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专题 21.5 一次函数十六大必考点
【人教版】
【考点1 （一次)函数的概念】..............................................................................................................................1
【考点2 判断一次函数的图像】...........................................................................................................................3
【考点3 根据一次函数的性质求参数】...............................................................................................................6
【考点4 一次函数图像上点的坐标特征】.........................................................................................................10
【考点5 确定一次函数经过的象限】.................................................................................................................12
【考点6 根据一次函数的性质判断结论正误】.................................................................................................14
【考点6 根据一次函数的性质比较函数值大小】..............................................................................................17
【考点7 根据一次函数的性质比较自变量大小】..............................................................................................20
【考点8 根据一次函数性质确定参数取值范围】..............................................................................................22
【考点9 一次函数与坐标轴的交点与面积综合】..............................................................................................25
【考点10 一次函数的平移】.................................................................................................................................30
【考点11 确定一次函数解析式】.........................................................................................................................32
【考点12 一次函数性质的实际应用】.................................................................................................................35
【考点13 一次函数图像的实际运用】.................................................................................................................41
【考点14 一次函数的新定义问题】.....................................................................................................................46
【考点15 一次函数的规律探究】.........................................................................................................................52
【考点1 （一次)函数的概念】
【例1】（上海市奉贤区联考2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷）下列所述不属于函数关系
的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
【答案】D
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一
的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；
B、x+2随x的变化而变化，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；
C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意；D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键．
【变式1-1】（2022·湖南·长沙市华益中学八年级期末）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一
个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可．
【详解】A、部分自变量对应多个因变量，不是函数，不符合题意；
B、是函数，符合题意；
C、当x=0时，对应3个y值，不是函数，不符合题意；
D、部分自变量对应2个因变量，不是函数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．
3
【变式1-2】（2021·陕西安康·八年级期末）在①y＝﹣8x：②y＝﹣ ：③y＝√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y
x
＝0.5x﹣3中，一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义，正比例函数属于一次函数；一次函数是形如y=kx+b(k≠0) 的形式，结
合题中所给表达式，比照定义形式即可解答．
【详解】解：①y＝﹣8x是正比例函数，属于一次函数，符合题意；
3
②y=- 不是一次函数，不符合题意；
x
③y=√x+1不是一次函数，不符合题意；
④y=-5x2+1中未知数次数是二次，不是一次函数，不符合题意；
⑤y＝0.5x﹣3是一次函数，符合题意；∴一次函数有①y＝﹣8x和⑤y＝0.5x﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，
