专题 22.8 二次函数中的三大类型新定义问题
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题
的理解！
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍
点．若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是
（ ）
A．-5<c<4 B．0<c<1 C．-5<c<1 D．0<c<4
2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为
“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数
的二次项系数是（ ）
1 1
A． B． C．1 D．﹣1
2 4
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，
n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点
P（2，5）的限变点是P′（2，1），点P（-2，3）的限变点是P′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函
1 1 2 2
数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．-2≤n'≤2 B．1≤n'≤3 C．1≤n'≤2 D．-2≤n'≤3
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是
横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点(1,2)、(-2.5,-5)……都是“青竹点”．显然，函数y=x2的图
象上有两个“青竹点”：(0,0)和(2,4)．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①y=2x-1________； ②y=-x2+1________； ③y=x2+2________．
1
(2)若抛物线y=- x2-m+1（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
2
1
(3)若函数y= x2+(b-c+2)x+a+c-3的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当-1≤b≤2时，a的最
4小值为c，求c的值．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交
点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x2-2x-5．
1
(1)函数y= x2-2x+3的友好同轴二次函数为 ．
4
(2)当 时，函数 的友好同轴二次函数有最大值为 ，
-1≤x≤4 y=(1-a)x2-2(1-a)x+3 (a≠0且a≠1) 5
求a的值．
1
(3)已知点(m,p),(m,q)分别在二次函数y =ax2+4ax+c(a> 且a≠1）及其友好同轴二次函数y 的
1 2 2
图像上，比较p,q的大小，并说明理由．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此
抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，
求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大
值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线 与抛物线 ．同时满足
y =a (x+h) 2+k y =a (x+h) 2+k
1 1 1 2 2 2
1
a =-4a 且k =- k ，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
2 1 2 4 1
1
(1)已知抛物线y =- x2+bx+c与y =x2-2x-3是一对共轭抛物线，求y 的解析式；
1 4 2 1
(2)如图1，将一副边长为4√2的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立
平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y ，经过A、B、C的抛物线为y ，请立接写出y 、y 的
1 2 1 2
解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线 与 轴交于点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) x A(x ,0)
1
，那么我们把线段 叫做雅礼弦， 两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长．
B(x ,0) AB AB l
2
(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长；
(2)求抛物线 的雅礼弦长的取值范围；
y=x2+(n+1)x-1(1≤n<3)
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4-mt)x-4mt的雅礼弦长为l ，抛物线
1
的雅礼弦长为 ， ，试求出 与 之间的函数关系式，若不论 为何值， 恒
y=-x2+(t-n)x+nt l s=l2-l2 s t t s≥0
2 1 2
成立，求m，n的值．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）与y=ax2+bx+c（a≠0）满足a+a=0，b=b，c+c=0，则称这两个函数互为“旋转
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a=1，b=-3，c=-2，根据a+a=0，b=b，c+c=0，求出a，
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2
b，c，就能确定这个函数的“旋转函数”．
2 2
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
4
(2)若函数y=-x2+ mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
3
1
(3)已知函数y= (x-1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点
2
A、B、C关于原点的对称点分别是A，B，C ，试证明经过点A，B，C 的二次函数与函数
1 1 1 1 1 11
y= (x-1)(x+4)互为“旋转函数”
2
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c（a≠0，b≠0）称为一对“亲密函
数”，如y=5x2-3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2．
任务：
（1）写出二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”：______；
（2）二次函数y=x2+3x-4的图像与x轴交点的横坐标为1和-4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的
横坐标为______，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2-4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函
数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，请利用（2）中的结论直接写出
二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋
b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为常数，
且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2-3x+a+1，那么二次函数y=ax2-3x+a+1
的“本源函数”是 ．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函
数的不动点．例如，点(1,1)是函数y=-2x+3的不动点．已知二次函数y=x2+2(b+2)x+b2（b是实数）．
(1)若点(-1,-1)是该二次函数的一个不动点，求b的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数 与函数 ，定义“和函数” ．
y =2kx+k y =x2-2x+3 y= y + y
1 2 1 2
(1)若k=2，则“和函数”y= ；
(2)若“和函数”y为y=x2+bx-2，则k= ，b= ；
(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=-x上，求k．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，
只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 ，对两点
xOy A(x ,y )
1 1
和 ，用以下方式定义两点间距离： ．
B(x ,y ) d(A,B)=|x -x |+|y - y |
2 2 1 2 1 2(1)①已知点A(-2,1)，则d(O,A)=______．
②函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3，求点B的坐标．
(2)函数y=x2-5x+7(x≥0)的图象如图②所示，D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐
标．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数
y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2-3x+5的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的
“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，-4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
√3
(2)将“特征数”是【0，- ，-1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是
3
______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-√3分别交于D、C两点，
在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；
1
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b，b2+ 】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取
2值范围．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，
