2
故选D
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握“一次函数的图象与性质”是解本题的关键．
【变式8-3】（2022·福建泉州·八年级期末）已知过点（1，2）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限，
设t＝m+3n，则t的取值范围为（ ）
A．2＜t＜6 B．2≤t＜6 C．2＜t≤6 D．2≤t≤6
【答案】B
【分析】根据一次函数图象与系数的关系可得m＞0，n≥0，将点（1，2）代入y＝mx+n，得到m+n＝2，即
m＝2﹣n，由m＞0，n≥0得出不等式组¿解不等式组求出n的范围，再根据不等式的性质即可求出t的取值
范围．
【详解】解：∵过点（1，2）的直线y＝mx+n（m≠0）不经过第四象限，
∴m＞0，n≥0，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴¿，
解得：0≤n＜2，
所以t＝m+3n＝2﹣n+3n＝2+2n，
∴2≤2n+2＜6，
即t的取值范围为：2≤t＜6．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等
式的性质．掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b≥0时函数的图象不经过第四象限是解题的关键．
【考点9 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】
【例9】（2022·山东·昌乐县教学研究室八年级期末）已知直线y=x+b（b为常数）与两坐标轴围成的三
角形面积为2，则直线y=x+2b与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x+b与两坐标轴的交点坐标，结合直线y=x+b与
两条坐标轴围成的三角形面积为2，即可求出b2=4，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x+2b
与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=0+b=b，
∴直线y=x+b与y轴交于点（0，b）；
当y=0时，x+b=0，
解得：x=-b，∴直线y=x+b与x轴交于点（-b，0）．
1
∴直线y=x+b与两条坐标轴围成的三角形面积= ×|b|×|-b|=2，
2
∴b2=4．
同理，直线y=x+2b与y轴交于点（0，2b），与x轴交于点（-2b，0），
1
∴直线y=x+2b与两条坐标轴围成的三角形面积= ×|2b|×|-2b|=2b2=2×4=8．
2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积计
算公式，求出b2的值是解题的关键．
1
【变式9-1】（2022·重庆市育才中学八年级期末）将直线y＝﹣ x+6向下平移2个单位，平移后的直线分
2
别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S ABO＝_____．
△
【答案】16
【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解平移后的函数的解析式，然后求出OA、OB的值，根据三
角形面积公式求出即可．
1 1 1
【详解】解：直线y＝﹣ x+6向下平移2个单位，所得平移后的直线为y＝﹣ x+6﹣2＝﹣ x+4，
2 2 2
1
把x＝0代入y＝﹣ x+4得：y＝4，
2
1
把y＝0代入y＝﹣ x+4得：x＝8，
2
即OA＝8，OB＝4，
1 1
∴S AOB＝ OA×OB＝ ×8×4＝16，
2 2
△
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与坐标轴围成的
三角形的面积，解题关键是求出OA、OB的值．
【变式9-2】（2022·广东·佛山市南海区狮山镇大圃初级中学八年级阶段练习）如图，直线l ：y ＝﹣x+2
1 1
1
与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l 上一点，另一直线l ：y = x+b过点P，与x轴交
1 2 2 2
于点C．(1)直接写出m和b的值及点A、点C的坐标；
(2)若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出 APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时， APQ的面积等△于3．
7△
【答案】(1)m=-1，b= ，A点坐标为（2，0）；点C坐标为（﹣7，0）
2
3 27 3 27
(2)①当Q在A、C之间时，S=- t+ ；当Q在A的右边时，S= t- ；
2 2 2 2
②当t的值为7秒或11秒时 APQ的面积等于3
△
【分析】（1）把点P坐标代入直线l 解析式可求得m，可求得P点坐标，代入直线l 可求得b，可求得直
1 2
线l 的解析式，在y =0可求得A点坐标，令y =0可求得相应x的值，可求得C点坐标；
2 1 2
（2）①分点Q在A、C之间和点Q在A的右边两种情况，分别用t可表示出AQ，则可表示出S；
②令S=3可求得t的值．
（1）
解：∵点P（m，3）在直线l 上，
1
∴3=-m+2，解得m=-1，
∴P（-1，3），
1
∵y = x+b过点P，
2 2
1 7
∴3= ×（-1）+b，解得b= ，
2 2
1 7
∴直线y = x+ ，
2 2 2
1 7
令y =0可得0= x+ ，
2 2 2
解得x=-7，∴点C坐标为（-7，0），
在y =-x+2中，
1
令y =0可得-x+2=0，
1
解得x=2，
∴A点坐标为（2，0）；
（2）
解：①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，
∵A（2，0），C（-7，0），
∴AC=2-（-7）=9，
当Q在A、C之间时，则AQ=AC-CQ=9-t，
1 3 27
∴S= ×3×（9-t）=- t+ ；
2 2 2
当Q在A的右边时，则AQ=CQ-AC=t-9，
1 3 27
∴S= ×3×（t-9）= t- ；
2 2 2
3 27 3 27
②令S=3可得- t+ =3或 t- =3，
2 2 2 2
解得t=7或t=11，
即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3．
【点睛】本题考查利用一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、三角形的面积、方程思想及分类
讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键，在（2）中用t
表示出AQ的长是解题的关键．
【变式9-3】（2022··八年级期末）已知直线l ，l 的函数表达式分别为y =x-1，
1 2 1
y =(k+1)x-1-2k(k≠0)．
2
(1)若直线l 经过点(1,2)，求函数y 的表达式
2 2
(2)若直线l 经过第一、二、四象限，求k的取值范围．
2
(3)设直线l 与x轴交于点A，直线l 与x轴交于点B，l 与l 交于点C，当△ABC的面积等于1.5时，求k的
