文档内容
第 06 讲 拓展一：平面向量的拓展应用
(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题
高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题
例题1．（2021·重庆第二外国语学校高三阶段练习）已知向量 ， ，则“ ”是“ ，
夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例题2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角是锐角，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·山东·淄博中学高一阶段练习）设 ， ，则 与 的夹角为钝角时，
的取值范围为___________.
题型归类练
1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知 ， ，且 与 的夹角 为锐角，
则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
2．（2022·广东茂名·高一期中）已知向量 ，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知 ，若 与 的夹角为钝角.则实
数 的取值范围为______________.
4．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设向量 ， 满足 ， ，且 ．若向量
与 的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________．
高频考点二：平面向量数量积的最值（或范围）问题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若点 是 所在平面内的一
点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知 是边长为2的正方形， 为平面 内一点，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2021·河北武强中学高一阶段练习）已知 是边长为1的正六边形 内或其边界上的
一点，则 的取值范围是________.
题型归类练
1．（2022·北京市第五十中学高一期中）如图，线段 ，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，
以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD， ，设O为原点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
2．（2021·云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）已知直角梯形
是 边上的一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）在矩形ABCD中，AB=2 ，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段
CD上的动点，则 的取值范围是（ ）
A．[2，14] B．[0，12]
C．[0，6] D．[2，8]
4．（2021·上海市延安中学高三期中）如图， 为 外接圆 上一个动点，若
，则 的最大值为__________.
高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，若
且 （ ， ），则 的最小值为
A．1 B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知单位向量 ， 满足 ，则 的最小
值为（ ）A． B． C． D．
例题3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知平面向量 ， ， ，若 ， ， ，
，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知 为等边三角形， ， 所在平面内的点 满足
， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·广州市第二中学高一阶段练习）如图，在等腰 中，已知
分别是边 的点，且 ，其中 且
，若线段 的中点分别为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·辅仁高中高一期中）已知向量 为单位向量，且 ，向量 与 共线，则
的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知向量 ， ， 满足：| + |=3， 且 ，则| －
|的取值范围是______．
高频考点四：平面向量与三角函数的结合
例题1．（多选）（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知 ，函数
，则下列选项正确的是（ ）A．函数 的值域为 ．
B．将函数 图像上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图像向左平移 个单位
长度，可得函数 的图像．
C．函数 是偶函数．
D．函数 在区间 内所有零点之和为 ．
例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量 ， ．
(1)当 时，求 的值；
(2)设函数 ，将 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像，求 在 的
值域．
例题3．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知向量 ， ，
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 在区间 上的值域为 ，求 的取值范围．
例题4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知 ， ，
．
(1)化简函数 的解析式，并求最小正周期；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．第二部分：高考真题感悟
1．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于
点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为_________．
4．（2019·浙江·高考真题）已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时，
的最小值是________；最大值是_______.