k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【变式1-3】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所八年级期末）已知函数y=(m+1)x+m2-1 是正比例函数，
则m=_____________．
【答案】1
【分析】根据函数是正比例函数，可知m+1≠0且m2-1=0，综合条件即可得到m的值．
【详解】解：∵y=(m+1)x+m2-1是正比例函数
∴m+1≠0且m2-1=0
∴m≠-1且m=±1
∴m=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数．易错点：容易不考虑
k≠0．
【考点2 判断一次函数的图像】
【例2】（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数 y=mx+n 与正比例函数
y=mnx （m，n为常数、且 mn≠0 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同
负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：A、一次函数m＞0，n＞0；正比例函数mn＜0，矛盾；
B、一次函数m＞0，n＜0；正比例函数mn＞0，矛盾；
C、一次函数m＞0，n＜0，正比例函数mn＜0，成立；
D、一次函数m＜0，n＞0，正比例函数mn＞0，矛盾，
故选：C．【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y
＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，经过第二、三、四象限．
【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数
y=x+kb和y=kx+b（k、b为常数，且 k≠0）的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于无法直接辨识一次函数y=x+kb和y=kx+b的图象各是哪条直线，因此要根据选项先得到b≠0，
再根据k，b的正负分类讨论得出答案．
【详解】解：A、一次函数y=kx+b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb
与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
B、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负
半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
C、一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负
半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；
D、一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y=x+kb与y轴交于负
半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当
k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第
一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，
函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象．
【变式2-2】（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数y=bx-k的大致图像是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数
的性质，即可得到一次函数y=bx-k图像经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴b>0，-k>0，
∴一次函数y=bx-k图像第一、二、三象限，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式2-3】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）直线y =mx+n2+1和y =-mx-n的图象可能是（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】首先设定一个为一次函数y =mx+n2+1的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可．
1
【详解】解：∵n2+1>0
∴y =mx+n2+1的图像与y轴的交点坐标在x轴上方，故排除A、B选项
1
C、如果过第一、二、四象限的图象是y，由y 的图象可知，m＜0；由y 的图象可知，m＜0，两结论不互
1 1 2
相矛盾，故正确；
D、如果过第一、二、三象限的图象是y，由y 的图象可知，m＞0；由y 的图象可知，m ＜0，两结论相
1 1 2
矛盾，故错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有
四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【考点3 根据一次函数的性质求参数】
【例3】（2022·河北·晋州市第七中学八年级期末）已知正比例函数y=(1-m)x的图像上一点(a,b)，且
ab<0，则m的值可能是（ ）
A．-0.5 B．0 C．1 D．1.5
【答案】D
【分析】根据ab<0可知，a，b异号，点(a,b)应该在第二象限或第四象限，所以正比例函数应该过二四
象限，即可推出m的取值范围．
【详解】解：由ab<0得：
a，b异号，点(a,b)应该在第二象限或第四象限
∵点在正比例函数的图像上
∴图像过二四象限
∴1-m＜0，m＞1
故选D．
【点睛】本题考查正比例函数的图像和性质，根据点所在的象限，判断出图像所过象限是解题的关键．
【变式3-1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知一次函数y=kx+b，当x=-1时，y<0；当0≤x≤2时，-1≤ y≤3．则k=________．
【答案】2
【分析】当x=-1时，y<0；0≤x≤2时，-1≤ y≤3，可得y随x的增大而增大，再利用待定系数法求解函
数解析式即可．
【详解】解：当x=-1时，y<0；0≤x≤2时，-1≤ y≤3，
所以y随x的增大而增大，
所以当x=0,y=-1,x=2,y=3,
b=-1
∴{
2k+b=3
k=2
解得：{ ,
b=-1
故答案为：2
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的增减性，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌
握“一次函数的增减性的判断方法”是解本题的关键．
【变式3-2】（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室八年级期末）已知函数y=(2m+1)x+m-3（m为常数）．