1 2 1 2
值．
【答案】(1)y =-x+3
2
(2)k<-1
3 3
(3)k=- 或k=-
4 2【分析】（1）将(1,2)代入y 的解析式中求解即可；
2
（2）根据l 经过第一、二、四象限，可得k+1<0，-1-2k>0 ，求解即可；
2
1+2k (1+2k
)
（3） 解：将y=0代入y ，y 中，得x =1，x = ，故B点坐标为： ,0 ，联立y ，y 可得
1 2 1 2 k+1 k+1 1 2
1
x=2，将x=2代入y =x-1中，y =2-1=1，故C点坐标为（2，1），则S = AB⋅|y |，解得：
1 1 △ABC 2 c
AB=3，如图所示B点可能在A点的左侧，也可能在A点的右侧，故B坐标为（4，0），或（﹣2，0），
1+2k
把x=4或x=﹣2代入x= 中，求解可得到答案．
k+1
（1）
解:将(1,2)代入y 得，(k+1)-1-2k=2，
2
解得k=-2，
∴y =-x+3；
2
（2）
解：∵l 经过第一、二、四象限，
2
∴k+1<0，-1-2k>0 ，
1
解得：k<-1，k<- ，
2
∴k<-1；
（3）
解：将y=0代入y ，y 中，得
1 2
y =x-1，0=x-1，x=1，
1
故A点坐标为（1，0），
1+2k
y =(k+1)x-1-2k，0=(k+1)x-1-2k，解得x = ，
2 2 k+1
(1+2k
)
故B点坐标为： ,0 ，
k+1
联立y ，y ，
1 2
x-1=(k+1)x-1-2k，
kx=1+2k-1，
kx=2k，x=2，
将x=2代入y =x-1中，
1
y =2-1=1，
1
故C点坐标为（2，1），
1
则S = AB⋅|y |
△ABC 2 c
1
1.5= ×AB×1
2
AB=3，
如图所示B点可能在A点的左侧，也可能在A点的右侧，
∴B坐标为（4，0），或（﹣2，0），
1+2k
把x=4或x=﹣2代入x= 中，
k+1
1+2k 3
4= ，4k+4=2k+1，k=- ，
k+1 2
1+2k 3
-2= ，-2k-2=2k+1，k=- ，
k+1 4
3 3
故k=- 或k=- ．
4 2
【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象经过的象限与参数之间的关系，一次函数的综合题，
能够熟练掌握一次函数解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．
【考点10 一次函数的平移】
【例10】（2022·陕西师大附中八年级期末）已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴
交于点(2,0)，则关于x的不等式a(x-1)+b>0的解集为（ ）
A．x<3 B．x>3 C．x>1 D．x<1
【答案】A
【分析】先根据一次函数图象的平移规律画出y=a(x-1)+b的图象，并且求出一次函数y=a(x-1)+b图
象与x轴交于点(3,0)，再结合函数图象即可得．【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0)，
∴一次函数y=a(x-1)+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(3,0)，
画出函数的大致图象如下：
由函数图象可知，关于x的不等式a(x-1)+b>0的解集为x<3，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
【变式10-1】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）已知把一次函数y=2x+3的图象向右平移3个单位长度，
则平移后图象的函数解析式为______．
【答案】y=2x-3
【分析】根据一次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．把一次函数y=2x+3的图象向右平
移3个单位长度，即可解得.
【详解】y=2(x-3)+3=2x-3，
故答案为：y=2x-3．
【点睛】考查一次函数图象的平移规律，掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．
【变式10-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣
1，4），则b的值为 _____．
【答案】1
【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而将（﹣1，4）代入求出答案．
【详解】解：∵一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位，
∴y＝2x+b+5，
把（﹣1，4）代入得：4＝2×（﹣1）+b+5，
解得：b＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握一次函数平移规律是解题关键．1
【变式10-3】（2022·江苏·八年级专题练习）已知直线y= x，记为l ．
2 1
1
(1)填空：直线y= x+1可以看做是由直线l 向______平移______个单位得到；
2 1
(2)将直线l 沿x轴向右平移4个单位得到直线l ，解答下列问题：
1 2
①求直线l 的函数解析式；
2
②若x取任意实数时，函数y=|x-m|的值恒大于直线l 的函数值，结合 图象求出m的取值范围．
2
【答案】(1)上；1或左；2
1
(2)①直线l 的函数解析式为y= x-2；②m<4
2 2
【分析】（1）根据解析式的图象得出结论即可；
（2）①根据直线l 沿x轴向右平移4个单位得到直线l ，得出直线l 过点(4，0)，进而得出解析式即可；②
1 2 2
根据题意画出函数的图象，结合图象得出结论即可．
1 1
（1）如下图所示，y= x+1是由y= x向上平移1个单位得到的，或向左平移2个单位得到的；
2 2
故答案为：上，1或左，2；
1
（2）①∵当y= x沿x轴向右平移4个单位后经过点(4，0)，∴平移得到的直线l 的函数解析式为
2 21 1
y= (x-4)= x-2;；②如下图所示，画出y=|x|的图象，
2 2
y=|x-m| y=|x|
的函数图象可以看作是 沿x轴水平移动m
个单位，当m>0时，y=|x|向右平移m个单位，当m<0时，y=|x|向左平移m个单位，要是函数
y=|x-m|的值恒大于直线l 的函数值，则函数y=|x-m|的图象位于直线l 的上方，由函数图像可知当
2 2
m<4时函数y=|x-m|的图象位于直线l 的上方，∴m的取值范围为 ．
2
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图m<象4和性质，图形的平移等知识是解
题的关键．
【考点11 确定一次函数解析式】
【例11】（2022·广西贵港·八年级期末）若一次函数的图象与直线y=-x-1平行，且过点(3,-2)，则该
直线的表达式为（ ）
A．y=-x-2 B．y=-x-3 C．y=-x+1 D．y=-x+2
【答案】C
【分析】设一次函数的表达式为y=kx+b，根据两直线平行斜率相等得出该函数的斜率k，再将点(3,-2)
代入可得b值，进而得出结论．
