文档内容
专题 22 图形的相似（3 个知识点 5 种题型 3 个易错点 1 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.相似图形的定义
知识点2.四条线段成比例（拓展）
知识点3.相似多边形（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.利用比例的性质求值
题型2.运用比例尺解题
题型3.相似多边形性质的运用
题型4.相似多边形的判定
题型5.与相似图形有关的阅读理解题
【方法三】差异对比法
易错点1.判定两个图形相似的条件不充分
易错点2.求线段的比时，线段的长度单位不统一
易错点3.找错相似多边形的对应边
【方法四】 仿真实战法
考法：相似多边形的性质
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 能通过生活中的实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比，会求两个相似多边形的相似比。
2. 了解线段的比和成比例线段，会判断四条线段是否成比例。
3. 会根据相似多边形的概念识别两个多边形是否相似，并会运用相似多边形的性质进行相关的计算。
4. 在学习相似图形的过程中，加强对相似图形中对应关系的认识，进一步提高严谨的数学推理能力。【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.相似图形的定义
图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2.全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3.判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【例1】（2023·安徽合肥·九年级校联考期中）下面各组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）下列各组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2.四条线段成比例（拓展）
成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1.若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
2.四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3.判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第
二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
【例2】（2023·辽宁沈阳·九年级统考期中）下列长度的各组线段中，是比例线段的是（ ）A．3，6，8，9 B．3，5，6，9 C．3，6，7，9 D．3，6，9，18
【变式】（2023·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知线段 、 、 、 是成比例线段，
其中 ， ， ，则 的值为 ．
知识点3.相似多边形（重点）
相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【例3】（2023·河南周口·九年级统考期中）如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角
三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则
两个图形对应边不成比例的一组是（ ）
A． B． C． D．
【变式】（2023·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相
似的是（ ）
A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙
【方法二】实例探索法
题型1.利用比例的性质求值
1.（2023·四川成都·九年级校考期中）已知 ， ，那么 ．
题型2.运用比例尺解题
2.（2023·四川眉山·七年级统考期中）比例尺是 的地图上，图上3厘米表示实际距离
千米．
题型3.相似多边形性质的运用
3．（2023·安徽安庆·九年级校联考期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求 的值．
题型4.相似多边形的判定
4．（2023上北京通州·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．任意两个矩形一定相似 B．任意两个菱形一定相似
C．任意两个等腰直角三角形一定相似 D．任意两个平行四边形一定相似
题型5.与相似图形有关的阅读理解题
5．（1）观察下列式子：
， ， ， …
发现：对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填
“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：
由（1）猜想分式 和 （其中， ， ）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到 左右，显示这个比值越大采光条件越好，
如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为 宽为 的矩形（ ），四周都增加 ，所得大矩形与原来的矩形相似吗？
____________（直接填“是”或“否”）
【方法三】差异对比法
易错点1.判定两个图形相似的条件不充分
1．（2023下·江苏南京·九年级统考期中）某同学的眼睛到黑板的距离是 ，课本上的文字大小为
．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板
上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．
易错点2.求线段的比时，线段的长度单位不统一
2．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）在比例尺为 的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘
米，则其实际距离为 米．
易错点3.找错相似多边形的对应边
3．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 的边 上任取一点O（不与点A、B
重合）连接 、 ，分别取 的中点 、 、 、 ，连接 、 、 ，四
边形 与四边形 相似吗？为什么？【方法四】 仿真实战法
考法：相似多边形的性质
1．（2023·山东·统考中考真题）如图，四边形 是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使
边落在 边上，点 落在点 处，折痕为 ；使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为 ．
若矩形 与原矩形 相似， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2. “？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅．
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB A′B′，AD A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC
与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、
c、d应满足什么条件？请说明理由．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023·山西长治·九年级统考期中）若 ，则 的值为( )
A． B．3 C．4 D．
2．（2023·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段 ， ， ， 是成比例线段，其中
， ， ，则 的值是（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
3．（2023·山西长治·九年级统考期中）在设计人体雕像时，如果使雕像上部（腰部以上）与雕像下部（腰
部以下）的高度比等于雕像下部与雕像全部的高度比，那么就可以增加视觉美感．若按此比例设计一座如
图所示的高度为 的雷锋雕像，则该雕像上部的高度（结果精确到 ；参考数据： ，
， ）约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）已知 ，则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．5．（2023·陕西西安·九年级统考期中）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）如图，已知直线 ，直线m分别交直线a，b，c于点A，
B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2023·江苏苏州·九年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图， ， ，
，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．（2021下·全国·九年级专题练习）“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应
用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为 的黄金分
割点 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是（ ）A． B．
C． D．
9．（2023·山西长治·九年级统考期中）如图， ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A，
C，F和点B，D，E．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）已知 ，点 在线段 上， 是 ，
的比例中项，则 的长（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·四川成都·九年级石室中学校联考期中）若 ，则
．
12．（2023·辽宁阜新·九年级统考期中）若 ，则 ．
13．若 （ 均不为0），那么 ．
14．（2023·河南周口·九年级统考期中）如图， 与 相交于点 ，点 在线段 上，且
，若 ， ， ，则 的值为 .15．（2023·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知线段b是线段a，c的比例中项， ， ，那
么 cm．
16．（2023·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值等于 ．
17．（2023·广东深圳·九年级校联考期中）若 ，则 ．
18．（2023·福建莆田·九年级校考期中） 是线段 上一点（ ），则满足 ，则称点 是
线段 的黄金分割点．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，
为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为 ，则 的长度为 ．
三、解答题
19．（2023·湖南永州·九年级校联考阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618
时，越给人美感．数学老师身高为160 ，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，
请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少 ？(结果保留整数)．
20．（2023·安徽合肥·九年级校联考期中）已知 ， ， 是a，b的比例中项，求c的值；21．（2023·陕西西安·九年级统考期中）已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
22．（2023·浙江·九年级校联考期中）已知实数x，y，z满足 ，试求 的值．
23．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）如果 ，且 ，求 的值．24．（2023·江西鹰潭·九年级统考期中）（1）解方程： ．
（2）如图，把一张矩形纸片平均分成3个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，求原矩形纸片的宽与长之
比．
25．（2023·北京西城·九年级北京师大附中校考期中）在 中， ， ，
P是线段 上的动点（不与点B，C重合），将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ．
(1)如图1，当 ，且点D在线段 上时，求证 ；(2)如图2，点D在 内部，过点D作 的垂线，与直线 交于点Q．
①请根据题意，将图形补充完整；
②判断 与 的数量关系，并证明．
26．（2023·福建漳州·九年级校联考期中）如图1，在矩形 中， ， ，点 ， 分别为
， 的中点．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)如图2，点 是边 上一点，点 关于 的对称点为点 ．
①当点 落在线段 上时，求 的度数；
