文档内容
专题 22 图形的相似（3 个知识点 5 种题型 3 个易错点 1 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.相似图形的定义
知识点2.四条线段成比例（拓展）
知识点3.相似多边形（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.利用比例的性质求值
题型2.运用比例尺解题
题型3.相似多边形性质的运用
题型4.相似多边形的判定
题型5.与相似图形有关的阅读理解题
【方法三】差异对比法
易错点1.判定两个图形相似的条件不充分
易错点2.求线段的比时，线段的长度单位不统一
易错点3.找错相似多边形的对应边
【方法四】 仿真实战法
考法：相似多边形的性质
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 能通过生活中的实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比，会求两个相似多边形的相似比。
2. 了解线段的比和成比例线段，会判断四条线段是否成比例。
3. 会根据相似多边形的概念识别两个多边形是否相似，并会运用相似多边形的性质进行相关的计算。
4. 在学习相似图形的过程中，加强对相似图形中对应关系的认识，进一步提高严谨的数学推理能力。【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.相似图形的定义
图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1.两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2.全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3.判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【例1】（2023·安徽合肥·九年级校联考期中）下面各组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似图形的识别，根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相
同，依据定义即可解决．
【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意；
B、两个图形相似，故不符合题意;
C、五角星和六角星不相似，故符合题意；
D、所有的圆都相似，故不符合题意，
故选：C．
【变式】（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）下列各组图形中，是相似图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是相似形的定义，掌握相似性的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相
似形”是解题的关键．
【详解】解：A、C、D中图形不是相似图形，B中的图形是相似图形，
故选B．
知识点2.四条线段成比例（拓展）
成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1.若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
2.四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3.判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第
二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
【例2】（2023·辽宁沈阳·九年级统考期中）下列长度的各组线段中，是比例线段的是（ ）
A．3，6，8，9 B．3，5，6，9 C．3，6，7，9 D．3，6，9，18
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段．分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段
的定义进行判断．
【详解】解：A、∵ ，∴3，6，8，9不能构成比例线段，不符合题意；
B、∵ ，∴3，5，6，9不能构成比例线段，不符合题意；
C、∵ ，∴3，6，7，9不能构成比例线段，不符合题意；
D、∵ ，∴3，6，9，18能构成比例线段，符合题意；
故选：D．
【变式】（2023·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知线段 、 、 、 是成比例线段，
其中 ， ， ，则 的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了成比例线段的定义，由 、 、 、 是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即
可．
【详解】解：∵线段 、 、 、 是成比例线段，其中 ，
∴ ，∴ ．
故答案为：6．
知识点3.相似多边形（重点）
相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【例3】（2023·河南周口·九年级统考期中）如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角
三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则
两个图形对应边不成比例的一组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边
成比例，即可判断．
【详解】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
A中菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形
故选：D．
【变式】（2023·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相
似的是（ ）
A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙
【答案】D
【分析】本题主要考查相似多边形的判定，根据图形得到对应边的比值，进而问题可求解．
【详解】解：甲图矩形的长宽之比为 ，乙图矩形的长宽之比为 ，丙图矩形的长宽之
比为 ，∴甲与丙是相似矩形；
故选D．
【方法二】实例探索法
题型1.利用比例的性质求值
1.（2023·四川成都·九年级校考期中）已知 ， ，那么 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了比例的基本性质．由已知 ，得： ， ， ,代入化
简即可求得答案.
【详解】解：由已知 ，得：
， ， ，
∴
.
故答案是：4.
