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第18讲 平面向量
【知识点总结】
一、向量的基本概念
1.向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用 ， ， 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表
示，如 （其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作 或 .
2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为 ，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当 时，向量 是与向量 共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为 .
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移
到同一条直线上.
规定零向量与任何向量 平行（共线），即 .
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几
何中平行不可以重合；③ ， ，不一定有 ，因为 可能为 .
二、向量的线性运算
1.向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量 ， ，在平面内任取一点A，作 ， ，
则向量 叫做向量 与 的和（或和向量），即 .
向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量 = .
2．向量的减法（1）相反向量.
与 长度相等、方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 .
（2）向量的减法.
向量 与 的相反向量的和叫做向量 与 的差或差向量，即 = .
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示， ， 则向量 .3.向量的数乘
（1）实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定
如下：
①
②当λ>0时， 的方向与 的方向相同；当λ<0时， 的方向与 的方向相反；当 时，
方向不确定； 时， 方向不确定.
（2）向量数乘运算的运算律.
设 、 为 任 意 向 量 ， 、 为 任 意 实 数 ， 则 ； ；
.
三、平面向量基本定理和性质
1.共线向量基本定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 .
2.平面向量基本定理
如果 和 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量 ，都存在唯一的一对
实数 ，使得 ，我们把不共线向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记
为 . 叫做向量 关于基底 的分解式.
3.三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中 ，O为
平面内一点.
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示.
在平面直角坐标中，分别取与 轴， 轴正半轴方向相同的两个单位向量 作为基底，那么由平面
向量基本定理可知，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 使 ，我们把有序实数对
（ ）叫做向量 的坐标，记作 =（ ）.
(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量（ ） 向量 点 （ ）.
（3）设 ， ，则 ，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若 =（ ），
为实数，则
，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的
相应坐标.
（4）设A ，B ，则 = ， 即一个向量的坐标等于该向量的
有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
五、向量的平行
设 ， . 的充要条件是 .除了坐标表示 外，下面两
种表达也经常使用：当 时，可表示为 ；
当 时，可表示为 ，即对应坐标成比例.
六、平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量 和 ，作 ＝ ， ＝ ， 叫作向量
与 的夹角．记作 ，并规定 .如果 与 的夹角是 ，就称 与 垂直，记为 .
(2) 叫作 与 的数量积，记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量 与 垂直的充要条件是 =0.
两个非零向量 与 平行的充要条件是 .
七、平面向量数量积的几何意义
数量积 等于 的长度| |与 在 方向上的射影| |cos θ的乘积．即 ＝| || |cos θ.( 在
方向上的射影| |cos θ ; 在 方向上的射影| |cosθ ).
八、平面向量数量积满足的运算律
（1） （交换律）；
（2） 为实数）；
（3） （分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律 ，不可约分 .
九、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量 由此得到（1）若 ；（2）设 两点间距离
（3）设 的夹角，则
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 的夹角为60°， ， ，则
（ ）
A．2 B．
C． D．12
例2．（2022·全国·高三专题练习）向量 不共线，点P、Q、S共线，已知
，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形 ABCD 中， ，AD⊥DC，
AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，若（λ
+ ）⊥ ，则实数λ的值为（ ）A． B．﹣ C． D．3
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于
M、N两点，且 ＝x ， ＝y ，求 的值为________．
例6．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知点D满足 ，若 ，则____________．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知 为 内一点， ，则 ，
的面积之比为______．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·浙江·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 、 的长度相等且方向相同或相反
B．若向量 、 满足 ，且 与 同向，则
C．若 ，则 与 可能是共线向量
D．若非零向量 与 平行，则 、 、 、 四点共线
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量 满足 ， ， ，则（ ）
A． 或 B． C． D． 或
4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，
设 ， ，则向量 等于（ ）A． ＋ B．- -
C．- ＋ D． -
5．（2022·全国·高三专题练习）下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
，
6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．对于任意向量 ， ，必有
C．若 为实数 ），则
D．向量 在向量 上的投影向量为
7．（2022·全国·高三专题练习）设平面向量a，b不共线，若 ， ，
，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
8．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 为 所在平面内两点， ， ，则（
）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上不共线的四点 ，若 ，则等于（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（2022·全国·高三专题练习）.如图，在 中， ， 是线段 上一点，若
，则实数 的值为（ ）A． B．
