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专题 24.5 解题技巧专题：圆中辅助线的作法之三大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 遇弦作弦心距或半径】....................................................................................................................1
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】..................................................................................................10
【类型三 遇切线连接圆心和切点】..............................................................................................................19
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图， 的半径为6cm， 是弦，
于点C，将劣弧 沿弦 折叠，交 于点D，若D是 的中点，则 的长为 ．
【变式训练】
1．（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）如图，将半径为 的圆形纸片折叠
后，劣弧中点 恰好与圆心 距离 ，则折痕 的长为 ．
2．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接 ，再作出 的垂直平分线，交 于点C，交弧
于点D，测出 ， 的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出 ， ，则轮子的
半径为 ．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在 中，已知 是直径， 为 上一点 不与 、 两点重
合），弦 过 点， ．
（1）若 ， ，则 的长为 ；
（2）当P点在 上运动时（保持 不变），则 ．
4．（2023秋·九年级课时练习）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为 ，隧道的水平宽 为
， 离地面的高度 ，拱顶最高处 离地面的高度 为 ，在拱顶的 ， 处安装照明
灯，且 ， 离地面的高度相等都等于 ，求 的长．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度 为 ，拱高 为 ，当洪水
泛滥到跨度只有 时，就要采取紧急措施．(1)求拱桥所在圆的半径；
(2)若某次洪水中，拱顶离水面只有 ，即 ，通过计算说明是否需要采取紧急措施．
6．（2023·全国·九年级专题练习）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于
运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省
赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝
肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中 ），已知跨度 ，拱高 ，则这条桥主桥拱的
半径是______ ；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽 ，拱顶P（抛物线顶点）距离水面 ，求
桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了 ，求此时两桥的水面宽度．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径，D是弦 延长线上一点， ，
的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证 ；
(2)若 的度数为 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆O，交 于点
D．若 ，则 的度数是 度．
2．（2023·山西运城·统考二模）如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则 的
度数是 ．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图， 是 的直径，C为 上一点，连接 ，过点O作
于点D，延长 交 于点E，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以 的边 为直径作 交 于 且 ，
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以 的边 为直径的 分别交 ， 于点 ，
，且点 是 的中点，连接 ．(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ， ，求线段 的长．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图， 为 的直径， ， 是 上不同于 ， 的两点，
过点 的切线垂直于 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，则 的长为__________．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 为 上一点，过点 的切线与 的延
长线交于点 ，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形 的顶点A， ， 在 上，过点 作 的切线交
的延长线于点 ，若 的半径为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A是 外一点， 分别与 相切于点B，C，点D
在 上．已知 ，则 的度数是 ．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 的直径， 是 的弦，过点 的切线交 的延长线
于点 ．若 ，则 的度数为 ．
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在 中， 是直径，弦 垂直 于点 ，过点
作 的切线，与 的延长线相交于点 ．若 ，则 等于 ．6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图， 为 的直径，半径 ， 的切线 交 的延长线于
点 ， 的弦 与 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，且 为 的中点，求 的半径长．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图， 是 的直径，点C在 上，
过点C作 的切线l，过点B作 于点D．
(1)求证： 平分 ；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1， 是 的直径，点C是 上一点（不与点A，B重合），连
接 ．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出 的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不
写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作 的切线，分别交 的延长线于点E，F．
①求证： ；
②过C作 于M， 交 于点N，若 ， ，求 的长．
