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专题 22.8 二次函数中的三大类型新定义问题
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二次函数中的三大类型新定义问题
的理解！
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍
点．若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1 且a≠1）及其友好同轴二次函数y 的
1 2 2
图像上，比较p,q的大小，并说明理由．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此
抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，
求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大
值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线 与抛物线 ．同时满足
y =a (x+h) 2+k y =a (x+h) 2+k
1 1 1 2 2 2
1
a =-4a 且k =- k ，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
2 1 2 4 1
1
(1)已知抛物线y =- x2+bx+c与y =x2-2x-3是一对共轭抛物线，求y 的解析式；
1 4 2 1
(2)如图1，将一副边长为4√2的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立
平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y ，经过A、B、C的抛物线为y ，请立接写出y 、y 的
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解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线 与 轴交于点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) x A(x ,0)
1
，那么我们把线段 叫做雅礼弦， 两点之间的距离 称为抛物线的雅礼弦长．
B(x ,0) AB AB l
2
(1)求抛物线y=x2-2x-3的雅礼弦长；
(2)求抛物线 的雅礼弦长的取值范围；
y=x2+(n+1)x-1(1≤n<3)
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4-mt)x-4mt的雅礼弦长为l ，抛物线
1
的雅礼弦长为 ， ，试求出 与 之间的函数关系式，若不论 为何值， 恒
y=-x2+(t-n)x+nt l s=l2-l2 s t t s≥0
2 1 2
成立，求m，n的值．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）与y=ax2+bx+c（a≠0）满足a+a=0，b=b，c+c=0，则称这两个函数互为“旋转
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函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a=1，b=-3，c=-2，根据a+a=0，b=b，c+c=0，求出a，
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2
b，c，就能确定这个函数的“旋转函数”．
2 2
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
4
(2)若函数y=-x2+ mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
3
1
(3)已知函数y= (x-1)(x+4)的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点
2
A、B、C关于原点的对称点分别是A，B，C ，试证明经过点A，B，C 的二次函数与函数
1 1 1 1 1 11
y= (x-1)(x+4)互为“旋转函数”
2
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为x的二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c（a≠0，b≠0）称为一对“亲密函
数”，如y=5x2-3x+2的“亲密函数”是y=5x2+3x+2．
任务：
（1）写出二次函数y=x2+3x-4的“亲密函数”：______；
（2）二次函数y=x2+3x-4的图像与x轴交点的横坐标为1和-4，它的“亲密函数”的图像与x轴交点的
横坐标为______，猜想二次函数y=ax2+bx+c（b2-4ac>0）的图像与x轴交点的横坐标与其“亲密函
数”的图像与x轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数y=x2+bx-2021的图像与x轴交点的横坐标为1和-2021，请利用（2）中的结论直接写出
二次函数y=4x2-2bx-2021的图像与x轴交点的横坐标．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数y=ax2+(a+b)x+b叫做一次函数y＝ax＋
b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数y=ax2+(a+b)x+b的“本源函数”（a，b为常数，
且a≠0）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是y=ax2-3x+a+1，那么二次函数y=ax2-3x+a+1
的“本源函数”是 ．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函
数的不动点．例如，点(1,1)是函数y=-2x+3的不动点．已知二次函数y=x2+2(b+2)x+b2（b是实数）．
(1)若点(-1,-1)是该二次函数的一个不动点，求b的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求b的取值范围．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数 与函数 ，定义“和函数” ．
y =2kx+k y =x2-2x+3 y= y + y
1 2 1 2
(1)若k=2，则“和函数”y= ；
(2)若“和函数”y为y=x2+bx-2，则k= ，b= ；
(3)若该“和函数”y的顶点在直线y=-x上，求k．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，
只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 ，对两点
xOy A(x ,y )
1 1
和 ，用以下方式定义两点间距离： ．
B(x ,y ) d(A,B)=|x -x |+|y - y |
2 2 1 2 1 2(1)①已知点A(-2,1)，则d(O,A)=______．
②函数y=-2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3，求点B的坐标．
(2)函数y=x2-5x+7(x≥0)的图象如图②所示，D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐
标．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【a，b，c】为函数
y=ax2+bx+c的“特征数”，如：函数y=2x2-3x+5的“特征数”是【2，-3，5】，函数y=x+2的
“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，-4，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
√3
(2)将“特征数”是【0，- ，-1】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是
3
______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与y轴交于A、B两点，与直线x=-√3分别交于D、C两点，
在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、B、C、D四点为顶点的四边形的面积；
1
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，-2b，b2+ 】的函数图像有交点，求满足条件的实数b的取
2值范围．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，
它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数y=x-1，它的相关函数为y=¿
(1)已知点A（-2，1）在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上时，求a的值．
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(2)已知二次函数y=-x2+4x- ．当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
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7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形M与图形N有且只有两个公共点，则称图形M与
图形N互为“双联图形”，即图形M是图形N的“双联图形”，图形N是图形M的“双联图形”．
1
(1)若直线y=-x+b与抛物线y=x2+1互为“双联图形”，且直线y=-x+b不是双曲线y= 的“双联图
x
形”，求实数b的取值范围；
(2)如图2，已知 ， ， 三点．若二次函数 的图象与 互为“双联
A(-2,0) B(4,0) C(1,3) y=a(x+1) 2+3 △ABC
图形”，直接写出a的取值范围．
8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）
的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称
为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 ；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象
与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝ ；（用含c的式子表示）
②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意
的函数值y，都满足-M≤ y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个
函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
(1)直接写出有界函数y=2x+1(-4