题型2.运用比例尺解题
2.（2023·四川眉山·七年级统考期中）比例尺是 的地图上，图上3厘米表示实际距离
千米．
【答案】450
【分析】本题考查了比例尺的意义的灵活应用，根据比例尺=图上距离：实际距离求解即可，计算时注意
单位的统一．
【详解】解： （厘米），
45000000厘米 千米，
故答案为：450．题型3.相似多边形性质的运用
3．（2023·安徽安庆·九年级校联考期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩
形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求 的值．
【答案】
【分析】此题考查了相似多边形的性质，设 ， ，则 ， ，根据
相似多边形的性质得到 ，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边
成比例，对应角相等．
【详解】设 ， ，则 ， ，
由相似图形的性质得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ．
题型4.相似多边形的判定
4．（2023上北京通州·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．任意两个矩形一定相似 B．任意两个菱形一定相似
C．任意两个等腰直角三角形一定相似 D．任意两个平行四边形一定相似
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确选项．
【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似；
B、两个菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；C、两个等腰直角三角形对应角相等，且对应边的比也相等，故一定相似；
D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，故不一定相似．
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似图形及相似多边形的判定，注意相似图形的对应角相等，对应边的比相等．
题型5.与相似图形有关的阅读理解题
5．（1）观察下列式子：
， ， ， …
发现：对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填
“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：
由（1）猜想分式 和 （其中， ， ）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到 左右，显示这个比值越大采光条件越好，
如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：
如图所示，一个长为 宽为 的矩形（ ），四周都增加 ，所得大矩形与原来的矩形相似吗？
____________（直接填“是”或“否”）
【答案】（1）变大；（2） ；（3）A；（4）否
【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；
（2）利用作差法比较 与 的大小，即可解答；
（3）设 ，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较 、 的大小解答；（4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可；
【详解】解：（1）∵ ， ， ， …
∴对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，
故填：变大；
（2）由（1）得： ＜ ，理由如下：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ＜0，
∴ ；
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：
设 ，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，
则 - ＜0，
∴ ＜ ，
∴ 采光条件变差，
故选A ；
（4）由（2）知： ，所得大矩形与原来的矩形不相似，
故填：否．
【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
【方法三】差异对比法
易错点1.判定两个图形相似的条件不充分1．（2023下·江苏南京·九年级统考期中）某同学的眼睛到黑板的距离是 ，课本上的文字大小为
．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板
上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．
【答案】
【分析】设 ，则老师在黑板上写的文字大小为 ，根据比例线段和相似图形的
性质，列出方程求解即可．
【详解】解：如图： ， ，令 ，
设 ，则老师在黑板上写的文字大小为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴老师在黑板上写的文字大小为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板
上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解．
易错点2.求线段的比时，线段的长度单位不统一
2．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）在比例尺为 的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘
米，则其实际距离为 米．
【答案】
【分析】根据比例尺的定义，即可解答．
【详解】解：设实际距离为x米，3厘米 米，
，
解得： ，
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，解题的关键是掌握比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位
的统一．
易错点3.找错相似多边形的对应边
3．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 的边 上任取一点O（不与点A、B
重合）连接 、 ，分别取 的中点 、 、 、 ，连接 、 、 ，四
边形 与四边形 相似吗？为什么？
【答案】四边形 四边形 ，见解析
【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案．
【详解】解：四边形 四边形 ，理由如下：
证明： 、 是 、 的中点，
， ，
，
同理 ，
，
，
， ，
同理 ，
， ，
四边形 四边形 ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三
角形中位线定理是解题的关键．
【方法四】 仿真实战法
考法：相似多边形的性质
1．（2023·山东·统考中考真题）如图，四边形 是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使
边落在 边上，点 落在点 处，折痕为 ；使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为 ．
若矩形 与原矩形 相似， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得 ，设 的长为x，则 ，再根据相似
多边形性质得出 ，即 ，求解即可．
【详解】解：，由折叠可得： ， ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
设 的长为x，则 ，
∵矩形 ，∴ ，
∵矩形 与原矩形 相似，
∴ ，即 ，
解得： （负值不符合题意，舍去）
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题
的关键．
2. “？”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅．
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”
结果为何正确呢？