(1)当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数；
(2)当m满足条件__________时，函数图象经过点(1,4)；
(3)当m满足条件__________时，y随x的增大而减小．
(4)当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方；
1
【答案】(1)m≠-
2
(2)m=2
1
(3)m<-
2
(4)m>3
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）将(1,4)代入y=(2m+1)x+m-3即可；
（3）根据一次函数的增减性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；
（4）将x=0代入函数表达式，即可求出该函数与y轴的交点坐标，由于函数图象与y轴的交点在x轴的上
方，只需要纵坐标大于0即可．
（1）∵变量y是变量x的一次函数；
∴2m+1≠0，
1
解得：m≠-
2
1
故答案为：m≠- ；
2
（2）
将(1,4)代入y=(2m+1)x+m-3得：4=（2m+1）×1+m-3
解得：m=2，
故答案为：m=2；
（3）
∵y随x的增大而减小，
∴2m+1<0，
1
解得：m<- ，
2
1
故答案为：m<- ；
2
（4）
当x=0时，y=m-3，
∴该函数与y轴的交点为（0，m-3），
∵函数图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴m-3>0，
解得：m>3；
故答案为：m>3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练地掌握一次函数的增减性以及一次函数与坐标轴的交点坐
标是解题的关键．
【变式3-3】（2022·安徽·八年级期末）在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（5，3），B（4，0），直
线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
【答案】A
【分析】设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出
直线y=mx-5m+3过三角形的顶点A（5，3），结合直线y=mx-5m+3过点C（2，0），再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值．
【详解】解：设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），如图所示．
∵y＝mx﹣5m+3＝（x﹣5）m+3，
∴当x＝5时，y＝（5﹣5）m+3＝3，
∴直线y＝mx﹣5m+3过三角形的顶点A（5，3）．
∵直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的的两部分，
∴直线y＝mx﹣5m+3过点C（2，0），
∴0＝2m﹣5m+3，
∴m＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数上点的坐标特征，找出关于m的一元一
次方程是解题的关键．
【考点4 一次函数图像上点的坐标特征】
【例4】（2022·广东湛江·八年级期末）已知正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，则下列各点在该函数图
像上的是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【答案】A
【分析】先求出正比例函数y=3x，再将点坐标逐个代入，即可得答案．
【详解】解：∵正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，
∴6=2k，解得k=3，
∴正比例函数为y=3x，
在正比例函数y=3x中，
若x=-1，则y=3×(-1)=-3，（﹣1，﹣3）在函数图像上，故选项A符合题意，选项B不符合题意；
若x=3，则y=3×3=9，（3，1）不在函数图像上，故选项C不符合题意；若x=-3，则y=3×(-3)=-9，（﹣3，1）不在函数图像上，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及函数图像上点的坐标的特征，理解函数图像上的点，
其坐标需满足解析式是解本题的关键．
【变式4-1】（2022·重庆市璧山中学校八年级期末）直线y=-x+2经过点（1，a），则a=_________．
【答案】1
【分析】直接将点（1，a）代入直线y=-x+2，即可得出a＝1．
【详解】解：∵直线y=-x+2经过点（1，a），将其代入解析式
∴a＝1，
故答案为1．
【点睛】此题主要考查一次函数解析式的性质，熟练掌握一次函数上点的特征是解题的关键．
【变式4-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0
）的图象经过点A （2， 3），B(-1 ， 4)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)判断点P （5 ， 2 ），Q （3 ， 0 ）是否在该一次函数的图象上，并说明理由．
1 11
【答案】(1)一次函数的解析式为y=- x+
3 3
(2)点P （5 ， 2 ）在该函数图象上；点Q （3 ， 0 ）不在该函数图象上．理由见解析
【分析】（1）用待定系数法可得解析式；
（2）结合（1），设x=5，算出y值，即可判断P是否在图象上，同理可判断Q．
（1）
∵ 点A，B在一次函数的图象上，
∴ ¿ 解得¿
1 11
∴ 一次函数的解析式为y=- x+ ．
3 3
（2）
1 11
把x=5代入到y=- x+ 中，得y=2，
3 3
∴ 点P （5 ， 2 ）在该函数图象上；
1 11 8
把x=3代入到y=- x+ 中，得y= ≠0，
3 3 3∴ 点Q （3 ， 0 ）不在该函数图象上．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定
系数法．
【变式4-3】（2022·浙江·杭州江南实验学校三模）一次函数y =ax-a+1（a为常数，且a≠0）．
1
(1)若点（﹣1，3）在一次函数y =ax-a+1的图像上，求a的值；
1
(2)若a>0，当-1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y 的表达式；
1
(3)对于一次函数y =kx+2k-4（k≠0），若对任意实数x，y >y 都成立，求k的取值范围．
2 1 2
【答案】(1)a=-1
(2)y =4x-3
1
5
(3)k< 且k≠0
3
【分析】（1）将点（﹣1，3）代入一次函数解析式，转化为关于a的一元一次方程并求解即可；
（2）由a>0时，y随x的增大而增大，可确定当x=2时，函数有最大值，然后代入函数解析式求解即可；
（3）由题意可知，两直线应该平行，即有k=a，再根据y >y 列出不等式并求解即可．
1 2
（1）
解：将点（﹣1，3）代入一次函数y =ax-a+1，
1
可得3=-a-a+1，解得a=-1；
（2）
∵a>0时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，函数有最大值，即y =2a-a+1=5，
1最大
解得a=4，
∴此时一次函数y 的表达式为y =4x-3；
1 1
（3）
