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第二章 函数与基本初等函数（提高卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 ， 的定义域为M， 的定义域为
N，则（ ）
A． B． C．M N D．N M
【答案】B
，则 ，
，则 ，所以 ，
故选：B．
2．（2020·安徽蚌埠·三模（文））已知函数 是一次函数，且 恒成立，则
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
设 ， ，
则
因为 恒成立，所以 且 ，解得 ，
所以 ，即有 .
故选：D.
3．（2017·内蒙古呼和浩特·一模（文））下列函数与 有相同图像的一个函数是（ ）
A． B．
C． （ 且 ） D．
【答案】D
的定义域为R
，故A不满足
的定义域是 ，故B不满足
，但定义域是 ，故C不满足
，定义域是R，故D满足故选：D
4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两
个函数为“同形”函数，给出下列三个函数： ， ， ，则
（ ）
A． ， ， 为“同形”函数
B． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
C． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
D． ， 为“同形”函数，且它们与 不为“同形”函数
【答案】A
解： ，
，
故 ， 的图象可分别由 的图象向左平移 个单位、向右平移1个单位得到，
故 ， ， 为“同形”函数．
故选：A．
5．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知 ，若函数 有两个不同的零点，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，则 是函数 的一个零点
由 ，解得
要使得 有两个不同的零点，则
故选：A
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））定义在R上的函数 满足 ，
当 时， 若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数t的取值
范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
当 时， 单调递减， ；当 时， 单调递减，故 在
上单调递减：由 ，得 的对称轴方程为 ．若对任意的 ，不等式
恒成立，所以 ，即 ，即 对任意的
恒成立，所以 解得 ．
故选：D．
7．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知定义在 上的函数 在 上单调递
增，若 ，且函数 为偶函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为函数 为偶函数，则 ，故函数 的图象关于直线 对称，
因为函数 在 上单调递增，故函数 在 上单调递减，
因为 ，则 ，
所以，由 可得 ，由 可得 或 ，
解不等式 ，可得 或 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 .
故选：D.
8．（2022·天津·二模）已知 且 ，函数 在 上是单调函数，若关于 的方
程 恰有2个互异的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
先分析函数 ， 且
易得 ，因为 ，可得图象：
因为函数 在 上是单调函数，故 只能是减函数，且 ，即 .故当
时， ，结合 可得 .故 ，又关于 的方程
恰有2个互异的实数解，即 与 的图象恰有2个交点，画出图象：
可得 ，解得 .综上有
故选：A
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·海南·模拟预测）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABC
对于A， ，最小值为2；
对于B， ，当且仅当 ， 时取得最小值2；
对于C， ，当且仅当 ，即 时取得最小值2；
对于D， ，当 时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
10．（2021·江西·模拟预测）已知函数 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． 的值域为 B． 在区间 上单调递增
C． D．若 ，则 的最小值为-3
【答案】BCD
函数 ，
A. 的值域为 ，故错误；
B. 在区间 上单调递增，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为 ，则 的最小值为 ，故正确；
故选：BCD
11．（2021·重庆一中模拟预测）已知 是定义在 上的函数，则（ ）
A．若 为增函数，则 的取值范围为
B．若 为增函数，则 的取值范围为
C．若 为减函数，则 的取值范围为
D．若 为减函数，则 的取值范围为
【答案】BD解：此函数为增函数的条件是： ，解得 ,
此函数为减函数的条件是： ，解得 ,
故选：BD.
12．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数 在 上先增后减，函数 在 上
先增后减.若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
∵ ，∴ ， ，∴ .
设 ，∵ ， ， 在 上先增后减，
∴ .
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴
设 ，
∵ ， ， 在 上先增后减，
∴ .
∴ .
故选：BC.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）13．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数 的单调递增区间为_____________．
【答案】 .