【详解】解：设该直线的表达式为y=kx+b，
∵一次函数的图象与直线y=-x-1平行，
∴k=-1．
∵点(3,-2)在直线y=kx+b上，
∴-2=(-1)×3+b，解得b=1．
∴ 该直线的表达式为y=-x+1．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象平行与相交的理解、运用能力．同一平面内，不重合的两直线：l ：
1
y =k x+b ，l ：y =k x+b ，当k =k 时，两直线平行；当k ≠k 时，两直线相交．明确一次函数的图
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
象与直线y=-x-1平行，它们的斜率相等，掌握待定系数法得出b值是解本题的关键．
【变式11-1】（2022·吉林·敦化市第三中学校八年级阶段练习）已知y-5与x+3成正比例，且当x=1时，
y=-3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当x=-7时，y的值．
【答案】(1)y=-2x-1
(2)y=13
【分析】（1）由y-5与x+3成正比例，设y-5=k(x+3), 再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把x=-7代入y=-2x-1求解函数值即可．
（1）
解：∵y-5与x+3成正比例，
∴设y-5=k(x+3),
当x=1时，y=-3．
∴4k=-8,
解得：k=-2,
∴函数关系式为：y-5=-2(x+3), 即y=-2x-1．
（2）
当x=-7时，
∴y=-2x-1=-2×(-7)-1=13.
【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法
求解函数解析式”是解本题的关键．
【变式11-2】（2022·湖北荆州·八年级期末）已知一次函数y=(2m-1)x+m+1．
(1)若该函数是正比例函数，求这个一次函数的解析式；
(2)若该函数的图象经过一、二、四象限，且m为整数，求这个一次函数的解析式．
【答案】(1)这个一次函数的解析式为y=-3x
(2)这个一次函数的解析式为y=-x+1【分析】（1）先根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值，即可求得解析式；
（2）根据一次函数的定义及图象经过一、二、四象限求出m的取值范围，进而得出m的整数值即可．
（1）
解：∵函数y=(2m-1)x+m+1是正比例函数，
∴ ¿，
解得m=-1，
∴这个一次函数的解析式为y=-3x；
（2）
解：∵这个函数是一次函数，且图象经过一、二、四象限，
∴ ¿，
解得-1<m<0.5，
∵m为整数，
∴m=0．
∴这个一次函数的解析式为y=-x+1．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知正比例函数、一次函数的性质是解答此题的
关键．
【变式11-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶
1
点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝ x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________．
2
1
【答案】- ≤b≤1
2
1
【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝ x＋b中求得b的值，再根据一
2
次函数的增减性即可得到b的取值范围．
1 1 3 1
【详解】解：直线y＝ x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝ x＋b中，可得 +b=1，解得b=- ；
2 2 2 21 1 1 1
直线y＝ x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝ x＋b中，可得 +b=1，解得b= ；
2 2 2 2
1 1
直线y＝ x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝ x＋b中，可得1+b=2，解得b=1；
2 2
1
故b的取值范围是- ≤b≤1．
2
1
故答案为：- ≤b≤1
2
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属
于中考常考题型．
【考点12 一次函数性质的实际应用】
【例12】（2022·福建省福州第四十中学九年级开学考试）某校准备防疫物资时需购买A、B两种抑菌免洗
洗手液，若购买A种免洗液2瓶和B种免洗液3瓶，共需90元；若购买A种免洗液3瓶和B种免洗液5瓶，
共需145元．
(1)求A、B两种免洗液每瓶各是多少元？
(2)学校计划购买A、B两种免洗液共1000瓶，购买费用不超过17000元，且A种免洗液的数量不大于620
瓶．设购买A种免洗液m瓶，购买费用为w元，求出w（元）与m（瓶）之间的函数关系式，求出自变量
m的取值范围，并确定最少费用w的值．
【答案】(1)15元，20元；
(2)600≤m≤620，且m为整数；w＝16900
【分析】（1）根据购买A种免洗液2瓶和B种免洗液3瓶，共需90元；若购买A种免洗液3瓶和B种免
洗液5瓶，共需145元，可列出相应的二元一次方程组，即可解答．
（2）依据题意，可得w与m之间的函数关系式，再根据学校计划购买A、B两种免洗液共1000瓶，购买
费用不超过17000元，且A种免洗液的数量不大于620瓶，可求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，
即可求出少费用w的值．
（1）
解：设A种免洗液每瓶为x元，B种免洗液每瓶为y元，
¿，
解得，¿，
所以A、B两种免洗液每瓶各是15元，20元．
（2）解：由题意可得，15m+20(1000-m)≤17000
解得，m≥600，
又m≤620，
∴600≤m≤620，且m为整数，
由题意可知，w=15m+20(1000-m)=-5m+20000
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝620时，w取得最小值16900，
1000－620＝380，
∴当购买A种免洗液620瓶，B种免洗液380瓶时，最少费用w为16900元．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是
明确题意，正确列出方程组，掌握一次函数的性质和不等式性质．
【变式12-1】（2022·吉林·测试·编辑教研五九年级阶段练习）小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市
16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单
位：千克）与x之间的函数关系式为y=¿，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
(1)求第15天小颗家草莓的日销售量．
(2)求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式．
