文档内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率
公式 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：相互独立事件的概率
题型二：条件概率
题型三：全概率公式的应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：相互独立事件
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件Ω、不可能事件∅与任意事件相互独立
性质2：如果事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立
则：P(AB)=P(A)P(B)，P(AB)=P(A)P(B)，P(AB)=P(A)P(B)
知识点二：条件概率
1、定义：一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生
的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则 ．
我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 ，则
① ；
②如果 和 是两个互斥事件，则 ；
③设 和 互为对立事件，则 ．④任何事件的条件概率都在0和1之间，即： .
知识点三：全概率公式
1、定义：一般地,设 , , 是一组两两互斥的事件, ,且 ，
,则对任意的事件 ,有 ,我们称此公式为全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件 的发生有各种可能的原因 （ ）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件 是由原因 所引起的，且事件 发生时， 必同时发生，则 与
有关，且等于其总和 .
“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率 ,或已知各原因 发生的概率
及在 发生的条件下 发生的概率 .通俗地说，事件 发生的可能性，就是其原因 发生
的可能性与已知在 发生的条件下事件 发生的可能性的乘积之和.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知 ， ，则 等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 .
故选：A.
2．（2022·山东济南·高二期末）已知事件A，B，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 , .
所以 .故选：A.
3．（2022·四川眉山·高二期末（理））为积极应对人口老龄化，2021年8月20日，全国人大常委会会议
表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女.若
已知某个家庭有3个小孩，且其中至少有1个男孩的条件下，则第三个孩子是女孩的概率为___________.
【答案】
【详解】3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，
设M={至少一个有男孩}，N={第三个孩子是女孩}，
，所以 ，
故答案为： .
4．（2022·北京通州·高二期末）有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加
工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一､二台车床加工的零件数分别占总数的40%，
60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是___________.
【答案】0.044##
【详解】该产品是次品的概率是 .
故答案为：0.044.
5．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，
4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率
是___________.
【答案】
【详解】由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：
故答案为：
6．（2022·江苏常州·高一期末）已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则
________.
【答案】0.12
【详解】由题意， ，
故答案为：0.12第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：相互独立事件的概率
典型例题
例题1．如果A、B是独立事件， 、 分别是 、 的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为A、B是独立事件， 、 分别是A、B的对立事件，所以 ，
， ，即ABD一定成立.
，即 不一定成立.
故选：C
例题2．甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则
原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为 ，
且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率___________．
【答案】
【详解】根据题意，第4次由甲射击分为4种情况：
甲连续射击3次且都击中；
第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有击中；
第1次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第3次没有击中；
第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击击中，
所以这件事的概率为 .
故答案为：
例题3．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，求两人
破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译；
(2)恰有一人能破译.【答案】(1) (2)
（1）记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.则根据题意两个人都破译
出密码的概率为
（2）恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙未破译出，乙破译出甲未破译出，即 ，∴
.
例题4．设 ､ 为两个随机事件，给出以下命题：
（1）若 ､ 为互斥事件，且 ， ，则 ；
（2）若 ， ， ，则 ､ 为相互独立事件；
（3）若 ， ， ，则 ､ 为相互独立事件；
（4）若 ， ， ，则 ､ 为相互独立事件；
（5）若 ， ， ，则 ､ 为相互独立事件；
其中正确命题的个数为___________.
【答案】3
【详解】若 为互斥事件，且 ， ，
则 ，故（1）错误；
若 ，
则由相互独立事件乘法公式知 为相互独立事件，故（2）正确；
若 ，
则 ，
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 为相互独立事件，故（3）正确；
若 ，
当 为相互独立事件时， ，故（4）错误；
若 ，则
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 为相互独立事件，故（5）正确.
故正确命题的个数为3.
故答案为：3.
例题5．某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和
填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得
分逐题累加．
(1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为 ， ， ．求他得分不低于10分的概率；
(2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为
止．已知小红做对每道选择题的概率均为 ，做对每道填空题的概率均为 ．
现有两种方案
方案一：依次做一道选择题两道填空题；
方案二：做三道填空题．
请你推荐一种合理的方式给小红．
【答案】(1)
(2)推荐方案二给小红
（1）记“他得分不低于10分”为事件 ，则
；
（2）记“方案一通过决赛”为事件 ， 则
，记“方案二通过决赛”为事件 ，则
，因为 ，所以推荐
方案二给小红．
同类题型归类练
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则
事件A发生的概率 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设条件可得, ,又 ,
解得 .
所以 .
故选：A.
2．已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （ ）
A．0.9 B．0.12 C．0.18 D．0.7
【答案】C
【详解】解：因为 ，所以 ，
又A，B是相互独立事件，且 ，
所以 ，
故选：C.