由题意可知，k=a≠0，
∴y =kx-k+1，
1
∵对任意实数x，y >y 都成立，
1 2
∴-k+1>2k-4，
5
解得k< ，
3
5
∴k的取值范围为k< 且k≠0．
3【点睛】本题主要考查了一次函数解析式与点的关系、一次函数的图像与性质、一次函数与不等式的综合
应用等知识，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
【考点5 确定一次函数经过的象限】
【例4】（2022·山东菏泽·八年级期末）一次函数y=kx+b（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且
y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意分别求得k<0和b<0，再进行判断即可．
【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过点P(-2,-1)，
∴-1=-2k+b，
∴b=2k-1，
∵一次函数y=kx+b中y随着x的增大而减小，
∴k<0，
∴b=2k-1＜0，
∵k<0，b＜0，
∴该图像不经过的象限是第一象限，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式4-1】（2022·上海市梅陇中学九年级期末）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线
ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从
而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校八年级阶段练习）若一次函数y=kx+b(k、b是常数)的图
象不经过第二象限，则一次函数y=-x+kb的图象（ ）A．过二、三、四象限 B．过二、四象限 C．不过第一象限 D．不过第三象限
【答案】C
【分析】根据图象不经过第二象限，确定k>0，b≤0，从而确定函数y=-x+kb为y=-x或y=-x+kb且kb
＜0求解即可
【详解】∵函数的y=kx+b图象不经过第二象限，
∴k>0，b≤0，
∴y=-x+kb为y=-x或y=-x+kb且kb＜0，
∴函数图像分布在二、四象限或二、三、四象限，
即函数图像不经过第一象限，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握图像分布与k,b的关系是解题的关键．
【变式4-3】（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期末）在平面直角坐标系中，点A(-5,-1)关于原点
对称的点的坐标为A'(a,b)，关于x轴对称的点的坐标为B(c,d)，则一次函数y=(a-c)x-(b+d)的图象不
经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出a，b，c，d，再根据一次函数的图像性质判断即可．
【详解】∵A(-5,-1)，
∴关于原点对称的点的坐标为A'(5,1)，关于x轴对称的点的坐标为B(-5,1)，
∴a=5，b=1，c=-5，d=1，
∴a-c=10，b+d=2，
∴一次函数为y=10x-2，
∴一次函数图像经过一、三、四象限，
∴不经过第二象限；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中，对称点的坐标特征和一次函数的图像性质，熟练掌握一次函
数的性质是解题的关键．
【考点6 根据一次函数的性质判断结论正误】
1
【例6】（2022·黑龙江·林口县教师进修学校八年级期末）将直线y= x向上平移2个单位长度后得到直线
2
y＝kx＋b，则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是（ ）A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小
C．与y轴交于（2，0） D．与x轴交于（－4，0）
【答案】D
1 1
【分析】直线y= x向上平移2个单位长度后得到的解析式为y= x+2，再根据一次函数的图象性质逐
2 2
一判断即可选出正确答案．
1 1
【详解】解：直线y= x向上平移2个单位长度后得到的解析式为y= x+2，
2 2
1
A．∵k= ＞0，b=2＞0，故经过第一、二、三象限，故A错误；
2
1
B．∵k= ＞0，故y随x的增大而增大，故B错误；
2
C．令y=0，则x=-4，所以与x轴交点为(-1，0)，故C错误；
D．令x=0，y=2，则与y轴的交点为(0，2)，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握函数图象平移规律“上加下减”以及一次函数的性质是解题关
键．
【变式5-1】（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．一次函数y=-x+6的图像不经过第三象限
B．一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点坐标是(0,4)
1
C．一个正比例函数的图像经过(1,-2)，则它的表达式为y=- x
2
D．若P (x ,y )，P (x ,y )在直线y=kx+b上，且x >x ，则y >y ；
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】根据一次函数中的k、b的值判断函数图象经过的象限；根据坐标轴上的点的特征可求出与x轴的
交点坐标；利用待定系数法可求出一次函数的表达式；根据一次函数的图象的增减性，可以判断出y 、y
1 2
的大小．
【详解】解：A、一次函数y=-x+6的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故选项符合题意；
B、一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点坐标是(2,0)，与y轴的交点坐标是(0,4)，故选项不符合题意；
C、正比例函数的图像经过(1,-2)，则它的表达式为y=-2x，故选项不符合题意；
D、若P (x ,y )，P (x ,y )在直线y=kx+b上，且x >x ，当k>0时，y >y ；当k<0时，y 0，
k-3
解得：0＜k＜3，故④不符合题；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查根据一次函数的定义，一次函数图象的性质，一次函数与x轴交点问题，交点坐标确定
解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
【考点6 根据一次函数的性质比较函数值大小】
【例6】（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）设一次函数y＝kx+3k﹣5（k≠0），对任意两个k
的值k 、k ，分别对应两个一次函数y ，y ．若k k ＜0，当x＝m时，取相应y ，y 中较小值p，则p
1 2 1 2 1 2 1 2
的最大值是（ ）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣2 D．0
【答案】B
【分析】整理一次函数解析式求出不论k取任何值时一次函数经过的定点，再根据k k ＜0，可知两直线一
1 2
条经过第一、三象限，一条经过第二、四象限，所以当m为交点横坐标时，所对应y ，y 中的较小值p