(3)试比较第7天与第11天的销售金额哪天多？
【答案】(1)20千克
(2)m=-x+28
(3)第7天销售金额多【分析】（1）将x=15代入y=-20x+320求解即可；
（2）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）利用销售金额=销售量×草莓价格，求出第7天和第11天的销售金额，比较即可得出答案．
（1）
解：∵当10＜x≤16时，y=-20x+320，
∴当x=15时，y=-20×15+320=20，
答：第15天小颗家草莓的日销售量是20千克；
（2）
解：当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式m=kx+b，
将点（4，24）、（12，16）代入m=kx+b中，
得¿，
解得：¿，
∴当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式为m=-x+28；
（3）
解：∵当0≤x≤10时，y=12x，当10＜x≤16时，y=-20x+320，
∴当x=7时，y=12×7=84，
当x=11时，y=-20×11+320=100，
又∵当4≤x≤12时， m=-x+28，
∴当x=7时，m=-7+28=21，
当x=11时，m=-11+28=17，
∴第7天销售金额为84×21=1764（元），
第11天销售金额为100×17=1700（元），
∵1764＞1700，
∴第7天的销售金额多．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题关键是理解题意，找准等量关系，利用待定系数法求得函数关系
式，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的运用．
【变式12-2】（2022·贵州省三穗中学八年级期末）A校和B校分别有库存电脑12台和6台，现决定支援给
C校10台和D校8台，从A校运一台电脑到C校的运费是40元，到D校是80元；从B校运一台电脑到C
校的运费是30元，到D校是50元．设A校运往C校的电脑为x台，总运费为W元．
(1)写出W关于x的函数关系式；(2)从A、B两校调运电脑到C、D两校有多少种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【答案】(1)W =1060-20x (4≤x≤10)
(2)共有7种调运方案，即B到D的可以是0，1，2，3，4，5，6这种情况
(3)总运费最低方案：A校给C校10台，给D校2台，B校给C校0台，给D校6台，最低运费是860元
【分析】（1）表示出从A校运往D校，从B校运往C校和D校的电脑台数，然后根据列出费用表达式整
理即可，再根据运往各校的电脑台数不小于0列式求解即可得到x的取值范围；
（2）根据（1）可进行求解；
（3）根据一次函数的增减性求出x的值，然后解答即可．
（1）
解：设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为(12-x)台，
从B校运往C校的电脑为(10-x)台，运往D校的电脑为8-(12-x)=(x-4)台，
由题意得，
W=40x+80(12-x)+30(10-x)+50(x-4)，
=-20x+1060，
由 ¿
解得4≤x≤10，
所以，W =1060-20x(4≤x≤10)；
（2）
∵4≤x≤10
∴0≤x-4≤6
共有7种调运方案，即B到D的可以是0，1，2，3，4，5，6这7种情况．
（3）
∵k=-20＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=10时，W最小，最小值为：-20×10+1060=860元．
答：总运费最低方案：A校给C校10台，给D校2台，B校给C校0台，给D校6台，最低运费是860元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式不等式组的应用，主要利用了一次函数的增减性求
最值问题，难点在于表示出运往各校的电脑台数．
【变式12-3】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）为了争创全国文明卫生城市，优化城市环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油
量如下表：
A B
价格（万元/台） a b
节省的油量（万升/年） 2.4 2
经调查，购买一台A型车比买一台B型车多20万元，购买2台A型车比买3台B型车少60万元．
(1)请求出a和b；
(2)若购买这批混合动力公交车（两种车型都要有）每年能节省的汽油最大为22.4升，请问有哪几种购车方
案？
(3)求（2）中最省线的购买方案所需的购车款．
【答案】(1)a，b的值分别是120，100
(2)有六种购车方案，
方案一：购买A型公交车1辆，购买B型公交车9辆；
方案二：购买A型公交车2辆，购买B型公交车8辆；
方案三：购买A型公交车3辆，购买B型公交车7辆；
方案四：购买A型公交车4辆，购买B型公交车6辆；
方案五：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆；
方案六：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
(3)最省钱的购买方案所需的购车款是1020万元
【分析】（1）根据数量与总价的关系列二元一次方程组解题即可．
（2）根据两种车型都要有及能节省的汽油最大为22.4升，列不等式解题即可．
（3）先求出费用与A型公交车数量之间的关系式，再根据关系式得出结论即可．
（1）
解：根据题意得：¿，
解得¿，
∴a，b的值分别是120，100
（2）
解：设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车(10-x)辆，由题意，得：2.4x+2(10-x)≤22.4，
解得x≤6，
∵两种车型都要有，
∴0＜x＜10，
∴0＜x≤6，
∵x为整数，
∴x=1，2，3，4，5，6
∴有六种购车方案，
方案一：购买A型公交车1辆，购买B型公交车9辆；
方案二：购买A型公交车2辆，购买B型公交车8辆；
方案三：购买A型公交车3辆，购买B型公交车7辆；
方案四：购买A型公交车4辆，购买B型公交车6辆；
方案五：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆；
方案六：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
（3）
设购车款为w万元，
w=120x+100(10-x)=20x+1000，
∴当x=1时，w取得最小值，此时w=1020，
∴（2）中最省钱的购买方案所需的购车款是1020万元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，一次函数的图象和性质的题目，能够根据题意写出等量关系以及
不等式是解题关键．
【考点13 一次函数图像的实际运用】
【例13】（2022·黑龙江·肇源县第四中学七年级期末）甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y
