文档内容
第 11 讲 抛物线
真题展示
2022 新高考一卷第 11 题
已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交 于
， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
【思路分析】对于 ，根据题意求得 的值，进而得到准线；对于 ，求出直线
方程，联立直线 与抛物线方程即可得出结论；对于 ，设过点 的直线方
程为 ，联立该直线与抛物线方程，由韦达定理得到两根之和及两根
之积，然后利用两点间的距离公式，结合基本不等式判断选项 ．
【解析】
【解法一】(基本不等式) 点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，选项 错误；
由于 ， ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得方程有两个相等的根 ，故直线 与抛
物线 相切，选项 正确；
根据对称性及选项 的分析，不妨设过点 的直线方程为 ，与抛物线
在第一象限交于 ， ， ， ，
联 立 ， 消 去 并 整 理 可 得 ， 则 ， ，
，
， 由 于 等 号 在
时才能取到，故等号不成立，选项 正确；
，选项
正确．
故选： ．
【解法二】 (参数方程)：将A点坐标代入抛物线 C的方程得2p=1，从而p= ，C的准线为y=− ，A错误；
直线 AB 的方程为 y=2x−1，代入抛物线 C 的方程得 =2x−1，即
−2x+1=0，判别式△=0，且 AB 不平行于抛物线的对称轴，故 AB 与抛物线 C 相
切，B正确；
设直线 PQ 的方程为 (t 为参数，α 为直线的倾斜角)，代入抛物
线C的方程得 +1=0,判别式△= ，即 ，
设 P、Q 对应的参数分别为 、 ，则 + = ， = ,∴|BP||BQ|= =
>5= ，D正确；
|OP|= = = ,
同理|OQ|= ，故|OP|×|OQ|=
= = = >2= .C正确。
【试题评价】本题考查抛物线方程的求解，直线与抛物线位置关系的综合运
用，同时还涉及了两点间的距离公式以及基本不等式的运用，考查运算求解
能力，属于中档题．
知识要点整理
一 抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点F.
3．准线：定直线l.
思考 抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?
答案 若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
知识点二 抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐 准线方标 程
y 2 ＝ 2 px ( p >0) x＝－
y 2 ＝－
x＝
2 px ( p >0)
x 2 ＝ 2 py ( p >0) y＝－
x 2 ＝－
y＝
2 py ( p >0)
二 抛物线的简单几何性质
标准方
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
程
图形
x≥0， y≥0，
范围 x≤0，y∈R y≤0，x∈R
y∈R x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐
F F F F
标
准线方
x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
顶点坐
O(0,0)
标
离心率 e＝1
通径长 2p三 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x的方程组解的个数，
即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 Δ＝0，直线与抛
物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1 个公共点．
四 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
五 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与它交于两点 A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
①y y ＝－p2，x x ＝；
1 2 1 2
②＝x ＋ x ＋ p；
1 2
③＋＝.
三年真题
1．设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点．若 ，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【详解】解：设点 的坐标分别为 ．
又 ，则 ， ，
．
由抛物线的定义可得： ， ，
故选：B
2．设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点， 与 轴正向的夹角为
，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示过 点做 轴，令 ，
因为 是抛物线 的焦点， 与 轴正向的夹角为 ，所以由抛物线的性质得 ，解得 ，
所以 ，
故选：B
3．双曲线 的左准线为l，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的准线为l，
焦点为 ； 与 的一个交点为M，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】
过 作准线 的垂线，垂足为 ，
由抛物线的定义可得 ，
设 ，则
，
故 ，故 ，又 ，
故 即 ，故 ，故 ，
故选：A.
4．若双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】抛物线 的准线为 ，
由 ，得 ，则 ，得 ，
因为双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：A
5．双曲线 离心率为2,有一个焦点与抛物线 的焦点重合,则mn的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解:由题知,双曲线离心率为2,即
,抛物线 的焦点为 ,
,
.
