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专题 22.3 动点的函数图象问题
◆ 思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学
问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象
的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
◆ 典例分析
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G
分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A
方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边
作Rt△PMN，点N在AB上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与
t之间的函数关系图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，
0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两
段，用排除法解决．
【解题过程】
解：分析平移过程，
①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，
过点M作MT⊥BC于点T，
∵∠B=60°，CD⊥AB，
1
∴BC=2BD=4，CD=❑√3BD=2❑√3，BT= BM=t，
2
∵∠ACB=90°，MP∥BC，
∴∠ACB=∠MPA=90°，
∴四边形CTMP为矩形，
∴PM=CT=BC−BT=4−t，
∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，
PM 4−t
∴MN= = ，
2 2
3t
∴DN=MN−MD=MN−BD+BM= ，
2
∵E为CD中点，
CD
∴DE= =❑√3，
2
3❑√3t
∴S=DE⋅DN= ，
2
∴S与t的函数关系是正比例函数；
②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，
3 3❑√3t
由①可得QN=ED=❑√3，DM=2−2t，DN= t，S = ，
2 矩形EDNQ 2
∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，
∴SD=❑√3MD=2❑√3−2❑√3t，
∴ES=ED−SD=2❑√3t−❑√3，ES
∴ER= =2t−1，
❑√3
3❑√3t 1 7❑√3t ❑√3
∴S=S −S = − (2❑√3t−❑√3)(2t−1)=−2❑√3t2+ − ，
矩形EDNQ △ERS 2 2 2 2
此函数图象是开口向下的二次函数；
③当1<t≤2，即从点M与点D重合至点M到达终点，如图，
3 4−t
由①可得DN= t，MN= ，
2 2
1
∵AD=❑√3CD=6， DG= AD=3，
2
3
∴NG=DG−DN=3− t，
2
3
∴QF=NG=3− t，
2
QF ❑√3
∴PQ= =❑√3− t，
❑√3 2
PQ 1
∴HQ= =1− t，
❑√3 2
( 1 4−t)
1− t+ ×❑√3
∴ (HQ+MN)×QN 2 2 ❑√3 3❑√3，
S= = =− t+
2 2 2 2
∴S与t的函数关系是一次函数，
综上，只有选项A的图象符合，
故选：A．
◆ 学霸必刷
1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm，动点M自点A出发沿AB方
向以每秒1cm的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线AD－DC－CB以每秒2cm的速度运
动，到达点B时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反
映y与x之间的函数关系的是（ ）A． B． C． D．
2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=2❑√2，P为BC边上
一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S = y，则能表示y与x之间的函数关系的图象
△BPQ
大致是（ ）
A． B．C． D．
3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC和△≝¿均为边长为4的等边三角形，点A从点D运动到点
的过程中， 和 相交于点 ， 和 相交于点 ， 为纵坐标 ，点 移动的距离
E AB DF G AC EF H (S +S ) y A
△BGF △FCH
为横坐标x，则y与x关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，AC与BD交于点O，M
是BC的中点．P、Q两点沿着B→C→D方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，
当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图象
最接近的是（ ）A． B． C． D．
5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开
始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这
两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函
数关系的图像大致是（ ）A． B． C． D．
6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC中，∠B=60°，点D从点B出发，沿BC运动，速度为
1cm/s．点P在折线BAC上，且PD⊥BC于点D．点D运动2s时，点P与点A重合．△PBD的面积
与运动时间 的函数关系图象如图2所示，E是函数图象的最高点．当 取最大值时， 的
S(cm2) t(s) S(cm2) PD
长为（ ）
A． B． C． D．
2❑√3cm (1+❑√3)cm (1+2❑√3)cm (2+2❑√3)cm
7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，CD⊥AD，∠BCD=90°, AB=BC=4
，动点P，Q同时从A点出发，点Q以每秒2个单位长度沿折线A−B−C向终点C运动；点P以每秒1个单
位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，
△APQ的面积为y个平方单位，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，
CD=❑√2，D为AC上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速
运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，
当点P由点C运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时
刻 对应的正方形DPEF的面积均相等，当 时，则正方形 的面积为
t ，t ，t (t <t <t ) t =5t DPEF
1 2 3 1 2 3 3 1
（ ）
34
A．3 B． C．4 D．5
9
9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点
O为AC中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图
像大致为（ ）A． B．
C． D．
10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，点D和点E分别是AB
和AC的中点，点M和点N分别从点A和点E出发，沿着A→C→B方向运动，运动速度都是1个单位/
秒，当点N到达点B时，两点间时停止运动．设△DMN的面积为S，运动时间为t，则S与t之间的函数图
象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A、B、C、D分别是菱形的四个顶点，
∠A=60°．现有两个机器人(看成点)分别从A，C两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C和C→D→A．若移动时间为t，两个机器人之间距离为d．则 d²与t之间的函数关
系用图象表示大致为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭
头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记
为S，则S关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将
△BCD沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B C D ，设△B C D 与△ABD重叠部分的面积
1 1 1 1 1 1
为y，平移距离为x，当点B 与点A重合时，△B C D 停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的
1 1 1 1
是（ ）A． B．
C． D．
14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以
3cm/s的速度沿着边BC−CD−DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速
度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y
关于x的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，
顶点B、C在x轴的正半轴上， ， ．点M在菱形的边 和 上运动（不与点A，C
D(2,❑√3) P(−1,−1) AD DC
重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点
A(2,0) B(0,2❑√3)
，点 从点 出发沿 路线以每秒1个单位的速度运动，点 从点 出发沿
C(−3,❑√3) P O O→A→B Q O
O→C→B路线以每秒❑√3个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，
运动时间为t秒，则正确表达y与t的关系图象是（ ）A． B．
C． D．
17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝
30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E
重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间
函数关系的图象是（ ）
A． B．C． D．
18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出
发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是
1cm/秒，设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如图（2）（曲线
OM为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）
A．AB:AD=4:5 B．当t=2.5秒时，PQ=❑√5
29 BQ 5 47
C．当t= 时， = D．当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是❑√10或 秒
4 PQ 3 5
19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC
，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交
射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点
E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象
是（ ）A． B． C． D．
20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为4，且点A与原
点O重合，边AD在x轴上，点B的横坐标为−2，现将菱形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右平
移，设平移时间为t（秒），菱形ABCD位于y轴右侧部分的面积为S，则S关于t的函数图像大致为
（ ）
A． B．
C． D．