1 2
最大，然后即可得解．
【详解】解：∵y=kx+3k-5=k（x+3）-5，
∴不论k取何值，当x=-3时，y=-5，
∴一次函数y=kx+3k-5经过定点（-3，-5），
又∵对于任意两个k的值k 、k ，k k ＜0，
1 2 1 2
∴两个一次函数y ，y ，一个函数图象经过第一、三象限，一个经过第二、四象限，
1 2
∴当m=-3，相应的y ，y 中的较大值p，取得最大值，最大值为-5．
1 2故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，整理函数解析式，然后求出一次函数y=kx+3k-5经过
的定点坐标是解题的关键．
【变式6-1】（2022·四川成都·八年级期末）一次函数y=x-1的图像交x轴于点A．交y轴于点B，在
y=x-1的图像上有两点(x ,y )、(x ,y )，若x <00时，y>-1，
∵x <03，点C(n+3，y )，D(2n+1，y )都在一次函数y=-2x+4的图象上，试比较y 与y 的大小，
1 2 1 2
并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)y >y ，理由见解析
1 2
【分析】（1）求出一次函数y=-2x+4图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；
（2）由函数解析式可判断该函数y随x的增大而减小，又可判断2n+1>n+3，即可确定y >y ．
1 2
（1）
对于y=-2x+4，
当y=0时，即-2x+4=0，
∴x=2；
当x=0时，即y=4．
∴函数y=-2x+4的图象经过点(2，0)、(0，4)；
∴函数y=-2x+4的图象如图所示．（2）
∵n>3，
∴(2n+1)-(n+3)=n-2>0，
∴2n+1>n+3．
∵y=-2x+4，k=-2>0，
∴y随x的增大而减小．
∵点C(n+3，y )，D(2n+1，y )都在一次函数y=-2x+4的图象上，
1 2
∴y >y ．
1 2
【点睛】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
【考点7 根据一次函数的性质比较自变量大小】
【例7】（2022·四川成都·三模）一次函数y =k x+b 和y =k x+b 的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣
1 1 1 2 2 2
1与y =k x+b 和y =k x+b 的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k ＞0，k ＜0，则a、
1 1 1 2 2 2 1 2
b、c从大到小排列应为________．
【答案】c＞a＞b
【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断．
【详解】解：∵k ＞0，k ＜0，
1 2
点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等
∴ y＝n﹣1是一条水平线
画出满足题意位置关系的函数图像如下，
由图像易得：c＞a＞b，
故答案为：c＞a＞b．【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键．
【变式7-1】（2022·福建·厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）八年级期末）点
M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x-3图像上两点，则a_____b（填“>”、“=”或”<”）．
【答案】<
【分析】由k=2>0结合一次函数的性质即可得出该函数为增函数，再结合2＜3即可得出结论．
【详解】解：∵k=2>0，
∴一次函数y随x增大而增大，
同理当y越大时x也越大，
∵2＜3，
∴a0 ，求解即可；
2
1+2k (1+2k
)
（3） 解：将y=0代入y ，y 中，得x =1，x = ，故B点坐标为： ,0 ，联立y ，y 可得
1 2 1 2 k+1 k+1 1 2
1
x=2，将x=2代入y =x-1中，y =2-1=1，故C点坐标为（2，1），则S = AB⋅|y |，解得：
1 1 △ABC 2 c
AB=3，如图所示B点可能在A点的左侧，也可能在A点的右侧，故B坐标为（4，0），或（﹣2，0），
1+2k
把x=4或x=﹣2代入x= 中，求解可得到答案．
k+1
（1）
解:将(1,2)代入y 得，(k+1)-1-2k=2，
2
解得k=-2，
∴y =-x+3；
2
（2）
解：∵l 经过第一、二、四象限，
2
∴k+1<0，-1-2k>0 ，
1
解得：k<-1，k<- ，
2
∴k<-1；
（3）
解：将y=0代入y ，y 中，得
1 2
y =x-1，0=x-1，x=1，
1
故A点坐标为（1，0），
1+2k
y =(k+1)x-1-2k，0=(k+1)x-1-2k，解得x = ，
2 2 k+1
(1+2k
)
故B点坐标为： ,0 ，
k+1
联立y ，y ，
1 2
x-1=(k+1)x-1-2k，
kx=1+2k-1，
kx=2k，x=2，
将x=2代入y =x-1中，
1
y =2-1=1，
1
故C点坐标为（2，1），
1
则S = AB⋅|y |
△ABC 2 c
1
1.5= ×AB×1
2
AB=3，
如图所示B点可能在A点的左侧，也可能在A点的右侧，
∴B坐标为（4，0），或（﹣2，0），
1+2k
把x=4或x=﹣2代入x= 中，
k+1
1+2k 3
4= ，4k+4=2k+1，k=- ，
k+1 2
1+2k 3
-2= ，-2k-2=2k+1，k=- ，
k+1 4
3 3
故k=- 或k=- ．
4 2
【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象经过的象限与参数之间的关系，一次函数的综合题，
能够熟练掌握一次函数解析式与图象之间的关系是解决本题的关键．
【考点10 一次函数的平移】
【例10】（2022·陕西师大附中八年级期末）已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴
交于点(2,0)，则关于x的不等式a(x-1)+b>0的解集为（ ）
A．x<3 B．x>3 C．x>1 D．x<1
【答案】A
【分析】先根据一次函数图象的平移规律画出y=a(x-1)+b的图象，并且求出一次函数y=a(x-1)+b图
象与x轴交于点(3,0)，再结合函数图象即可得．【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2,0)，
∴一次函数y=a(x-1)+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(3,0)，
画出函数的大致图象如下：
由函数图象可知，关于x的不等式a(x-1)+b>0的解集为x<3，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
【变式10-1】（2022·黑龙江鹤岗·八年级期末）已知把一次函数y=2x+3的图象向右平移3个单位长度，
则平移后图象的函数解析式为______．
【答案】y=2x-3
【分析】根据一次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．把一次函数y=2x+3的图象向右平
移3个单位长度，即可解得.