故选:A
6．如果抛物线 的准线方程是 ，那么这条抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】抛物线 可由抛物线 向左平移一个单位长度得到，
因为抛物线 的准线方程是 ，
可得抛物线 的准线方程是 ，且焦点坐标为 ，
那么抛物线 的焦点坐标为 ．
故选：C．
7．焦点在 ，顶点在 的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，因为顶点 是抛物线上的点，故将 代入可得 ，故A错误；
对于B，同理，将 代入得 ，故B错误；
对于C，易知 的图像是由 的图像向右平移一个单位得到的，而 的焦点为 ，
向右平移一个单位后，焦点为 ，显然不满足题意，故C错误；对于D，易知 的图像是由 的图像向右平移一个单位得到的，而 的焦点为
，顶点为 ，向右平移一个单位后，焦点为 ，顶点为 ，满足题意，故D正确.
故选：D.
8．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】抛物线 的准线方程是 ，即 .
故选：B.
9．方程 的两根可分别作为（ ）
A．一椭圆和一双曲线的离心率 B．两抛物线的离心率
C．一椭圆和一抛物线的离心率 D．两椭圆的离心率
【答案】A
【详解】设 的两根为 ，则 ，
可得 ，
∵椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ，
故方程 的两根可分别作为一椭圆和一双曲线的离心率.
故选：A.
10．曲线 关于直线 对称的曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设曲线 关于直线 对称的曲线为 ，
在曲线 上任取一点 ，则 关于直线 对称的点为
因为 在曲线 上，
所以 ，即
故选:C.
11．已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线
的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
12．设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （ ）A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
13．已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲
线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
14．抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
15．设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作 于 ，则线
段 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【详解】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， ，
所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B.
16．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（
）
A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
三年模拟
一、单选题
1．若双曲线 的实轴的两个端点与抛物线 的焦点是一个直角三角形的顶点，则
该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，抛物线的焦点为 ，双曲线的实轴端点为
由题得 ， ，所以 ，
所以
所以
故选：B
2．已知O为坐标原点，点 在抛物线C： 上，过点 的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为 ；②直线AB与抛物线C相切；③ ；④
，以上结论中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】将点 代入抛物线方程，可得 ，故抛物线C的准线为 ，①错误；
抛物线C方程为 ，令 ， ，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因
此直线AB与抛物线C相切，②正确；
由题可知 ，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为 ，交点 ， ，联
立方程 ，整理可得：
，且 ，
因为 ，所以 ，③正确；
因为 ，所以
，所以 ，④错误
故选：B．
3．已知 是椭圆 与抛物线 的一个共同焦点， 与 相交于A，B两点，
则线段AB的长等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】椭圆 的右焦点坐标为 ，
则抛物线 的焦点坐标为 ，
则 ，则 ，抛物线
由 ，解得 或
则
故选：B
4．已知抛物线 的焦点为 为该抛物线上一点，且 （点
为坐标原点），则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【详解】当 时， ，解得 ，故 ，
， ， 其邻角的余弦值为 ，
所以 ，化简得 ，解得 （负舍）
故选：C.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，M是C上的一点，且以OM为
直径的圆经过点F，若点M到抛物线C的准线的距离为2，则 （ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接MF，因为以OM为直径的圆经过点 ，所以 ，由题意得 ，
即 ，
所以 ，由抛物线的定义得 ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
6．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为4，过 的直线与抛物线交于 两点， 为
线段 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为
B．当 ，则直线 的倾斜角为
C．若 ，则点 到 轴的距离为8
D．
【答案】AD【详解】对于A，易知 ，从而准线方程为 ，故A正确；
对于B，如图分别过
两点作准线 的垂线，垂足分别为 ，过 点作 的垂线，垂足为点 .