（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)甲登山的速度是每分钟______米，乙在A地提速时距地面的高度b为______米．
(2)请分别求出乙提速前、甲登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数
关系式．
(3)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，则乙从出发到到达山顶需要多长时间？
【答案】(1)10，30
(2)y=15x（0≤x≤2），y=10x+100（0≤x≤20）
(3)11分钟
【分析】（1）甲的速度=（300-100）÷20=10，根据图象知道乙一分钟的时间，走了15米，然后即可求出
A地提速时距地面的高度；
（2）设AO的解析式为：y=k x，CD的解析式为y=k x+b，由题意得方程（组），代入点的坐标即可
1 2
得到结论；
（3）根据甲登山的速度是每分钟10米，求得乙提速后的速度是每分钟30米，即可得到结论．
（1）
解：甲的速度为：（300-100）÷20=10（米/分），
根据图中信息知道乙一分钟的时间，走了15米，
那么2分钟时，将走30米．
故答案为：10；30；
（2）
解：设AO的解析式为：y=k x，由题意，得15=k ，
1 1
解得：k =15．
1
故线段AO的解析式为：y=15x（0≤x≤2），
设CD的解析式为y=k x+b，把点C、D的坐标分别代入得：¿，
2
解得：¿．
故线段CD的解析式为：y=10x+100（0≤x≤20）；
（3）
解：∵甲登山的速度是每分钟10米，
∴乙提速后的速度是每分钟30米，
∴（300-30）÷30=9（分钟），
乙从出发到到达山顶需要9+2=11（分钟）．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是正确理解题意，充分利用图象提供的信息．
【变式13-1】（2022·全国·八年级单元测试）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发
行驶在同一条公路上．途中快车休息1小时后加速行驶，比慢车提前0.5小时到达目的地；慢车没有休息，
保持匀速行驶．设慢车行驶的时间为x（单位：小时），快车行驶的路程为y （单位：千米），慢车行驶
1
的路程为y （单位：千米）．图中折线OAEC表示y 与x之间的函数关系，线段OD表示y 与x之间的函数
2 1 2
关系．请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲、乙两地相距 千米，快车休息前的速度是 千米/时，慢车的速度是 千米/时；
(2)求图中线段EC所表示的y 与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
1
(3)直接写出两人相距30千米时x的值．
【答案】(1)300，75，60
(2)y =100x-150(3.5⩽x⩽4.5)
1
(3)2，3或者4.5
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得y 与x之间的函数表达式；
1
（3）根据快车休息前的速度列出一元一次方程，解方程即可；再根据快车休息1小时，慢车行驶60千米，
此时两车也相距30千米；快车到达目的时两车也相距30千米，共计分三中情况讨论求解即可．
（1）
由图可知：甲、乙两地相距300千米，
即快车休息前的速度为：150÷2=75（千米/小时），
慢车的速度为：150÷2.5=60（千米/小时）；
（2）
由题意可得，点E的横坐标为：2+1=3，则点E的坐标为(3,150)，
快车从开始到点C用的时间为：300÷60-0.5=4.5（小时），
则点C的坐标为(4.5,300)，
设线段EC所表示的y 与x之间的函数表达式是y =kx+b，
1 1
则¿，
解得¿，
即线段EC所表示的y 与x之间的函数表达式是y =100x-150，(3.5⩽x⩽4.5)；
1 1
（3）
第一种情况：在快车休息前，快车速度为75千米/小时，慢车速度为60千米/小时，
根据题意有：(75-60)x=30，
解得：x=2；
第二种情况：快车原地休息时，根据题意有：60x-150=30，
∴x=3．
第三种情况：快车再次出发后，
根据题意可知，快车比慢车早0.5小时，
即快车到达目的地时，两车相距：60×0.5=30千米，
在（2）中已求得C点坐标为(4.5,300)，
结合图象可知，此时x=4.5时，两车相距30千米，
∴当x=2，3或者4.5时，两车相距30千米，
即当x=2，3或者4.5时，两车相距30千米．
【点睛】本题是一次函数的应用问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的
坐标特征和两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确读懂图象信息、熟练掌握一次函数的相关知识是
解题的关键．
【变式13-2】（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、
同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人
之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①乙用6分钟追上甲；②乙
步行的速度为60米/分；③乙到达终点时，甲离终点还有400米；④整个过程中，甲乙两人相距180米有2
个时刻，分别是t=18和t=24．其中正确的结论有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故①结论正确；
120
由题意可得：甲步行的速度为 =40（米/分）；
3
设乙的速度为x米/分，
由题意可得：9×40=（9-3）x，
解得x=60，
∴乙的速度为60米/分；故②正确；
1200
∴乙走完全程的时间= =20（分），
60
乙到达终点时，甲离终点距离是：1200-（3+20）×40=280（米），故③结论错误；
由图可知，整个过程中，甲乙两人相距180米有2个时刻，当t=18时，甲距起点40×18=720（米），乙距
起点60×（18-3）=900（米），此时二人相距180米；当t=24时，乙已到终点，即乙距起点1200米，甲距
起点24×40=960米，此时二人相距240米，故④错误；
∴正确的结论有①②，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结
合的思想解答．
【变式13-3】（2022·浙江宁波·八年级期末）甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出
发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），
s关于t的函数图象的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画s关于t函数图象的其余部分，并写出已画图象另一个端点的坐标；（3）问甲、乙两人何时相距390米？
【答案】（1）30米；（2）见解析；（3）甲行走32分钟或37分钟时.
