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专题 24.5 点和圆、直线和圆的位置关系【九大题型】
【人教版】
【题型1 判断点和圆的位置关系】..........................................................................................................................1
【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】..............................................................................................................2
【题型3 判断直线和圆的位置关系】......................................................................................................................3
【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】.....................................................................................3
【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】.................................................................................4
【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】.............................................................................................5
【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】.........................................................................................6
【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】.................................................................................................7
【题型9 利用直线与圆的位置关系求最值】.........................................................................................................9
【知识点1 点和圆的位置关系】
1. 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
2. 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
【题型1 判断点和圆的位置关系】
【例1】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）在平面直角坐标xOy中，⊙O的半径为5，以下各点在
⊙O内的是（ ）
A．(-2,3) B．(3,-4) C．(-4,-5) D．(5,6)
【变式1-1】（2023春·吉林通化·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(2，4)、
C(4，2)．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D(3，-1)与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）．
【变式1-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程
x2-4x-5=0的一个根，则点P在（ ）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【变式1-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，△ABC中，
AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，DP=2，以点P为圆心6cm为半径
画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在⊙P外 B．点B在⊙P外
C．点C在⊙P外 D．点D在⊙P内
【题型2 根据点和圆的位置关系求半径】
【例2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）在同一平面上，⊙O外有一点P到圆上的最大距离是
8cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为 cm．
【变式2-1】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为
（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
【变式2-2】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知⊙O的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点A(2,0)在⊙O内，点P(2,2)在⊙O外，则r的取值范围是 ．
【变式2-3】（2023春·九年级单元测试）如图，矩形ABCD中AB=3，AD=4.作DE⊥AC于点E，作
AF⊥BD于点F．
(1)求AF、AE的长；
(2)若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A
的半径r的取值范围．
【知识点2 直线和圆的位置关系】
1. 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
2. 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示:
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交则d ＜ r； 直线l与⊙O相切则 d = r；直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。
【题型3 判断直线和圆的位置关系】
【例3】（2023春·九年级课时练习）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心，r为半径作
⊙A，
(1)当半径r为何值时，⊙A与直线BC相切；
(2)当半径r为何值时，⊙A与直线BD相切；
(3)当半径r的取值范围为何值时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离．
【变式3-1】（2023春·九年级课时练习）已知⊙O的半径是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根，圆心
O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【变式3-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知⊙O的直径为12，点O到直线l上一点的距离为2√10，
则直线l与⊙O的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过
O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，√2为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别
是什么？
【题型4 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】
【例4】（2023春·九年级课前预习）在平面直角坐标系中，以点A(4,3)为圆心、以R为半径作圆A与x轴
相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0<R<5 B．3<R<4 C．3<R<5 D．4<R<5
【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此
矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩
形ABCD的顶点A的坐标为(4,6)，顶点C、D在x轴上，且OC=OD．若矩形ABCD的“等距圆” ⊙P
始终在矩形内部（含边界），则⊙P的半径r的取值范围是 ．
【变式4-2】（2023春·上海徐汇·九年级统考期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，
AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的 O，与边AD只有一个公共点，则OC
的取值范围是（ ） ⊙
13 13 14 14
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC≤ D．4≤OC≤
3 3 3 3
【变式4-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与
⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）1 5 25
A． <r<4 B． <r<6 C．9<r< D．9<r<13
2 2 2
【题型5 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
【例5】（2023·河北唐山·统考一模）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，
且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【变式5-1】（2023春·全国·九年级专题练习）已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O
到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【变式5-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，
∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值
范围是（ ）
A．-√2 ≤ x ≤ √2 B．0 ≤ x ≤ √2
C．-1 ≤ x ≤ 1 D．x > √2
【变式5-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，⊙O的半径是3，点A在⊙O上，点P是⊙O所在
平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使l⊥PA．（1）点O到直线l距离的最大值为 ；
（2）若点M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．
【题型6 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】
【例6】（2023春·全国·九年级统考期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，斜边AB上的高为5cm，以点
C为圆心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式6-1】（2023春·九年级课时练习）在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，以A为圆心，
4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为 个．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC
＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【变式6-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在 ▱ABCD中，AB=4，BC=8，
∠ABC=60°．点P是射线BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O．
(1)当DC与△PAB的外接圆⊙O相切时，求⊙O的半径；
(2)直接写出⊙O与 ▱ABCD的边的公共点的个数及对应的BP长的取值范围．
【题型7 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例7】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半
径为1cm的⊙P的圆心在直线AB上，开始时，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（s）为 时，⊙P与直线CD相切．
【变式7-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期中）如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，
且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm
【变式7-2】（2023春·天津宝坻·九年级校联考期末）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为
1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系．
（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围
【变式7-3】（2023·天津·九年级统考期中）如图，∠APB=30°，圆心在PB上的⊙O的半径为1cm，
OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O与PA相切时，圆心O平移的距离为 cm．
【题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例8】（2010·四川南充·中考真题）如图，直线l ∥l ，⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B．点M和点N
1 2 1 2分别是l 和l 上的动点，MN沿l 和l 平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ）．
1 2 1 2
4√3
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=√3
3
C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l 和l 的距离为2
1 2
3
【变式8-1】（2023春·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，直线y= x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、
4
B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）．
（1）若EC=BC，求b的值；
（2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P
1
为圆心，作半径为 的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q
2
作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切．
【变式8-2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与
x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A．-1≤x≤1 B．-√2≤x≤√2 C．-√2<x<√2 D．0≤x≤√2
【变式8-3】（2023·河北·统考模拟预测）等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
（1）若 ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间 ABC的边与圆第一次相切？
（2）若△两个图形同时向右移动， ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度△为每秒1个单位，则经过多少
时间 ABC的边与圆第一次相切？△
（3）△若两个图形同时向右移动， ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时 ABC
的边长AB、BC都以每秒0.5个单△位沿BA、BC方向增大． ABC的边与圆第一次相切时，点B运动△了多
少距离？ △
【题型9 利用直线与圆的位置关系求最值】
【例9】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，M是边AB上一动
点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，
则△CDP的面积为 ；DP的最大值为 ．
【变式9-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，
0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为
【变式9-2】（2023·陕西·交大附中分校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8，⊙O的半径为√3．⊙O在△ABC内平移（⊙O可以沿边界移动），则点A到⊙O上的点的距离
最大值 ．
【变式9-3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，以边AB的中
点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC（包括端点）和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长
的最大值与最小值的差是 ．