由于 ，不妨设 ，则 ，
由抛物线的定义易知： ， ，
在直角 中， ，
此时 的倾斜角为 ，
根据抛物线的对称性可知， 的倾斜角为 或 ，故B错误；
对于C，
点 ，
由抛物线的定义知， ，
所以有 ，
所以 到 轴距离 ，故C错误；
对于D，由抛物线定义知 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，故D正确；故选:AD.
7．已知点 ， ， ，抛物线 ．过点 的直线 与 交于 ，
两点，直线 分别与 交于另一点 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线 的斜率为
C．若 的面积为 （ 为坐标原点），则 与 的夹角为
D．若 为抛物线 上位于 轴上方的一点， ，则当 取最大值时， 的面积为2
【答案】ACD
B选项：设 ， 得直线 的方程为 直线 过点 得
，同理 即可解决；
C选项： 得 ，设 ， ，又
得 即可；
D选项：过 作 垂直抛物线 的准线 于点 ，由抛物线定义得 直线 与抛物线相切时， 最大，设直线 .得 即可.
【详解】A选项：易知 ， ，
所以直线 的方程为 ，（利用两点式求解直线 的方程）
因为直线 过点 ，
所以 ，A正确．
B选项：设 ， ，
所以直线 的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，
同理可得 ，
所以 ，故B错误．
C选项： ，（利用B选项中 ）
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 与 的夹角为 ，故C正确．
D选项：易知 为抛物线的焦点，过 作 垂直抛物线 的准线 于点 ，
如图由抛物线的定义知， ，即 ，
当 取最大值时， 取最小值，（正弦函数的单调性的应用）
即直线 与抛物线 相切．
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ，
此时 ，即 ，
所以 ，又点 在 轴上方，故 ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD
8．已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 ： 与抛物线 交于 两点，
若 ，且 ，则 的取值可以为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】AC【详解】设 ， ，
由题意可知：直线 ： 过定点 ，即抛物线 的焦点为 ，
所以 ， ，故抛物线的方程为 .
联立方程 ，消去 得 ，可得： ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ，
故 ，解得 或 ，故 或 .
故选：AC.
9．已知 为坐标原点，抛物线 ： （ ）的焦点 为 ，过点 的直线 交抛物线
于 ， 两点，点 为抛物线 上的动点，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的准线方程为
C．
D．当 时，点 到直线 的距离的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A、B，由抛物线的焦点 ，则 ，即 ，其准线方程为 ，
设点 到准线的距离为 ，则 ，设点 到准线的距离为 ，易知 ，如下图：
故A错误，B正确；
对于C，由题意可知，过点 的直线 可设为 ，代入抛物线 ，可得
，
设 ，则 ，
，
将 代入上式，可得
，故C正确；
对于D，由C可得直线 的方程为 ，可设直线 的方程为 ，
易知点 到直线 的距离等于两平行线 与 的距离 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 和 上单调递减，在 上单调递增，由当 时， ，当 时， ，则 ， ，可得 ，故D正确.
故选：BCD.
10．已知抛物线 的准线 与 轴相交于点 ，过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线
相交于 两点，且 两点在准线上的投影点分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 为定值 D．
【答案】ABD
【详解】对于A，因为抛物线 的准线 ，
所以 ，则 ，故A正确；
对于 ，抛物线 ，过焦点的直线为 ，则 ，
整理可得 ，设 ，
可得 ， ，
，
所以 ，当 时取等号，
最小值为4，所以 正确；
对于C， ，
所以所以 ，所以C不正确；
对于D， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
11．设 是抛物线 上一点， 是 的焦点， 在 的准线 上的射影为 ， 关于点 的对称
点为 ，曲线 在 处的切线与准线 交于点 ，直线 交直线 于点 ，则（ ）
A． 到 距离等于4 B．
C． 是等腰三角形 D． 的最小值为4
【答案】BCD
【详解】对于A，焦点到准线距离 ，A不正确.对于B，因为 ： 的准线为 ： ，焦点为 ，设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，（或由抛物线定义知 ，
所以 ，）故选项B正确；
对于C，因为 ，所以 处的切线斜率， ，而 ，所以 ，
从而 ，又 是线段 中点，所以 是线段 的中点，又 ，
所以 ，所以C正确.