【详解】试题分析：（1）由图象可知t=5时，s=150米，根据速度=路程÷时间，即可解答；
（2）根据图象提供的信息，可知当t=35时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有（1500-1050）
=450米，甲到达图书馆还需时间；450÷30=15（分），所以35+15=50（分），所以当s=0时，横轴上对应
的时间为50．
（3）分别求出当12.5≤t≤35时和当35＜t≤50时的函数解析式，根据甲、乙两人相距390米，即s=390，分
别求出t的值即可．
试题解析：（1）甲行走的速度为：150÷5=30（米/分）.
（2）补画s关于t函数图象如图所示，已画图象另一个端点的坐标（50，0）；
（3）150÷（50-30）=7.5（分），7.5+5=12.5分，在x轴上拐点坐标为（12.5，0）
当t=12.5和t=50时，s=0；当t=35时，s=450，
当12.5≤t≤35时，由待定系数法可求：s=20t-250，
令s=390，即20t-250=390，解得t=32.
当35<t≤50时，由待定系数法可求：s=-30t+1500，
令s=390，即-30t+1500=390，解得t=37.
∴甲行走32分钟或37分钟时，甲、乙两人相距390米.
【考点14 一次函数的新定义问题】
【例14】（2022·湖北湖北·八年级期末）把a、b、c三个数中最大那个数记为max{a,b,c}，如
max{3,4,5}=5，max{3,5,5}=5，max{x,x+1,x+2}=x+2，在平面直角坐标系xOy中，若直线1 1 4
y=(1-k)x+ 与函数y=max{x, x+ ,-x}的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
2 3 3
1 3
【答案】0<k< 或 <k<2
4 2
1 4 1 4
【分析】根据题意得出，当x>2时，y=max{x， x+ ，-x}=x，当x<-1时，y=max{x， x+ ，
3 3 3 3
1 4 1 4
-x}=-x，当-1⩽x⩽2时，y=max{x， x+ ，-x}= x+ ，再利用数形结合进行求解．
3 3 3 3
1 4
【详解】解：当x>2时，y=max{x， x+ ，-x}=x，
3 3
1 4
当x<-1时，y=max{x， x+ ，-x}=-x，
3 3
1 4 1 4
当-1⩽x⩽2时，y=max{x， x+ ，-x}= x+ ，
3 3 3 3
如图：
1 1
当直线y=(1-k)x+ 经过点(2,2)时，k= ，
2 4
1
当直线y=(1-k)x+ 与直线y=x平行时，k=0，
2
1
∴0<k< 时，有两个交点；
4
1 3
当直线y=(1-k)x+ 经过点(-1,1)时，k= ，
2 2
1
当直线y=(1-k)x+ 与直线y=-x平行时，k=2，
2
3
∴ <k<2时，有两个交点；
21 3
综上所述：0<k< 或 <k<2时，满足题意，
4 2
1 3
故答案为：0<k< 或 <k<2．
4 2
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是能够根据定义，画出分段函数的图象，利用数形
结合求解即可．
【变式14-1】（2022·安徽合肥·八年级阶段练习）我们规定：如果两个一次函数的图象都经过坐标轴上的
同一个点，那么就称这两个一次函数互为“交轴一次函数”，如：一次函数y =2x-3与y=-x-3的图象都经
过y轴上的同一个点（0，-3），所以这两个函数为“交轴一次函数”，又如一次函数y=-x-2与y =3x+6的
图象都经过x轴上的同一个点（-2，0），所以这两个函数为“交轴一次函数”．
(1)一次函数y=3x+1与y=3x-1是否是“交轴一次函数”？若是，请说明理由；若不是，也请说明理由，并
写出其中一个函数的一个“交轴一次函数”．
(2)已知一次函数y =-3x+3，y =4x+b，若y 与y -y 互为“交轴一次函数”，求b的值．
1 2 1 1 2
【答案】(1)不是，理由见解析；答案不唯一，见解析
(2)b=-4或b=0
【分析】（1）求得两函数图象与坐标轴的交点，即可判断；
3-b
（2）表示出y -y =-7x+3-b，根据题意得出 =1或3-b=3，解得即可．
1 2 7
（1）
解：一次函数y=3x+1与y=3x-1不是“交轴一次函数”，
1
理由：因为一次函数y=3x+1的图象与x轴交于点（- ，0）．与y轴交于点（0，1），
3
1
∵一次函数y=3x-1的图象与x轴交于点（ ，0）．与y轴交于点（0，-1），
3
∴一次函数y=3x+1与y=3x-1不是“交轴一次函数”，
一次函数y=3x+1的“交轴一次函数”如y=2x+1或y=6x+2等，答案不唯一；
（2）
解：∵y =-3x+3，y =4x+b，
1 2
∴y =-3x+3与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），
1
∵y -y =（-3x+3）-（4x+b）=-7x+3-b，
1 2
3-b
∴y -y =-7x+3-b，与x轴的交点坐标为（ ，0）．与y轴的交点坐标为（0，3-b），
1 2 7∵y 与y -y 互为“交轴一次函数”，
1 1 2
3-b
∴ =1或3-b=3，
7
解得b=-4或b=0．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，明确新定义是解题的关键．
【变式14-2】（2022·江苏·景山中学八年级阶段练习）定义：图像与x轴有两个交点的函数y＝¿叫做关于
直线x=m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B，
（1）如图:直线l:x＝1,关于直线l的对称函数y＝¿与该直线交于点C
①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）；
3
②P为关于直线l的对称函数图像上一点（点P不与点C重合），当S ABP= S ABC时，求点P的坐标；
2
△ △
（2）当直线y＝x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围．
7 1 7 4
【答案】（1）①﹣2，2，2；②（- ，-3）或（﹣ ，3）或（ ，﹣3）；（2）﹣2＜m≤ ．
2 2 2 3
【分析】（1）①令±2x+4=0，解得x=2或-1，从而求得A、B的坐标分，根据图像点C（1，3）；
②当点P在x轴上方时，根据题意得出点P、C所在的直线与x轴平行，进而求解；当点P在x轴下方时，
同理可得：-3=±2x+4，即可求解；
（2）分两种情况讨论；列出关于m的方程，求得m的值，结合图像即可求得m的取值范围．
【详解】解：令±2x+4=0，解得x=2或-1，
故点A、B的坐标分别为（-2，0）、（2，0），
∵函数与x轴负半轴交点为A，与x轴正半轴交点记B，则-2＜m≤2；