3．设M，N为两个随机事件，给出以下命题：①若M，N为互斥事件，且 ， ，则
；②若 ， ， ，则M，N为相互独立事件；③若
，， ， ，则M，N为相互独立事件；④若 ， ，
，则M，N为相互独立事件；⑤若 ， ， ，则M，N为相
互独立事件．其中正确命题的个数为______．
【答案】4
【详解】若 为互斥事件，且 ，
则 ，
故①正确；
若
则由相互独立事件乘法公式知 为相互独立事件，
故②正确；
若 ，
则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 为相互独立事件，
故③正确；
若 ，
当 为相互独立事件时，
故④错误；
若
则
由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 为相互独立事件，
故⑤正确.
故答案为：4.
4．一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．试分别判断（1）（2）中的A，
B是否为相互独立事件．
(1)“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二
次抽到黄球”记为事件B.
(2)“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二
次抽到黄球”记为事件B.
【答案】(1)A，B为相互独立事件；
(2)A，B不是相互独立事件.
(1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1, 2, 3，
所以样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)， (1,3)，(2,1)， (2,2)， (2,3)， (3,1)， (3,2)， (3,3)}，
1
又A＝{(1,1)， (1,2)， (1,3)}，B＝{(1,2)， (2,2)，(3,2)}，则P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ .又 ＝
{(1,2)}，则P( )＝ ，从而P( )＝P(A)P(B)．
因此，A，B为相互独立事件．
(2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，
所以样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)， (2,1)， (2,3)，(3,1)，(3,2)}，
2
又A＝{(1,2)， (1,3)}，B＝{(1,2)，(3,2)}，则P(A)＝ ＝ ， P(B)＝ ＝ .
又 ＝{(1,2)}，则P( )＝ ，此时P( )≠P(A)P(B)，
因此，A，B不是相互独立事件．
5．本届东京奥运会在8月6日结束了所有乒乓球比赛.我国选手发挥出色，继续卫冕男、女团体及单人比
赛冠军.为了在奥运赛场获得佳绩，赛前乒乓球队举办了封闭的系列赛，以此选拔本次参赛队员.现在共有名种子选手入选，为了提高选手们的抗压能力，系列赛的规则如下：
根据前期积分，将选手分成 组，每组 人.每组进行一局比赛，在这一局比赛中，一方连续发球 次后，
对方再连续发球 次，依次轮换，每次发球，胜方得 分，负方得 分.先获得 分者获胜.
获胜的 人进行循环赛，累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛
的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰，当一人被淘汰后，剩余的两人继
续比赛，直至其中一人被淘汰，另外一人最终获胜，比赛结束.
(1)设甲、乙在第一小组的比赛中，每次发球，发球方得 分的概率为 ，各次发球的胜负结果相互独立.
甲、乙的一局比赛中，甲先发球.求前 球结束时，甲、乙的比分为 比 的概率；
(2)现在马龙、许昕和樊振东进入循环赛.经抽签，马龙、许昕首先比赛，樊振东轮空，设每场比赛双方获胜
的概率都是二分之一，求需要进行第五场比赛的概率.
【答案】(1) (2)
（1）由题意可得，甲、乙比分为 比 ，则三次发球甲胜一次，乙胜两次，分为以下两种情况，
事件 ，甲发球时甲胜一次，其他两次乙胜， ，
事件 ，乙发球时甲胜一次，其他两次乙胜， ，
所以甲、乙比分为 比 的概率为 ；
（2）根据赛制，至少需要四场比赛，至多需要五常比赛，
比赛四场结束，共三种情况，
马龙连胜四场的概率为 ，许昕连胜四场的概率为 ，樊振东连胜三场的概率为 ，
故需要进行五常比赛的概率为 .
题型二：条件概率
典型例题
例题1．（2022·福建·莆田一中高二期末）设 ， 为两个事件，已知 ， ，
，则 （ ）
A．0.24 B．0.375 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【详解】由 ， ，得 ，
所以 .
故选：B
例题2．（2022·河南驻马店·高二期末（理））端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现
有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件 为“取到的两个为同一种馅”，事件 为“取到的两个均为豆沙馅”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事
件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以 ，
事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以 ，
所以 ，
故选：C
例题3．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）某地市场调查发现， 的人喜欢在网上购买家用小电器，
其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合
格率为 ，而在实体店购买的家用小电器的合格率为 .现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合
格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是__________.
【答案】
【详解】设A=“家用小电器不合格”，B=“家用小电器在网上购买的”，则
， ，故
故答案为：
例题4．（2022·广东云浮·高二期末）袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个黄球，每次从袋
子中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是
___________.
【答案】 ##0.5
【详解】记事件 第1次摸到红球 ，事件 第2次摸到红球 ，
第1次摸到红球的事件种数 ，
在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的事件种数 ，
则 .
故答案为： .
同类题型归类练1．（2022·重庆·高二阶段练习）从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的
条件下，都是男同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设“任选2名同学，都是男同学”的事件为 ，
设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为 ，
所以 ， ，
所以在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率为
.
故选：D.
2．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）记 为事件 的对立事件，且 ，
则 ___________.
