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专题 24.5 直线与圆的位置关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断点与圆的位置关系】..........................................................................................................................1
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】..................................................................................................................2
【题型3 判断直线和圆的位置关系】......................................................................................................................3
【题型4 由直线与圆的位置关系求半径】..............................................................................................................4
【题型5 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】.....................................................................................5
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】.....................................................................................................5
【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】..............................................................................................................6
【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】.........................................................................................7
【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】.................................................................................................8
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】.................................................................................9
知识点1：点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
2. 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
【题型1 判断点与圆的位置关系】
【例1】（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知⊙O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程
x2−2x+a=0不存在实数根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．无法确定
【变式1-1】（23-24九年级·重庆梁平·期末）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则
点A(1，2)与⊙O的位置关系为点A在 ．
【变式1-2】（23-24九年级·吉林通化·期末）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(2，4)、
C(4，2)．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D(3，−1)与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）．
【变式1-3】（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线
上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形PQMN；②利用尺规分别作PQ，PN的垂直平分线，
两直线交于点O．若以点O为圆心，OP长为半径画⊙O，则不一定在⊙O上的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】
【例2】（23-24九年级·浙江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=4,BC=7，点D在边BC
上，且BD=3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的
值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知⊙O半径为r，点P为⊙O内一点，OP=4，则r满足的
条件是（ ）
A．r=4 B．r>4 C．010 B．620 D．126.5cm
【变式5-2】（2024·天津滨海新·一模）⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，下
列结论正确的是（ ）
A．d>5 B．d<5 C．d=5 D．d=10
【变式5-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到
直线l的距离可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】
【例6】（23-24九年级·全国·期末）已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，斜边AB上的高为5cm，以点C为圆
心，4.8为半径的圆与该直线AB的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式6-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）已知⊙O的半径是一元二次方程x2−2x−3=0的一个根，
圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O有 个交点．
【变式6-2】（2024·广西梧州·一模）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与
⊙O的交点个数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式6-3】（23-24九年级·天津河北·期中）若直线l与圆心O的距离大于 O的半径，则直线l与 O的
交点个数为 ． ⊙ ⊙【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】
3
【例7】（2024·山东·一模）如图，已知直线y＝ x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，
4
1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则 PAB面积的最小值是（ ）
△
11 9
A．6 B． C．5 D．
2 2
【变式7-1】（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形BCDE中，BC=12，CD=8，以BC为直径作⊙O，
延长CB到点A，使BA=6，点Q是⊙O上的动点，线段AQ的中点为M，点P为DE上一动点．
（1）直线ED与⊙O的位置关系为 ；
（2）PC+PM的最小值为 ．
【变式7-2】（2024·江苏连云港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A
为圆心4为半径D圆上的一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最小值是 ．
【变式7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，
BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是 ．【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例8】（2024·河北·模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在
射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直
线CD相切时☉P运动的时间是（ ）
A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
【变式8-1】（2024·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为
(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是
．
【变式8-2】（2024九年级·浙江宁波·学业考试）如图，RtΔACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径
为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，∠BAD=60°，半径
为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，PA=1cm． 则动点P运动时间
（单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．
【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例9】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，⊙O半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l
交⊙O于A，B两点，AB=16cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的
距离为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．16cm
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知：直线y=kx(k≠0)经过点(3,−4).
（1）求k的值；
（2）将该直线向上平移m(m>0)个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原
点），试求m的取值范围.
【变式9-2】（2024·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦
AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式9-3】（2024·四川南充·中考真题）如图，直线l ∥l ，⊙O与l 和l 分别相切于点A和点B．点M和
1 2 1 2点N分别是l 和l 上的动点，MN沿l 和l 平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ）．
1 2 1 2
4❑√3
A．MN= B．若MN与⊙O相切，则AM=❑√3
3
C．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切D．l 和l 的距离为2
1 2
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】
【例10】（23-24九年级·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB=5，BC=3，
点P在边AB上运动以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP
的长度满足条件是 ．
【变式10-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，动点P从
点C出发，沿C→B→A→C运动，点P在运动过程中速度始终为1cm/s，以点C为圆心，线段CP长为
半径作圆，设点P的运动时间为t(s)，当⊙C与△ABC有3个交点时，此时t的值不可能是（ ）
A．2.4 B．3.6 C．6.6 D．9.6
【变式10-2】（2024·浙江杭州·一模）如图，直线l经过边长为10的正方形中心A，且与正方形的一组对
边平行，⊙B的圆心B在直线l上，半径为r，AB＝7，要使⊙B和正方形的边有2个公共点，那么r的取值
范围是 ．【变式10-3】（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，
在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么
它的半径r的取值范围是 ．