它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数y=x-1，它的相关函数为y=¿
(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上时，求a的值．
1 5
(2)已知二次函数y=-x2+4x- ．当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
2 2
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与
图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．
1
(1)若直线y=-x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=-x+b不是双曲线y= 的“双联图
x
形”，求实数b的取值范围；
(2)如图2，已知 ， ， 三点．若二次函数 的图象与 互为“双联
A(-2,0) B(4,0) C(1,3) y=a(x+1) 2+3 △ABC
图形”，直接写出a的取值范围．
8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）
的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称
为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象
与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝ ；（用含c的式子表示）
②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意
的函数值y，都满足-M≤ y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个
函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
(1)直接写出有界函数y=2x+1(-4<x≤2)的边界值；
(2)已知函数y=2x2+bx+c(m≤x≤n,m<n)是有界函数，且边界值为3，直接写出n-m的最大值；
(3)将函数y=2x2(-1≤x≤k,k≥0)的图象向下平移k个单位，得到的函数的边界值是t，直接写出k的取值
3
范围，使得 ≤t≤2．
2
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则
把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”y=x+1，其“明德点”为（1，
2）．
(1)①判断：函数y=2x+3 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数y=x2的图像上的明德点是 ___________；
1
(2)若抛物线y=(m-1)x2+mx+ m上有两个“明德点”，求m的取值范围；
4n k
(3)若函数y=x2+(m-k+2)x+ - 的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当-1≤m≤3时，n的最小
4 2
值为k，求k的值．
【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为
“互异二次函数”．如图，在正方形 中，点 ，点 ，则互异二次函数 与
OABC A(0,2) C(2,0) y=(x-m) 2-m
正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
5-√17 5+√17
A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
2 2
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称
抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．
1 2
（1）请写出抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐
1 2
标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作
x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，
连接BC、CC'、B'C'、BB'．
①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的
点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P(a,b)和抛
物线y=x2+ax+b，我们称P(a,b)是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点P(a,b)的
相伴抛物线．如图，已知点A(-2,-2)，B(4,-2)，C(1,4)．
（1）点A的相伴抛物线的解析式为______；过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为______；
（2）设点 P(a,b)在直线AC上运动：
①点P(a,b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式．
②当点P(a,b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．
4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线 与x轴交于A，B
y=ax2+bx+c(a≠0)
两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边
是另一边 倍，则称点P为抛物线 的“好”点．
2√2 y=ax2+bx+c(a≠0)
（1）命题：P(0，3)是抛物线y=-x2+2x+3的“好”点．该命题是_____（ 真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C: 与 轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，
y=ax2+bx(a<0) x
求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S =S P的Q点(异于点P)的坐标．
△ABQ △AB
5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c
（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其
2√3 4√3
“梦想三角形”．已知抛物线y=- x2- x+2√3与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B
3 3
的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将 ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若
AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点△M的坐标．
△
6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，
则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点
C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重
合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将 OAB沿AC方向移动到 O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），
△ △
3
O'A'B'与 OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝ 时点A'的坐标．
8
△ △
7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y
与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G
的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和
y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形
DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图
象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．
8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，
连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
1 3
如图3，二次函数y= x2– x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否
2 2
存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物
线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F 都是抛物线F 的过顶抛物线，设F 的顶点为A，F 的对称轴分别交F、F 于点D、B，
2 1 1 2 1 2
点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
2
1 2 7
（3）如果抛物线y= x2- x+ 的过顶抛物线是F，四边形ABCD的面积为 2√3，请直接写出点B的
2
3 3 3坐标．
10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直
线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝ax2+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的
顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，
BD
对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝ ．
AC
（1）图①是抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标 ，点B坐标 ，
惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形 ，|D|为 ．
（2）如果抛物线y＝m ﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．
(x-1) 2
（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为
16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．