【答案】 ##0.75
【详解】因为 ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）哈三中理学会组建甲、乙两个数学解题小组，两个小组独立开展
解题工作，已知某道竞赛题甲小组解题成功的概率为 ，乙小组解题成功的概率为 ．在解题成功的条件
下，乙小组解题失败的概率为__________．
【答案】 ##0.4
【详解】设事件A为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小组解题成功，
其概率为 ，
事件B为“乙小组解题失败”，则 ，所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为 ，
故答案为：
4．（2022·江苏苏州·高二期中）已知 是一个三位数，若 的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位
数字，则称 为递增数.已知 ，设事件A为“由 ， ， 组成一个三位数”，事件 为
“由 ， ， 组成的三位数为递增数”，则 ___________.
【答案】 ##0.1
【详解】解：先计算所有正整数的个数：有 个，即 （A） 个，
再计算递增数的个数：共有 个，即 个．
故 ．
故答案为： .
5．（2022·福建·漳州市第一外国语学校高二期末）先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､
4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“ 为偶数”，事件B为“x､y
中有偶数且 ”，则概率 ___________， ___________.
【答案】 ##0.5
【详解】解：若 为偶数，则 、 全为奇数或全为偶数，所以， ，
事件 为“ 为偶数且 、 中有偶数， ”，则 、 为两个不等的偶数，
所以， ，
因此， .
故答案为： ； .
题型三：全概率公式的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，
根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙
球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8．当乙球员参加比赛时．该球队这场比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64
【答案】C
【详解】设事件 表示“乙球员担当前锋”，事件 表示“乙球员担当中锋”，事件 表示“乙球员担当
后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则 ，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为 ．
故选：C．
例题2．（2022·河北石家庄·高二期末）某市场供应的电子产品中，来自甲厂的占 ，来自乙厂的占
.已知甲厂产品的合格率是 ，乙厂产品的合格率是 .若从该市场供应的电子产品中任意购买一
件电子产品，则该产品是合格品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 、 分别表示为买到的产品来自甲厂、来自乙厂， 表示买到的产品是合格品，
则 ， ， ， ，
所以 .
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二课时练习）“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志
愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失
一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件 表示丢失的一箱为 分别表示英语
书、数学书、语文书．由全概率公式得 ．
故选：A
例题4．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和
为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开
始掷，则第 次由甲掷的概率 ______（用含n的式子表示）．
【答案】
【详解】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为 ．“第 次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，第 次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第 次由甲掷”，这两个事件发生的概率
分别为 ， ，
故 （其中 ），
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
于是 ，即 ．
故答案为：
例题5．（2022·江苏宿迁·高二期末）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．
(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
【答案】(1) (2)
(1)解：依题意从 个球中取4个球有 中取法，
其中4个球中恰好有 个红球，即恰好有 个红球、 个白球，有 种取法，
所以4个球中恰好有2个红球的概率 ；
(2)解：记 为从乙袋中取出 个红球、 个白球， 为从乙袋中取出 个红球， 为从甲袋中取出 个红球，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以
同类题型归类练
1．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期末）已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个
白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】设事件 表示“选中甲袋”，事件 表示“选中乙袋”，事件 表示“取到红球”，
则 ， ， ， ，
则取到的球是红球的概率为： ．
故选：A．
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）袋中有5个红球，4个白球，今随机地从中取出一个球，记录颜色
后，将其放回袋中，并随之放入2个与之颜色相同的球，再从袋中第二次取出一球，则第二次取出的是白
球的概率为______.
【答案】
【详解】设事件 为“第一次抽到白球”，事件 为“第二次抽到白球”，
则 ，所以 ，
由题可得 ， ， ， ，
所以 .
故答案为： .
3．（2022·湖南师大附中高一期末）甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比
赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，
答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.
且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的
得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为 ，乙得5分的概率为 .
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
【答案】(1) (2)
(1)设 分别表示在一次比赛中甲得分的事件， 分别表示在一次比赛中乙得分的事件.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为 ，乙得5分的概率为 ，
所以 ，即 ，解得 .(2)由已知得 ，
，
，
，
设 为“6星队'在一次比赛中的总得分为5分"，
则 ，
则
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是 .
4．（2022·全国·高二课时练习）甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、
3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件 ， ， ， 分别表示从
甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B表示从乙箱中取出的球是红球，则 ______，
______．
【答案】 ##0.375
【详解】由题意知： ， ， ， ，
，同理： ， ， ，
由全概率公式可知： ．
故答案为： ，
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为
____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________【答案】
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则 .
故答案为： ； .
2．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如
下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1) 岁；(2) ；(3) ．
（1）平均年龄
（岁）．
（2）设 {一人患这种疾病的年龄在区间 }，所以
．
（3）设 “任选一人年龄位于区间[40,50)”， “从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得：
,则由条件概率公式可得从该地区中任选
一人，若此人的年龄位于区间 ，此人患这种疾病的概率为
．