【详解】
依题意，由 得： 或 ，即函数 的定义域是 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，而 在 上单调递增，
于是得 在 是单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为：
14．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知函数 为奇函数， ，若当 时，
，则 ______．
【答案】
因为 ，所以 ，故可得： ，即 是以周期为 的
周期函数. 为奇函数且当 时， ， ，当
时，
所以
故答案为：
15．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知函数 ，若不等式 对
恒成立，则实数 的取值范围______．
【答案】
，
因为 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数，
因为 ，
所以 可化为 ，
因为 在 上为增函数，
所以 对 恒成立，所以 对 恒成立，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即实数 的取值范围 ，
故答案为：
16．（2022·陕西·交大附中模拟预测（文））已知函数 ，若存在互不相等的实数 ，
， ， 使得 ，则（1）实数 的取值范围为_________；（2）
的取值范围是_________．
【答案】
解：函数 的图象如图：
，
即直线 与函数 图象有4个交点，故 ．
，不妨设 ，
则必有 ， ，
，则 ，且 ，
，由对勾函数的性质可得函数 在 上单调递增，
，
．
故答案为： ，四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·广东·深圳实验学校高一期中）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
．
(1)求 时，函数 的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
(1)设 ，则 ，所以
又 为奇函数，所以 ，
所以当 时， .
(2)作函数 的图像如图所示，
要使 在 上单调递增，结合 的图象知 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
18．（2022·湖北·高一阶段练习）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大
社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知
不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促
销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只
与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的
线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为 （ ，k为常数）.
记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.
【答案】(1)
(2)线上直播x=150小时可使y最小为42万元
(1)由题得，当 时， ，则 ，
故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为
(2)由（1）知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即线上直播150小时可使y最小为42万元.
19．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知幂函数 的图像
关于y轴对称．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域．
【答案】(1) (2)
(1)因为 是幂函数，
所以 ，解得 或 ．
又 的图像关于y轴对称，所以 ，
故 ．
(2)由（1）可知， ．
因为 ，所以 ，又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
故 在 上的值域为 ．
20．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知函数 ，k是实数.
(1)若 对任意的 恒成立，求k的取值范围；
(2)若 ，方程 有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2) 或
(1)因为 对任意的 恒成立，
所以 ，即 ，对任意的 恒成立，
令 ，则 ，令 ，所以 ，
又 ，所以 上单调递增，
所以 ，即 ， ，故k的取值范围为
(2)当 时， ，因为 有解，
所以 有解，
令 ，则 ，转化为方程 在 上有解，
令 ，当 时， 在 为增函数，
所以 ，得
当 时，需 ，即 ，解得 ，
综上所述，实数a的取值范围是 或
21．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知函数 ；
（1）若函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的取值范围；
（2）是否存在整数 ， ，使得关于 的不等式 的解集恰好为 ，若存在，求出 ， 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在整数 ， ， ， 或 ， ，使得关于 的不等式
的解集恰好为
解：（1）函数 的对称轴为 ，
①当 ，即 时， ，不满足 ，
②当 ，即 时， 符合题意.
③ ，即 时， .
综上：实数 的取值范围： .
（2）假设存在整数 ， ，使得关于 的不等式 的解集恰好为 ，即
的解集为 .可得 ， .
即 的两个实数根为 ， .即可得出. ， .
，当 时， 不存在，舍去，
当 时， ， 或 ， .
故存在整数 ， ，且 ， 或 ， ，使得关于 的不等式 的解集恰好为
.
22．（2022·上海·模拟预测）定义符号函数 ，已知函数 .
（1）已知 ，求实数 的取值集合；
（2）当 时， 在区间 上有唯一零点，求 的取值集合；
（3）已知 在 上的最小值为 ，求正实数 的取值集合；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
（1）因为 ，
所以 或
解得： 或 ，所以实数 的取值集合为 .
（2）当 时，
所以
因为 在区间 上有唯一零点，
所以方程 在区间 上有唯一的根，
所以函数 与 在区间 上有唯一的交点，
函数 的图象，如图所示：
当 或 时，两个函数图象只有一个公共点，
所以 的取值集合为 时， 在
区间 上有唯一零点.
（3）当 时， 在 恒成立，
因为 ，
，
①当 时，
，
所以 在 恒成立，
所以 .
②当 时， ，
ⅰ）当 时，上式 ，
所以 在 恒成立，
所以 ，此时 的数都成立；
ⅱ）当 时， ，
所以 在 恒成立，
当 ，即 时， ，所以 ；
当 ，即 时， ，
所以 ；
所以 ；
综合①②可得： 或 ，
所以正实数 的取值集合为： .
