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专题 27.3 相似三角形中的动点问题
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终
点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C−D−A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．
连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．
CE 3
（1）当点Q在线段CD上时，求证： = ．
AE 2
（2）当DQ=1时，求△APE的面积．
（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若
存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）证明△CQE∽△APE即可得到答案；
（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点
N．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=
ℎ
，再利用相似三角形的性质求解三角
形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，如图3，当
△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，
PH AB
∴△ABC∽△PHQ，则 = =2，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，
QH BC
EF BA
点F与点C重合，从而可得答案；②当点 Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC， = =2，
EQ BC
∠FEG=∠B=90°，作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠≠=90°，再结合相似三角形的性
质建立方程可得答案．
【解题过程】（1）当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB∥CD，CQ=3t，AP=2t，
∴△CQE∽△APE，
CE CQ 3
∴ = = ．
AE AP 2
（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点
N．
由CQ V 3，得 ．
= 点Q= AP=2
AP V 2
点P
EN CE 3
由△CQE∽△APE，得 = = ，
EM AE 2
2 4
∴EM= MN= ，
5 5
1 1 4 4
∴S = AP⋅EM= ×2× = ．
△APE 2 2 5 5
②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=
ℎ
．
2 10
AQ=AD−DQ=1，AP= (CD+DQ)= ．
3 3
同理：△AME∽△ABC，
EM BC 1
∴ = = ，
AM AB 2
∴AM=2EM=2ℎ ．EM AQ 1 3
= = =
同理：△PME∽△PAQ，得PM PA 10 10，
3
10 10
∴PM= EM= ℎ．
3 3
10 10 5
∴AP=PM+AM= ℎ +2ℎ = ，解得ℎ = ，
3 3 8
1 1 10 5 25
∴S = AP⋅EM= × × = ．
△APE 2 2 3 8 24
4 25
∴△APE的面积为 或 ．
5 24
（3）①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t．
若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2．
作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，
PH AB
∴△ABC∽△PHQ，则 = =2，
QH BC
1
∴QH= PH=1．
2
∵HD=AP=2t，
∴CD=CQ+QH+HD=3t+1+2t=4，
3
解得t= ．
5
6 14
∴BP=4−2t=4− = ．
5 5
若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合．∵ ，
AC=❑√AB2+BC2=❑√42+22=2❑√5
CE 3
又∵ =
AE 2
2 4❑√5
∴AE= AC= ．
5 5
∵由△FEQ∽△ABC结合对顶角可得：∠AEP=∠B=90°，而∠PAE=∠BAC，
∴△AEP∽△ABC，
4❑√5
AE AP
∴ = ，即 5 AP ，则AP=2，
AB AC =
4 2❑√5
∴BP=AB−AP=2．
EF BA
②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC， = =2，∠FEG=∠B=90°，
EQ BC
作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠≠=90°，
由∠FEQ=∠¬=90°，得∠FEN=∠QEG，
∴Rt△FEN∽Rt△QEG，
EN EF
∴ = =2．
EG EQ
AG BC 1
同理可得： = = ，
EG AB 2
设AG=k，则EG=2AG=2k，EN=2EG=4k．∴DG=EN=4k，AD=AG+DG=5k，
2
由AD=2，得5k=2，k= ，
5
2 4
∴AG= ，EG= ．
5 5
由题意，AQ V 6−3t 3，
= 点Q= =
BP V 4−2t 2
点P
2
设AQ=3x，则BP=2x，AP=4−2x，QG=AQ−AG=3x− ，
5
4 2
EG QG 3x−
由△QGE∽△QAP，得 = ，即 5 5，
AP QA =
4−2x 3x
化简，得15x2−26x+4=0，
13+❑√109 13−❑√109
解得x = （舍去），x = ．
1 15 2 15
26−2❑√109
∴BP=2x= ．
15
14 26−2❑√109
综上所述，BP的长为 或2或 ．
5 15
1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两
点的坐标分别为(20,0)和(0,15)，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线
EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接
EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
2．（2022·四川·九年级专题练习）如图1，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动
点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿DA方向以2cm/s的
速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．
（1）若△AMN是等腰直角三角形，则t=___________（直接写出结果）．
（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值，若不存在，请
说明理由．
（3）如图2，连接CN、CM，试求CN+2CM的最小值．3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一
个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．
（1）当m＝1时，求PE的长；
（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；
（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，
请求出它的值；若变化，请说明理由．4
4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图（1），在矩形ABCD中，AB=6cm，tan∠ABD= ，
3
E、F分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点
Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设
运动时间为ts（00）
（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）点R落在AC上时，求t的值；
（3）当重叠部分图形是三角形时，求S（平方单位）与t（秒）之间的函数关系式；
（4）在点P运动的过程中，当点R落在△ABC的中位线所在的直线上时，直接写出t的值．
16．（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十九中学校考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，
AC=5，AB=4．动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA
的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N．设点P运动时间为t秒（t
＞0）．（1）求BC的长；
（2）当点M在边BC上时，求MN的长；（用含t的代数式表示）
（3）取PC的中点Q．
①连接MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ∥PN时，求MN的长；
②连接NQ，当∠CNQ=∠A时，直接写出t的值．
17．（2023春·吉林·九年级专题练习）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．动点P
从点A出发，在AB上以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿折线BC−CA以
每秒7个单位长度的速度向终点A运动，当点Q不与点C重合时，以PQ、QC为邻边作平行四边形PQCE．
设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段CQ的长；
（2）当点E在Rt△ABC内部时，求t的取值范围；
（3）当Rt△ABC的边将平行四边形PQCE的面积分为1：2两部分时，求t的值；
（4）如图②，点D为AB的中点，连接DQ，作点C关于直线DQ的对称点C'，当C'Q∥AB时，直接写
出t的值．
18．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
BC=5，AB=3，点D、E分别为边AC、BC的中点．动点P从点A出发，沿折线AE—EB—BA以每秒
1个单位长度的速度向点A运动，连结DP．作点A关于直线DP的对称点A′，连接A′D，A′ A．设点P运
动时间为t秒(t>0)．（1）线段AD的长为 ；
（2）当点P在折线AE−EB上时，用含t的代数式表示线段EP的长；
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠A A′D与∠C相等时，直接写出t的值．
19．（2022秋·浙江温州·九年级温州市第二实验中学校考阶段练习）如图1，在四边形ABCD中，
∠B=∠ADC=90°，以BC为边构造矩形BCEF，点E，F分别落在AD、AB上．动点P在AF上从点F
向终点A匀速运动，同时，动点Q在射线AD上从点A向点D方向匀速运动，点P到达终点时，P，Q同时
停止运动．设PF=2x，△APQ的面积为S，则S=−3x2+12x．当x=2时，点Q恰好运动至E点．（1）求证：△AFE∽△EDC．
（2）求AF和EF的长．
EG 1
（3）如图2，EF=2CD，点H为BC的中点，点G在EF上，且 = ，连结DH、GH，当PQ与四边
FG 2
形DEGH的一边平行时，求PF的长．
3
20．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB= ，点E从点B出发沿折
5
线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF
的右侧作矩形EFGH．（1）如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
（3）已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF
相似（包括全等）？