（1）①从图像看，x=1时，y=-2x+4=2，故点C（1，2）；
故答案为-2，2，2；
②当点P在x轴上方时，3
∵S ABC= S ABP，C（1，2），
2
△ △
故点P的纵坐标为3，
1 1
当y=2x+4=3时，x=- ，故点P（- ，3）；
2 2
当点P在x轴下方时，
7
同理可得：-3=±2x+4，解得x=± ，
2
7 1 7
故点P的坐标为（- ，-3）或（﹣ ，3）或（ ，﹣3）；
2 2 2
（2）当直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，
当m≥0时，点C（m，4﹣2m），
4
将点C的坐标代入y＝x得：4﹣2m＝m，解得m＝ ；
3
4
∴0≤m≤ ，
3
当m＜0时，m＝2m+4，
解得m＝﹣4，
∴-4＜m＜0
又∵﹣2＜m≤2，
4
∴﹣2＜m≤ ．
3
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨
论是解题的关键．
【变式14-3】（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）定义：对于给定的一次函数y=ax+b
（a≠0），把形如y=¿的函数称为一次函数y=ax+b（a≠0）的衍生函数.已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A
（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0）.（1）已知函数y=2x+l.
①若点P（-1，m）在这个一次函数的衍生函数图像上，则m= .
②这个一次函数的衍生函数图像与矩形ABCD的边的交点坐标分别为 .
（2）当函数y=kx-3（k>0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是
.
1 1
【答案】（1）①3，②（ ，2）或（- ，，0）；（2）1＜k＜3；
2 2
【分析】（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=3，即可求解；②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边
的交点位置在BC和AD上，即可求解；
（2）当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，在图①②
之间的位置，直线与矩形有2个交点，即可求解．
【详解】解：（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=3，
故答案为3；
②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，
1
当y=2时，2x+1=2，解得：x= ，
2
1
当y=0时，2x+1=0，解得：x= - ，
2
1 1
故答案为（ ，2）或（- ，，0）；
2 2
（2）函数可以表示为：y=|k|x-3，
如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当x=3时，y=|k|x-3=3|k|-3=0，k=±1，
k＞0，取k=1
当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，
同理k=3，
故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，
即：1＜k＜3．
【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到新定义、直线与图象的交点等，其中（2），要注意分类求解，
避免遗漏．
【考点15 一次函数的规律探究】
【例15】（2022·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，
B．已知点A 是点A关于y轴的对称点，作直线A B，过点A 作x轴的垂线l❑ 交直线AB于点B❑ ，点A
1 1 1 1 1 2
是点A关于直线l❑ 的对称点，作直线A B❑ ，过点A 作x轴的垂线l ，交直线AB于点B ，点A 是点A
1 2 1 2 2 2 3
关于l
2
的对称点，作直线A
3
B
2
……继续这样操作下去，可作直线A
n
B
n
❑
﹣1
（n为正整数，且n≥1）
(1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ．
②求出点B❑ ，A 的坐标，并求出直线A B的函数关系式；
1 2 2
(2)根据操作规律，可知点A 的坐标为 ．可得直线A B ❑ 的函数关系式为 ．
n n n ﹣1
(3)求△A ❑ A B ❑ 的面积．
n ﹣1 n n ﹣1
【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B❑ (1，2)，A (3，0)，y=-x+3
1 2(2)2n﹣1，y=-2x+2n
❑
+1-2
(3)22n
❑
-3
【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标；
②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点A 的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到B （1，4）．
1 1
再求出点A关于直线l 的对称点A 的坐标(3，0)．设直线A B 的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把B ，A 的
1 2 2 1 1 2
坐标代入，利用待定系数法即可求出直线A B 的函数关系式；
2 1
（2）先求出点A关于l 的对称点A 的坐标(7，0)．由A 、A 、A 的坐标规律可得点A 的横坐标为2n-1．
2 3 1 2 3 n
再求出B ❑ 的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线A B ❑ 的函数关系式；
n ﹣1 n n ﹣1
（3）由A (2n﹣1，0)，B ❑ (2n ❑ ﹣1﹣1，2n)，可得
n n ﹣1
A A ❑ =2n ❑ ﹣1，A ❑ B ❑ =2n ❑ ﹣1 ，再利用三角形面积公式求出即可．
n n ﹣1 n ﹣1 n ﹣1
（1）
①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B，
∴A(1，0)，B(0，1)，
故答案为：(-1，0)，(0，1)；
②∵A(-1，0)，B(0，1)，
∴点A关于y轴的对称点A 是(1，0)．
1
当x=1时，y=2，
∴B❑ (1，2)．
1
点A关于直线l 的对称点A 是(3，0)．
1 2