【详解】y=2(x-3)+3=2x-3，
故答案为：y=2x-3．
【点睛】考查一次函数图象的平移规律，掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题的关键．
【变式10-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣
1，4），则b的值为 _____．
【答案】1
【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而将（﹣1，4）代入求出答案．
【详解】解：∵一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位，
∴y＝2x+b+5，
把（﹣1，4）代入得：4＝2×（﹣1）+b+5，
解得：b＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握一次函数平移规律是解题关键．1
【变式10-3】（2022·江苏·八年级专题练习）已知直线y= x，记为l ．
2 1
1
(1)填空：直线y= x+1可以看做是由直线l 向______平移______个单位得到；
2 1
(2)将直线l 沿x轴向右平移4个单位得到直线l ，解答下列问题：
1 2
①求直线l 的函数解析式；
2
②若x取任意实数时，函数y=|x-m|的值恒大于直线l 的函数值，结合 图象求出m的取值范围．
2
【答案】(1)上；1或左；2
1
(2)①直线l 的函数解析式为y= x-2；②m<4
2 2
【分析】（1）根据解析式的图象得出结论即可；
（2）①根据直线l 沿x轴向右平移4个单位得到直线l ，得出直线l 过点(4，0)，进而得出解析式即可；②
1 2 2
根据题意画出函数的图象，结合图象得出结论即可．
1 1
（1）如下图所示，y= x+1是由y= x向上平移1个单位得到的，或向左平移2个单位得到的；
2 2
故答案为：上，1或左，2；
1
（2）①∵当y= x沿x轴向右平移4个单位后经过点(4，0)，∴平移得到的直线l 的函数解析式为
2 21 1
y= (x-4)= x-2;；②如下图所示，画出y=|x|的图象，
2 2
y=|x-m| y=|x|
的函数图象可以看作是 沿x轴水平移动m
个单位，当m>0时，y=|x|向右平移m个单位，当m<0时，y=|x|向左平移m个单位，要是函数
y=|x-m|的值恒大于直线l 的函数值，则函数y=|x-m|的图象位于直线l 的上方，由函数图像可知当
2 2
m<4时函数y=|x-m|的图象位于直线l 的上方，∴m的取值范围为 ．
2
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图m<象4和性质，图形的平移等知识是解
题的关键．
【考点11 确定一次函数解析式】
【例11】（2022·广西贵港·八年级期末）若一次函数的图象与直线y=-x-1平行，且过点(3,-2)，则该
直线的表达式为（ ）
A．y=-x-2 B．y=-x-3 C．y=-x+1 D．y=-x+2
【答案】C
【分析】设一次函数的表达式为y=kx+b，根据两直线平行斜率相等得出该函数的斜率k，再将点(3,-2)
代入可得b值，进而得出结论．
【详解】解：设该直线的表达式为y=kx+b，
∵一次函数的图象与直线y=-x-1平行，
∴k=-1．
∵点(3,-2)在直线y=kx+b上，
∴-2=(-1)×3+b，解得b=1．
∴ 该直线的表达式为y=-x+1．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象平行与相交的理解、运用能力．同一平面内，不重合的两直线：l ：
1
y =k x+b ，l ：y =k x+b ，当k =k 时，两直线平行；当k ≠k 时，两直线相交．明确一次函数的图
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
象与直线y=-x-1平行，它们的斜率相等，掌握待定系数法得出b值是解本题的关键．
【变式11-1】（2022·吉林·敦化市第三中学校八年级阶段练习）已知y-5与x+3成正比例，且当x=1时，
y=-3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)求当x=-7时，y的值．
【答案】(1)y=-2x-1
(2)y=13
【分析】（1）由y-5与x+3成正比例，设y-5=k(x+3), 再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把x=-7代入y=-2x-1求解函数值即可．
（1）
解：∵y-5与x+3成正比例，
∴设y-5=k(x+3),
当x=1时，y=-3．
∴4k=-8,
解得：k=-2,
∴函数关系式为：y-5=-2(x+3), 即y=-2x-1．
（2）
当x=-7时，
∴y=-2x-1=-2×(-7)-1=13.
【点睛】本题考查的是正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数值，掌握“待定系数法
求解函数解析式”是解本题的关键．
【变式11-2】（2022·湖北荆州·八年级期末）已知一次函数y=(2m-1)x+m+1．
(1)若该函数是正比例函数，求这个一次函数的解析式；
(2)若该函数的图象经过一、二、四象限，且m为整数，求这个一次函数的解析式．
【答案】(1)这个一次函数的解析式为y=-3x
(2)这个一次函数的解析式为y=-x+1【分析】（1）先根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，求出m的值，即可求得解析式；
（2）根据一次函数的定义及图象经过一、二、四象限求出m的取值范围，进而得出m的整数值即可．
（1）
解：∵函数y=(2m-1)x+m+1是正比例函数，
∴ ¿，
解得m=-1，
∴这个一次函数的解析式为y=-3x；
（2）
解：∵这个函数是一次函数，且图象经过一、二、四象限，
∴ ¿，
解得-12时，y=max{x， x+ ，-x}=x，当x<-1时，y=max{x， x+ ，
3 3 3 3
1 4 1 4
-x}=-x，当-1⩽x⩽2时，y=max{x， x+ ，-x}= x+ ，再利用数形结合进行求解．
3 3 3 3
1 4
【详解】解：当x>2时，y=max{x， x+ ，-x}=x，
3 3
1 4
当x<-1时，y=max{x， x+ ，-x}=-x，
3 3
1 4 1 4
当-1⩽x⩽2时，y=max{x， x+ ，-x}= x+ ，
3 3 3 3
如图：
1 1
当直线y=(1-k)x+ 经过点(2,2)时，k= ，
2 4
1
当直线y=(1-k)x+ 与直线y=x平行时，k=0，
2
1
∴00）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是
.
