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专题24.7 弧、弦、圆心角（知识梳理与考点分类讲解）
弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角定义
如右图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
特别说明：
(1) 一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2) 注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
【考点一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【答案】B
【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．
解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；
C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；
D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，
圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．
【举一返三】
【变式1】下列命题中正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦相等 B．长度相等的弧是等弧C．弧是半圆 D．弦的垂直平分线必经过圆心
【答案】D
【分析】根据圆的相关定义，垂径定理逐项分析判断即可求解．
解：A. 同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故该选项不正确，不符合题意；
B. 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意；
C. 弧是圆的一部分，半圆是圆的一半，故该选项不正确，不符合题意；
D. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了圆的相关定义，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图， 是 的直径，弦 垂直 于点 ，连接 ， ， ， ，则下列结
论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
解：∵ 是 的直径，弦 垂直 于点 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
而 不一定成立，
故选：B．
【点拨】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题
的关键．
【考点二】弧、弦、圆心角➼➻求值
【例2】如图所示， 是 的一条弦， ，垂足为 ，交 于点C、D．
(1) 若 ，求 的度数；(2) 若 ， ，求 的半径长；
【答案】(1) ； (2)3
【分析】（1）根据垂径定理可得 ，从而可得 ，即可解答；
（2）根据垂径定理可得 ，然后设 的半径长为 ，再在 中，利用勾股定
理进行计算即可解答．
（1）解： 是 的一条弦， ，
，
，
的度数是 ；
（2）解： 是 的一条弦， ，
，
设 的半径长为 ，
在 中， ，
，
，
的半径长为3．
【点拨】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【举一返三】
【变式1】如图，已知圆O的弦 与直径 交于点 ，且 平分 ．
(1) 已知 ， ，求圆O的半径；
(2) 如果 ，求弦 所对的圆心角的度数．【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，先根据垂径定理得到
， ，在 中利用勾股定理得到 ，然后解方程即可；
（2）连接 ，如图，先利用 得到 ，即 ，再利用正弦的定义得到
，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算 即可．
（1）解：连接 ，如图，设 的半径为 ，则 ， ，
平分 ，
， ，
在 中， ，
解得 ，
即 的半径为 ；
（2）解：连接 ，如图，
，
，
即 ，
，，
在 中， ，
，
，
，
，
即弦 所对的圆心角的度数为 ．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
【变式2】如图，在 中， ， ，以点C为圆心， 为半径的圆交 于点D，
交 于点E，那么 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】连接 ，根据三角形内角和定理求出 的度数，根据等边对等角得出 的度数，
然后根据三角形外角的性质得出 的度数，则结果可得．
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的度数是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌
握相关知识点是解本题的关键．
【考点三】弧、弦、圆心角➼➻证明
【例3】如图 为圆O的直径， 为圆O的弦，C为O上一点， ， ，垂足为
D．
(1) 连接 ，判断 与 的位置关系，并证明；
(2) 若 ， ，求圆O的半径；
【答案】(1) ，证明见详解；(2)5
【分析】（1） ，理由如下：延长 交 于点 ，连接 ，再根据圆的基本性质及等腰
三角形的性质即可；
（2）由（1）中结论， ， ，先证明 ，再根据勾股定理即可．
（1）解： ，理由如下：
延长 交 于点 ，连接 ，
，，
；
（2）解：由（1）中结论， ，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，即 的半径为5．
【点拨】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利
用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
【举一返三】
【变式1】如图，在 中，弦 与弦 相交于点E，且 ．求证： ．
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
解：证明： ，，
，
即 ，
，
；
【点拨】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
【变式2】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若 为120°， 为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
【答案】（1）35°；（2）见分析
【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据
∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝
DE．
（1）解：连接AC．
∵弧AD为120°，弧BC为50°，
∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E
∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，
∴弧AB＝弧CD，
∴弧AC＝弧BD，∴∠ADC＝∠DAB，
∴AE＝DE．
【点拨】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．
【考点四】弧、弦、圆心角➼➻求圆弧的度数
【例4】如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．
【答案】（1） ；（2）13
【分析】（1）连接 ，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，
即可得到答案；
（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半
径．
解：（1）连接
∵∴
∴
∵
∴
（2）∵
∴
设 ，则
在 中，
∴
∴ 的半径长为13．
【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，
从而完成求解．
【举一返三】
【变式1】判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题
【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．
解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；
对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，
原命题为假命题；
对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命
题；
对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为 和
所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．
故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．【点拨】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
【变式2】如图，在半圆O中半径为 ， ， 与 交于点D
（1） ＝ ；
（2）当点D恰好为 的中点时， ＝ ．
【答案】 60°
【分析】（1）根据 ， ，得 ，所以 ，
由 为圆O的直径，得 ，所以 ；
（2）设 ，得 ， ， ，在 中，根据勾股定理得
，即可求出答案．
解：（1） , ，
，
，
，
为圆O的直径，
，
；
故答案为： ；
（2）设 ，
∵点D恰好为 的中点，
，
在 中， ，，
在 中，根据勾股定理得，
，
即 ，
解得 （舍去 ），
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题．