设直线A B 的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，
2 1
∴¿，解得¿，
∴直线A B 的函数关系式是y=-x+3；
2 1
（2）
∵A(﹣1，0)，A (3，0)．
2
由题意过点A 作x轴的垂线l ，点A 是点A关于l 的对称点得，
2 2 3 2
∴A (7，0)．
3
由A (1，0)，A (3，0)，A (7，0)，
1 2 3
可得点A 的坐标为(2n﹣1，0)，
n直线A B ❑ 的函数关系式为y=-x+2n-1．
n n ﹣1
故答案为：2n-1，y=-2x+2n+1-2；
（3）
∵A (2n﹣1，0)，B ❑ (2n ❑ ﹣1﹣1，2n ❑ ﹣1)，
n n ﹣1
∴A A ❑ =(2n-1)-(2n ❑ ﹣1-1)=2n-2n ❑ ﹣1=2n ❑ ﹣1，A ❑ B ❑ =2n ❑ ﹣1，
n n ﹣1 n ﹣1 n ﹣1
∴△A ❑ A B ❑ 的面积= 1 ×(2n ❑ ﹣1) 2 =22n ❑ ﹣3 ．
n ﹣1 n n ﹣1 2
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质．
1
【变式15-1】（2022·山东济南·八年级期末）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣ x和点P（1，
2
0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，过点P 作y轴的平
1 1 2 2
行线交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，…，按此作法进行下去，则点P 的横坐
3 3 4 2020
标为（ ）
A．21009 B．﹣21009 C．21010 D．﹣21010
【答案】C
【分析】点P(1,0)，P 在直线y=x上，得到P (1,1)，求得P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，得到P (-2,1)，
1 1 2 1 2
即P 的横坐标为-2=-21，同理，P 的横坐标为-2=-21，P 的横坐标为4=22，P =22 ，P =-23 ，
2 3 4 5 6
P =-23 ，P =24…，求得P =22n ，于是得到结论．
7 8 4n
【详解】解：∵点P(1,0)，P 在直线y=x上，
1∴P (1,1)，
1
∵P P //x轴，
1 2
∴P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，
2 1
1
∵P 在直线y=- x上，
2 2
1
∴1=- x，
2
∴x=-2，
∴P (-2,1)，即P 的横坐标为-2=-21，
2 2
同理，P 的横坐标为-2=-21，P 的横坐标为4=22，P =22 ，P =-23 ，P =-23 ，P =24…，
3 4 5 6 7 8
∴P =22n ，
4n
1
∴P 2020 的横坐标为 22 ×2020 =21010，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．
【变式15-2】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期末）如图，过点A（1，0）作x轴的垂线，交直
1
线y＝2x于点B；点A 与点O关于直线AB 对称；过点A（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；
1 2 1 1 2 2
点A 与点O关于直线AB 对称；过点A（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；…，按此规律作下
3 2 2 3 3
去，则B 的坐标为________．
100
【答案】（299，2100）
【分析】先根据题意求出A 点的坐标，再根据A 点的坐标求出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点
2 2 2
B 的坐标．
100
【详解】解：∵点A 坐标为（1，0），
1
∴OA ＝1，
1过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，可知B 点的坐标为（1，2），
1 1 1
∵点A 与点O关于直线AB 对称，
2 1 1
∴OA ＝A B ＝1，
1 1 2
∴OA ＝1+1＝2，
2
∴点A 的坐标为（2，0），B 的坐标为（2，4），
2 2
∵点A 与点O关于直线A B 对称．故点A 的坐标为（4，0），B 的坐标为（4，8），
3 2 2 3 3
依此类推便可求出点A 的坐标为（2n-1，0），点Bn的坐标为（2n-1，2n），
n
∴点B 的坐标为（299，2100）．
100
故答案为：（299，2100）．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题关键在于掌握一次函数图象上点的
坐标满足其解析式．
【变式15-3】（2022·辽宁·本溪市实验中学九年级阶段练习）如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y
轴交于点A ，以OA 为边向右构造正方形OA B C ，使点C 落在x轴上，延长C B 交直线l于点A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2
再以C A 为边向右构造正方形C A B C ，使点C 落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则B B
1 2 1 2 2 2 2 1 2021
所在直线的解析式为 _____．
1 1
【答案】y= x+
2 2
【分析】根据一次函数的解析式分别求出A 、A 等点的坐标，继而得知B 、B 等点的坐标，从中找出规
1 2 1 2
律，进而可求出点B 的坐标，进而用待定系数法求出所求解析式．
2021
【详解】解：把x＝0代入直线y＝x+1，
得y＝1，A （0，1），
1
点B 的坐标是（1，1），
1
把x＝1代入直线y＝x+1，
得y＝2，A （1，2），
2
点B 的坐标是（3，2），
2
同理可得：点B 的坐标是（7，4）；
3……
由以上得出规律是B 的坐标为(2n-1，2n-1)，
n
∴B 的坐标为(22021-1，22020)，
2021
设B B 所在直线的解析式为y＝kx+b，
1 2021
得¿，
解得 ¿，
1 1
∴B B 所在直线的解析式为y= x+ ．
1 2021 2 2
1 1
故答案为：y= x+ ．
2 2
【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式等知识，解此题的关
键是分别计算一次函数中的点的坐标从而得出规律．