对于D，因为 ，所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时，最小值为4，故选项D正确.
故选：BCD.
12．已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【答案】BCD
【详解】解：抛物线 ，即 ，
对于A，由抛物线方程知其焦点在 轴上，焦点为 ，故A错误；
对于B，依题意，直线 斜率存在，设其方程为 ，
由 ，消去 整理得 ， ， ，故B正确；
对于C，若 ，则直线 过焦点，
所以 ，
所以当 时 ，
的最小值为抛物线的通径长 ，故C正确；
对于D， ， ，即 点纵坐标为 ，
到 轴的距离为 ，故D正确.
故选：BCD.
13．过抛物线 的焦点为F的直线l与C相交于 两点，若 的最小
值为6，则（ ）
A．抛物线的方程为 B．MN的中点到准线的距离的最小值为4
C． D．当直线MN的倾斜角为 时，
【答案】AD
【详解】当斜率不存在时，即MN过抛物线的焦点，且垂直x轴，， ，
当斜率存在时，设直线MN的方程为 ，
联立直线与抛物线方程 ，可得 ①，
由韦达定理
由抛物线的定义，可得 ，
综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即MN过抛物线的焦点，且垂直x轴， 取得最小值，
的最小值为6， ，即 ，抛物线的方程为 ，故A选项正确，
易知，当 垂直于 轴时， 的中点到准线的距离最小， 的中点到准线的距离最小值为
，故B选项错误，
当斜率不存在时，两交点坐标为 ，故C选项错误，
当直线MN的倾斜角为 时，可得
将 ，代入①中，可得 ，解得两根为 ，
由抛物线得的定义可得 ，
，故D选项正确.
故选：AD.
14．抛物线 ，点 在其准线 上，过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点
（点 在第一象限），则下列说法正确的是（ ）
A．B． 有可能是钝角
C．当直线 的斜率为 时， 与 面积之比为3
D．当直线 与抛物线 只有一个公共点时，
【答案】ACD
【详解】解：对于A，由抛物线 可得准线方程为 ，
又点 在其准线 上，所以 ，解得 ，故A正确；
对于B，由A选项可得 ，且焦点 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 ， ，
则 整理得 ，
所以 ， ，
因为
所以
，
所以 ，因为 ，所以 为锐角；
当直线 的斜率不存在时，直线 ，
所以将 代入抛物线可得 ，则 ，
则 ，所以 ，此时 为直角，故B错误；
对于C， ， ，所以 ，
所以当 时， ， ，解得
，
所以 ，故C正确；
对于D，易得直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
所以由 得到 ①，
因为直线 与抛物线 只有一个公共点，
所以 ，解得 ，
又因为点 在第一象限，所以 ，则 ，
①可变成 ，解得 ，故
由B选项可得此时 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD
15．设点 为抛物线 ： 的焦点，过点 斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点（点
在第一象限），直线 交抛物线 的准线于点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的面积为 （ 为坐标原点）
【答案】BC【详解】
如图，设 ，
，
，
，
又 ，
，即 ，
解得： ；
故选项A不正确；
由上述分析可知 ，
又容易知 ，
则 ， ，
故 成立；
故选项B正确；；
故选项C正确；
，
故选项D不正确；
故选：BC．
16．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，抛物线 与椭圆共焦点，若两曲线的一
个交点为P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的面积为2
【答案】AB
【详解】由椭圆方程可得 ，所以 ，即 ，故A正确；
由椭圆定义可得 ，故B正确；
联立方程 ，解得 （负值舍去），即点 的横坐标为 ，
由抛物线定义可得 ，故C错误；
将 代入抛物线可得 ，所以 ，故D错误.
故选：AB.