(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB A′B′，AD A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC
与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、
c、d应满足什么条件？请说明理由．【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析．
【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条
件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可．
（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，然后利用比例的性质．
【详解】（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为ym，则长为2ym．
则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m．
∵ ，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1．
（2） ．理由如下：
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要 ，即 ，
即 ，
解得： ．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质，解题的关键是
熟练掌握一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质．
【方法五】 成果评定法一、单选题
1．（2023·山西长治·九年级统考期中）若 ，则 的值为( )
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质；利用比例的性质进行计算，即可解答．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：B．
2．（2023·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）已知线段 ， ， ， 是成比例线段，其中
， ， ，则 的值是（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了成比例线段．根据题意可得 ，再把 ， ， 代入，即可．
【详解】解：∵线段 ， ， ， 是成比例线段，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ．
故选：B
3．（2023·山西长治·九年级统考期中）在设计人体雕像时，如果使雕像上部（腰部以上）与雕像下部（腰
部以下）的高度比等于雕像下部与雕像全部的高度比，那么就可以增加视觉美感．若按此比例设计一座如
图所示的高度为 的雷锋雕像，则该雕像上部的高度（结果精确到 ；参考数据： ，， ）约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，设该雕像上部的高度为 ，则雕像下部的高度为 ，根据题意
列出方程 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该雕像上部的高度为 ，则雕像下部的高度为 ，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
∴该雕像上部的高度约为 ，
故选C．
4．（2023·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）已知 ，则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查比例性质，先把等积式化为比例式一一与各选项相比较即可得．掌握等式的变形性质，
化等积式为比例式是解题关键．【详解】解：A．∵ ，得 ，故选项A不成立；
B．∵ ，得 ，故选项B不成立；
C．∵ ，得 ，故选项C成立；
D．由 可知x、y可以为 ，故选项D不一定成立．
故选：C．
5．（2023·陕西西安·九年级统考期中）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，根据 得出 ， ， ，代入所求的式子即
可求出答案，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解： ，
， ， ，
，
故选：B．
6．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）如图，已知直线 ，直线m分别交直线a，b，c于点A，
B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若 ，则 （ ）A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
7．（2023·江苏苏州·九年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图， ， ，
，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式
解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
8．（2021下·全国·九年级专题练习）“黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应
用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为 的黄金分
割点 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义，可得 ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵P为 的黄金分割点 ， 的长度为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割，难度较小，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9．（2023·山西长治·九年级统考期中）如图， ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A，
C，F和点B，D，E．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得 ，由此即可得．
【详解】解： ， ，
，
，
故选：D．
10．（2023·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）已知 ，点 在线段 上， 是 ，
的比例中项，则 的长（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先设 ，由线段 ，可求得 的值，又由 是 与 的比例中项，列方程即可
求得线段 的长．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ 是 与 的比例中项，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
二、填空题
11．（2023·四川成都·九年级石室中学校联考期中）若 ，则
．
【答案】5【分析】本题考查了比例的性质．根据等比性质得到 ， ， ，即可得到答案．
【详解】解： ，
， ， ，
，
，
，
故答案为：5．
12．（2023·辽宁阜新·九年级统考期中）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的基本性质，把a，b换元成 ，再代入所求式子中求解是解
本题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴可设 ，
∴ ，
故答案为： ．
13．若 （ 均不为0），那么 ．
【答案】
【分析】此题主要考查比例的基本性质，解题的关键是依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之
积，即可得出答案．
【详解】解：因为 ，
则 ．故答案为： ．
14．（2023·河南周口·九年级统考期中）如图， 与 相交于点 ，点 在线段 上，且
，若 ， ， ，则 的值为 .
