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专题 24.17 隐形圆（4 大模型 6 类题型）（模型梳理与题型分类讲
解）
第一部分【模型梳理与题型目录】
隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但
实际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形
圆四大模型，供大家参考使用.
【模型1】 定点定长模型
【模型分析】（1）出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；（2）如图1，
若 OA=OB=OC，则 A、B、C 在以 O 为圆心，OA 为半径的圆上.由圆周角定理可得：
, , .
图1
【模型2】 90°圆周角模型
【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的
⊙O(不包含A、B两点)．
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．
图2应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。
【模型3】 定弦定角模型
【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．
如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧
（AB）上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的 大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当
°时，点C在优弧上运动；当 °时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；
当 °时，点C在劣弧上运动．
【模型4】 四点共圆模型
【模型分析】在四边形ABCD中，若
，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D
四点共圆.
图3
应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.
【题型1】 定点定长模型.......................................................3;【模型2】 90°圆周角模型....................................................3;
【题型3】 定弦定角模型.......................................................4；
【题型4】 四点共圆模型.......................................................5；
【题型5】直通中考...........................................................6；
【题型6】拓展延伸...........................................................7.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】 定点定长模型
【例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形 中， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在等边 中， ，D，E 分别是边
上的动点（不与 的顶点重合），连接 相交于点F，连接 ，若 ，则
的最小值为 ．
【变式2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在 中， ， ， ，
点D是其内部一动点，且 ，则C，D两点的最小距离为（ ）A．3 B．4 C． D．
【题型2】 90°圆周角模型
【例2】（2024·湖南娄底·一模）如图，正方形 的边长为 ，点 分别在 、 上，且
， 与 相交于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【变式1】（23-24九年级下·山东日照）如图，已知正方形 的边长为2，点F是正方形内一点，连
接 ，且 ，点E是 边上一动点，连接 ，则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）如图，E，F是正方形 的边 上两个动点，满
足 ．连接 交 于点G，连接 交 于点H．若正方形的边长为1，则线段 长度的最小
值是（ ）A． B． C． D．
【题型3】 定弦定角模型
【例3】（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的高，若 ， ，则
长的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式1】（20-21九年级上·浙江·期末）如图，点C是以 为直径的半圆上任意一点， ，D、E
分别是弧 ，弧 的中点， 交于点F，则 度， 的外接圆半径是
．
【变式2】（2021·安徽·二模）如图，直角 中， ， ，点 是
内部一动点，总满足∠APC=150°，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【题型4】 四点共圆模型
【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， ， ，点C在内部，且
，则四边形 面积的最大值为 ．
（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形 中， ，连接 ，点
F为边 上一点，连接 交 于点E， ， ， ，
若 ， ，则 的长为 ．
【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边三角形 中， 为 边上一动
点， ，垂足分别为 则 的最小值为 ．【变式2】（20-21九年级上·广东·阶段练习）一副直角三角板如图放置（ ），
， ， 交 于 ，则 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型5】直通中考
【例1】（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．
连接点A、B，过O作 于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
【例2】（2023·江苏·中考真题）在四边形 中， 为 内部的任
一条射线（ 不等于 ），点 关于 的对称点为 ，直线 与 交于点 ，连接 ，
则 面积的最大值是 ．【题型6】拓展延伸
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图， 在半径为 的 上， 为 上一动点，将射线 绕
逆时针旋转 交 于 ，取 的中点 ，求在 的运动过程中 的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，在正方形 中，点M，N分别为 上的动点，且
， 交于点E，点F为 的中点，点P为 上一个动点，连接 ，若 ，
则 的最小值为 ．
