文档内容
第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
(精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
① 上恒成立（优选 法）
② 上恒成立（优选 法）
③ 上恒成立（优选分离变量法）
④ 上恒成立（优选分离变量法）
⑤已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）
高频考点五：一元二次不等式的应用
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）（精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、二次函数
（1）形式：形如 的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数 的图象与 轴交点的横坐标是方程 的实根.
②当 且 ( )时，恒有 ( )；当 且 ( )时，恒有 (
).
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3. 或 型不等式的解集
解集
不等式
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数
的图象
有两相等实数根
一元二次方程 有两相异实数根 ，
没有实数根
的根
( )
一元二次不等式
的解集一元二次不等式
的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，关于x的不等式 的解集为 ，则
.___________（判断对错）
二、单选题
1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式 的解集为 ，则a，b的值是
（ ）
A． ， B． ， C．6，3 D．3，6
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西西安·高二期末（文））若关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东珠海·高一期末）已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是
（ ）
A． B．2 C．22 D．
5．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
1．（2022·河北·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
{ | 1 }
3．（2022·河南·信阳高中高一期末（理））设集合 ，N= x∈Z x2− x−5≤0 ，则
2
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南南阳·高二期末（文））不等式 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南洛阳·高二期末（文））不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；
如： ，最高项系数为 讨论时，从 开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如 两根分别为： ， ，讨论时从 开始讨论
③根是否在定义域内：
如 此时两根 ， ，讨论时注意 （舍去）
1．（2022·北京·清华附中高一期末）求下列关于 的不等式的解集：
2．（2022·河北唐山·高一期末）已知关于x的不等式： ．
(1)当 时，解此不等式；
(2)当 时，解此不等式．
3．（2022·福建·莆田第二十五中学高一期末）解关于 的不等式 .
4．（2022·全国·高三专题练习）解关于 的不等式： .高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
1．（2021·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期中）若不等式 的解集为[-1，2]，则
=（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．（2021·四川省南充高级中学高二开学考试（理））已知不等式 的解集为 ，
则 ___________.
3．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）若函数 的两个零点是2和3，则不等式
的解集为________ ．
4．（2022·上海闵行·高一期末）已知 、 ，关于 的不等式 的解集为 ，则
___________.
5．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知a为常数，若关于x的不等式 的解集为 ，则
______．
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
① 上恒成立
二次型+ （范围）优选 法（注意最高项系数含参数，从 0 开始讨
论）
1．（2022·福建宁德·高一期末） 不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，“ 对 恒成立”的一个充要条件是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）若不等式 对任意 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）A． 或 B． C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）若不等式 对任意 均成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·河北省尚义县第一中学高一期中）若命题 为真命题，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D． 或
② 上恒成立
二次型+ （范围）优选 法（注意最高项系数含参数，从 0 开始讨
论）
1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））如果“ ，使 .”是真命题，那
么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知命题“ ， ”是真命题，
则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． ）D．
3．（2022·江苏南通·高一期末）若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
4．（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“ ”是真命题，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·天津·耀华中学高一期中）若命题“ ，使得不等式 ”成立，则实数
的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
③ 上恒成立（优选分离变量法）1．（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于 的不等式 在 上恒成立，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
3．（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则有
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）已知函数 ，若 在 上恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的 恒成立，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·甘肃张掖·高一期末）设函数 ．
(1)若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集；
(2)当 时， 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
7．（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）已知函数 （a∈R）.(1)若关于x的不等式 <0的解集为（1，b），求a和b的值;
(2)若对任意x∈ ， 恒成立，求实数a的取值范围.
④ 上恒成立（优选分离变量法）
1．（2021·河南信阳·高二期中（理））若关于 的不等式 在 有解，则 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·安徽·池州市第一中学高一期中）若关于x的不等式 在 上有解则实数m的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·高二期中（理））已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山西·大同一中高一期中）若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中）若关于x的不等式 在区间 上有解，则
实数m的取值范围是__________．
6．（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）已知不等式 有解，则实数 的取值范围为
__________.
7．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知函数 ；
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；(2)存在 使得 成立，求实数 的取值范围.
⑤已知参数 ，求 取值范围（变更主元法）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，不等式 恒成立，则 的取值范围
为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D．
2．（2022·全国·高三专题练习）不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）对任意的 ，函数 的值总大于0，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江西吉安·高一期中）若不等式 对任意 成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
高频考点五：一元二次不等式的应用
1．（2021·全国·高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售
价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元
以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北·石家庄一中高一阶段练习）某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为
（即每销售100元征税 元），若年销售量为 万件，要使附加税不少于128万元，则 的取
值范围是（ ）A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖
出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以
上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）一服装厂生产某种风衣，日产量为 件时，售价为 元/件，每天
的总成本为 元，且 ， ，要使获得的日利润不少于1300元，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的
关系为 ，生产 件所需成本为 （元），其中 元，若要求每天获利不少于1300
元，则日销售量 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
第五部分：高考真题感悟
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集
是（ ）
A． B．
B．C． D．
2．（2019·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)
3．（2017·天津·高考真题（理））已知函数 设 ，若关于x的不等式
在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2019·天津·高考真题（文）） 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.
5．（2018·天津·高考真题（文））已知 ，函数 若对任意x∈［–3，+
），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是__________．
第六部分：第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
（精练）
一、单选题
1．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））若不等式 的解集为 ，则 的值分
别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2022·江苏南通·高三阶段练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）不等式 对一切 恒成立，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南焦作·高二期末（理））若存在 ，使得不等式 成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·高一阶段练习）已知关于 的不等式 的解集为
，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
6．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知关于 的不等式 的解集为 或
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式 的解集为
C． D．不等式 的解集为
7．（2022·江苏南京·高一期末）已知 ，关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·重庆八中高一期末）关于 的不等式 恰有2个整数解，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·上海金山·高一期末）若关于x的不等式 的解集为R，则实数m的取值范围是
______.
10．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x的不等式 的解集为A，集合
，若 ，则实数a的取值范围为___________.
11．（2022·河南驻马店·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为： ，
表示不超过x的最大整数，如 ， ，[2]=2，则关于x的不等式 的解集为
__________.12．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
其中 ，则 的最小值是___________.
三、解答题
13．（2022·河南濮阳·高二开学考试（理））已知关于 的函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集.
(2)当 时，求不等式 的解集.
14．（2022·湖南·高一课时练习）若不等式 的解集是 ，求不等式 的
解集．
15．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
16．（2022·广西·高二期末（文））已知二次函数 ， .
(1)若 ，求函数 的最小值；
(2)若 ，解关于x的不等式 .