【答案】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
设 ，则 ，求出 ，再由 ，即可求出答案．
【详解】解：设 ，
，
，
，
解得 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．（2023·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知线段b是线段a，c的比例中项， ， ，那
么 cm．【答案】
【分析】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到 是解答的关键．根据线段的比例中
项定义求解即可．
【详解】解：∵线段b是线段a，c的比例中项，
∴ ，
又 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
16．（2023·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值等于 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查比例的性质，令 ， ，（ ）代入求值即可．
【详解】解：∵ ，令 ， ，（ ）
∴ ，
故答案为： ．
17．（2023·广东深圳·九年级校联考期中）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，根据 得出 ，将其代入进行计算即可得到答案，熟练掌握比
例的性质是解此题的关键．
【详解】解： ，
，，
故答案为： ．
18．（2023·福建莆田·九年级校考期中） 是线段 上一点（ ），则满足 ，则称点 是
线段 的黄金分割点．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，
为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为 ，则 的长度为 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义可知： ，由此求解即可；本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金
比是解题的关键．
【详解】解：设 的长度为x ，则 ，
由题意可得， ，
∴ ，
∴ （不合题意，舍去），
∴ （ ）
故答案为：
三、解答题
19．（2023·湖南永州·九年级校联考阶段练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160 ，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，
请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少 ？(结果保留整数)．
【答案】8
【分析】本题主要考查黄金分割的应用，先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义列方程求解．
【详解】解：设她应该穿的高跟鞋的高度大约是 ，
根据题意得： ，即 ，
∴ ，
解得：
答：她应该穿的高跟鞋的高度大约是8 ．
20．（2023·安徽合肥·九年级校联考期中）已知 ， ， 是a，b的比例中项，求c的值；
【答案】4
【分析】本题考查了比例线段，比例中项的定义，掌握若 ，则b是a、c比例中项是解决问题的
关键．
利用比例中项的定义得到 ，然后求出16的算术平方根即可．
【详解】解：∵c是a，b的比例中项，
∴ ，
而 ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
21．（2023·陕西西安·九年级统考期中）已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)4(2)
【分析】本题主要考查了比例的性质，通过 ，设出 是解题的关键．
（1）设 ，则 ，据此可得答案；
（2）设 ，由 得到 ，解方程求出 ，则
．
【详解】（1）解：∵ ，
∴可设
∴ ；
（2）∵ ，
∴可设 ，
∵
∴ ．
∴ ，
∴ ．
22．（2023·浙江·九年级校联考期中）已知实数x，y，z满足 ，试求 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了比例的性质，设 ，则 ，然后把所求式
子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案．【详解】解：设 ，
∴ ，
∴
．
23．（2023·安徽合肥·九年级校考期中）如果 ，且 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值以及比例的性质．令 ，得到关于k的方程求出k值，进一步代
入k值得到代数式的值．
【详解】解：令 ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ．
24．（2023·江西鹰潭·九年级统考期中）（1）解方程： ．
（2）如图，把一张矩形纸片平均分成3个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，求原矩形纸片的宽与长之
比．
【答案】（1） ， ；（2）【分析】本题主要考查了解一元二次方程，相似三角形的性质，对于（1），先整理确定公因式，再用因
式分解法求解即可；对于（2），根据小矩形和大矩形的长宽比相等列出等式，再求出答案．
【详解】（1）解： ，
， ；
（2）解：设原矩形 的长为 ，宽为y，
小矩形的长为 ，宽为 ，
小矩形与原矩形相似，
．
25．（2023·北京西城·九年级北京师大附中校考期中）在 中， ， ，
P是线段 上的动点（不与点B，C重合），将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ．
(1)如图1，当 ，且点D在线段 上时，求证 ；
(2)如图2，点D在 内部，过点D作 的垂线，与直线 交于点Q．
①请根据题意，将图形补充完整；
②判断 与 的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② ，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的
一半，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识．
（1）先根据三角形外角的性质得出 ，再由等角对等边可得结论；
（2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明 ，再根据
证明 得 ，得到 ，再根据平行线分线段成比例定理可得结论
【详解】（1） ， ，
.
.
（2）①如图所示.
② .
证明：连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD.
∵ ， ，
.
又 ， ，
.
，
，
∴，
.
26．（2023·福建漳州·九年级校联考期中）如图1，在矩形 中， ， ，点 ， 分别为
， 的中点．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)如图2，点 是边 上一点，点 关于 的对称点为点 ．
①当点 落在线段 上时，求 的度数；
②如图3，连接 交 于 点，连接 ，当 是等腰三角形时，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① 的度数为 ；② 的值为 或4或 ．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）①根据直角三角形斜边中线的性质证明 ，然后即可证明 ；
②分三种情形：当 时、当 时、当 时，分别求解即可解决问题．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形；
（2）解：①如图中，连接 ， ．四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
，
，
由翻折可知， ，
，
，
∵ ，
，
，
由题意可知： ，
，
的度数为 ；
②如图，当 时，连接 ，过点 作 于 交 于 ，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，，
，
，
由对称可知： ；
如图，当 时，连接 ， 交 于 ．
， ， ，
；
如图，当 时，
因为 是线段 的垂直平分线， 也是线段 的垂直平分线，所以， 与 重合，所以点 与
点 重合，
在矩形 中， ， ，
，
由对称可知： ，
，
，
；综上所述， 的值为 或4或 ．