C．2 D．
11．（2022·全国·高三专题练习）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么
能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·高三专题练习）在 中， ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
13．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形 中， ，设 ， ，则向量（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是不共线的向量， ， ，
，若 ， ， 三点共线，则实数 的值为（ ）
A． B．10 C． D．5
15．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 中，D为 上一点，且 ，设
，则 用 和 表示为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ，若 ，则锐角θ＝（
）
A． B．
C． D．18．（2022·江苏·高三专题练习）已知向量 ，且 ，则一定共
线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
19．（2022·全国·高三专题练习）已知两个非零向量 ， 互相垂直，若向量 ，共线，则实数λ的值为（ ）
A．5 B．3
C． D．2
20．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在 中， ， 是 上的一点，若
，则实数 的值为( )
A． B． C．1 D．3
21．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，D是 上的点，若 ，则
实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ，若 ，则 的值
为（ ）
A．2 B．
C． D．23．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C．2 D．-224．（2022·全国·高三专题练习）正方形 边长为2，点 为 边的中点， 为 边上一点，
若 ，则 （ ）
A．3 B．5 C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量 ， ，且 ，则 （
）
A． B． C． D．
26．（2022·全国·高三专题练习（文））设x∈R，向量 ＝（x，1）， ＝（1，﹣2），且 ∥ ，
则| + |＝（ ）
A． B． C． D．5
27．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，且A，B，C三
点共线，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，则 在 方向上的投影
为（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 为单位向量， ，且向量 与向量 的夹角为 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．- C． D．4
30．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （
）
A． B．1 C． D．231．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量 ､ ，满足 ，且 与 的夹角为 ，
则 等于（ ）
A． B． C．8 D．
32．（2022·全国·高三专题练习）若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的
夹角为（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ，则 与 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，若（λ
+ ）⊥ ，则实数λ的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．3
二、多选题
35．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
设 ， 的夹角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
36．（2022·江苏·高三专题练习）四边形 中， ，
则下列表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
37．（2022·全国·高三专题练习）下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．若 ，则存在唯一的实数 ，使得
B．已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是
C．若 且 ，则
D．若点 为 的垂心，则，
，
38．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，则（ ）
A． B．向量 在向量 上的投影向量为
C． 与 的夹角余弦值为 D．
40．（2022·全国·高三专题练习）设向量 ， 满足 ，且 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．向量 ， 夹角为
41．（2022·全国·高三专题练习）设向量 ， 满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D． 与 的夹角为60°
，
三、填空题
42．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量
的坐标为______．
43．（2022·全国·高三专题练习）已知单位向量 与向量 共线，则向量 的坐标是
___________．
44．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为 的正方形 中， 为 的中点，则
____________________．45．（2022·全国·高三专题练习）在菱形 中， ， ， ，则
___________.
46．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，已知 ， ，若 ，则
的坐标为_______.
47．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是△ 的边 的中点，点 在边 上，且
，则向量 ＝________(用 表示)．
48．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在四边形ABCD中， ，E为边BC的中点，若
，则 _________．
49．（2022·全国·高三专题练习）设向量 ， 是与 方向相反的单位向量，则 的坐标为
__________.50．（2022·全国·高三专题练习）如图，在菱形 中， ， ．已知 ，
， ，则 ______．51．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ， 且
，则 ___________.
52．（2022·上海·高三专题练习）设向量 ，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值
范围________
53．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 是线段 上任意一点（不包含端点），若
，则 的最小值是________.
54．（2022·江苏·高三专题练习）如图所示，矩形 的对角线相交于点 ， 为 的中点，若
，则 等于________________
55．（2022·浙江·高三专题练习）已知向量 的夹角为60°， ，则 = ______ .56．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹
角为___________.
57．（2022·上海·高三专题练习）非零向量 ， 满足 ， 且 ， 与 夹角为 ，
则___________.
58．（2022·河北·高三专题练习）已知 ，则 与 的夹角的余弦值为
__________.
59．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 为 的外心， ，则 ______.
60．（2022·全国·模拟预测）已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则 的值为
_________.