1 1
【答案】（1）①3，②（ ，2）或（- ，，0）；（2）1＜k＜3；
2 2
【分析】（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=3，即可求解；②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边
的交点位置在BC和AD上，即可求解；
（2）当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，在图①②
之间的位置，直线与矩形有2个交点，即可求解．
【详解】解：（1）①x=-1＜0，则m=-2×（-1）+1=3，
故答案为3；
②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC和AD上，
1
当y=2时，2x+1=2，解得：x= ，
2
1
当y=0时，2x+1=0，解得：x= - ，
2
1 1
故答案为（ ，2）或（- ，，0）；
2 2
（2）函数可以表示为：y=|k|x-3，
如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，当x=3时，y=|k|x-3=3|k|-3=0，k=±1，
k＞0，取k=1
当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，
同理k=3，
故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，
即：1＜k＜3．
【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到新定义、直线与图象的交点等，其中（2），要注意分类求解，
避免遗漏．
【考点15 一次函数的规律探究】
【例15】（2022·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，
B．已知点A 是点A关于y轴的对称点，作直线A B，过点A 作x轴的垂线l❑ 交直线AB于点B❑ ，点A
1 1 1 1 1 2
是点A关于直线l❑ 的对称点，作直线A B❑ ，过点A 作x轴的垂线l ，交直线AB于点B ，点A 是点A
1 2 1 2 2 2 3
关于l
2
的对称点，作直线A
3
B
2
……继续这样操作下去，可作直线A
n
B
n
❑
﹣1
（n为正整数，且n≥1）
(1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ．
②求出点B❑ ，A 的坐标，并求出直线A B的函数关系式；
1 2 2
(2)根据操作规律，可知点A 的坐标为 ．可得直线A B ❑ 的函数关系式为 ．
n n n ﹣1
(3)求△A ❑ A B ❑ 的面积．
n ﹣1 n n ﹣1
【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B❑ (1，2)，A (3，0)，y=-x+3
1 2(2)2n﹣1，y=-2x+2n
❑
+1-2
(3)22n
❑
-3
【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标；
②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点A 的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到B （1，4）．
1 1
再求出点A关于直线l 的对称点A 的坐标(3，0)．设直线A B 的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把B ，A 的
1 2 2 1 1 2
坐标代入，利用待定系数法即可求出直线A B 的函数关系式；
2 1
（2）先求出点A关于l 的对称点A 的坐标(7，0)．由A 、A 、A 的坐标规律可得点A 的横坐标为2n-1．
2 3 1 2 3 n
再求出B ❑ 的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线A B ❑ 的函数关系式；
n ﹣1 n n ﹣1
（3）由A (2n﹣1，0)，B ❑ (2n ❑ ﹣1﹣1，2n)，可得
n n ﹣1
A A ❑ =2n ❑ ﹣1，A ❑ B ❑ =2n ❑ ﹣1 ，再利用三角形面积公式求出即可．
n n ﹣1 n ﹣1 n ﹣1
（1）
①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B，
∴A(1，0)，B(0，1)，
故答案为：(-1，0)，(0，1)；
②∵A(-1，0)，B(0，1)，
∴点A关于y轴的对称点A 是(1，0)．
1
当x=1时，y=2，
∴B❑ (1，2)．
1
点A关于直线l 的对称点A 是(3，0)．
1 2
设直线A B 的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，
2 1
∴¿，解得¿，
∴直线A B 的函数关系式是y=-x+3；
2 1
（2）
∵A(﹣1，0)，A (3，0)．
2
由题意过点A 作x轴的垂线l ，点A 是点A关于l 的对称点得，
2 2 3 2
∴A (7，0)．
3
由A (1，0)，A (3，0)，A (7，0)，
1 2 3
可得点A 的坐标为(2n﹣1，0)，
n直线A B ❑ 的函数关系式为y=-x+2n-1．
n n ﹣1
故答案为：2n-1，y=-2x+2n+1-2；
（3）
∵A (2n﹣1，0)，B ❑ (2n ❑ ﹣1﹣1，2n ❑ ﹣1)，
n n ﹣1
∴A A ❑ =(2n-1)-(2n ❑ ﹣1-1)=2n-2n ❑ ﹣1=2n ❑ ﹣1，A ❑ B ❑ =2n ❑ ﹣1，
n n ﹣1 n ﹣1 n ﹣1
∴△A ❑ A B ❑ 的面积= 1 ×(2n ❑ ﹣1) 2 =22n ❑ ﹣3 ．
n ﹣1 n n ﹣1 2
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质．
1
【变式15-1】（2022·山东济南·八年级期末）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣ x和点P（1，
2
0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，过点P 作y轴的平
1 1 2 2
行线交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，…，按此作法进行下去，则点P 的横坐
3 3 4 2020
标为（ ）
A．21009 B．﹣21009 C．21010 D．﹣21010
【答案】C
【分析】点P(1,0)，P 在直线y=x上，得到P (1,1)，求得P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，得到P (-2,1)，
1 1 2 1 2
即P 的横坐标为-2=-21，同理，P 的横坐标为-2=-21，P 的横坐标为4=22，P =22 ，P =-23 ，
2 3 4 5 6
P =-23 ，P =24…，求得P =22n ，于是得到结论．
7 8 4n
【详解】解：∵点P(1,0)，P 在直线y=x上，
1∴P (1,1)，
1
∵P P //x轴，
1 2
∴P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，
2 1
1
∵P 在直线y=- x上，
2 2
1
∴1=- x，
2
∴x=-2，
∴P (-2,1)，即P 的横坐标为-2=-21，
2 2
同理，P 的横坐标为-2=-21，P 的横坐标为4=22，P =22 ，P =-23 ，P =-23 ，P =24…，
3 4 5 6 7 8
∴P =22n ，
4n
1
∴P 2020 的横坐标为 22 ×2020 =21010，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．
【变式15-2】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期末）如图，过点A（1，0）作x轴的垂线，交直
1
线y＝2x于点B；点A 与点O关于直线AB 对称；过点A（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；
1 2 1 1 2 2
点A 与点O关于直线AB 对称；过点A（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；…，按此规律作下
3 2 2 3 3
去，则B 的坐标为________．
100
【答案】（299，2100）
【分析】先根据题意求出A 点的坐标，再根据A 点的坐标求出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点
2 2 2
B 的坐标．
100
【详解】解：∵点A 坐标为（1，0），
1
∴OA ＝1，
1过点A 作x轴的垂线交直线于点B ，可知B 点的坐标为（1，2），
1 1 1
∵点A 与点O关于直线AB 对称，
2 1 1
∴OA ＝A B ＝1，
1 1 2
∴OA ＝1+1＝2，
2
∴点A 的坐标为（2，0），B 的坐标为（2，4），
2 2
∵点A 与点O关于直线A B 对称．故点A 的坐标为（4，0），B 的坐标为（4，8），
3 2 2 3 3
依此类推便可求出点A 的坐标为（2n-1，0），点Bn的坐标为（2n-1，2n），
n
∴点B 的坐标为（299，2100）．
100
故答案为：（299，2100）．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题关键在于掌握一次函数图象上点的
坐标满足其解析式．
【变式15-3】（2022·辽宁·本溪市实验中学九年级阶段练习）如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y
轴交于点A ，以OA 为边向右构造正方形OA B C ，使点C 落在x轴上，延长C B 交直线l于点A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2
再以C A 为边向右构造正方形C A B C ，使点C 落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则B B
1 2 1 2 2 2 2 1 2021
所在直线的解析式为 _____．
1 1
【答案】y= x+
2 2
【分析】根据一次函数的解析式分别求出A 、A 等点的坐标，继而得知B 、B 等点的坐标，从中找出规
1 2 1 2
律，进而可求出点B 的坐标，进而用待定系数法求出所求解析式．
2021
【详解】解：把x＝0代入直线y＝x+1，
得y＝1，A （0，1），
1
点B 的坐标是（1，1），
1
把x＝1代入直线y＝x+1，
得y＝2，A （1，2），
2
点B 的坐标是（3，2），
2
同理可得：点B 的坐标是（7，4）；
3……
由以上得出规律是B 的坐标为(2n-1，2n-1)，
n
∴B 的坐标为(22021-1，22020)，
2021
设B B 所在直线的解析式为y＝kx+b，
1 2021
得¿，
解得 ¿，
1 1
∴B B 所在直线的解析式为y= x+ ．
1 2021 2 2
1 1
故答案为：y= x+ ．
2 2
【点睛】本题考查了正方形的性质、一次函数的性质及待定系数法求一次函数解析式等知识，解此题的关
键是分别计算一次函数中的点的坐标从而得出规律．
