文档内容
专题 27.4 相似三角形的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用相似三角形的性质求解】..................................................................................................................2
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】..............................................................................................................3
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】.........................................................................................................9
【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】...........................................................................................................16
【题型5 运用相似三角形解决格点问题】...........................................................................................................22
【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】...............................................................................................27
【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】.................................................................................................36
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】...........................................................................................................42
【题型9 运用相似三角形解决最值问题】...........................................................................................................47
【题型10 运用相似三角形解决多结论问题】.......................................................................................................52
知识点1：相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等．如图， ，则有
．
②相似三角形的对应边成比例．如图， ，则有
（ 为相似比）．
③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等
于相似比．
如图， ∽ ， 和 是 中 边上的中
线、高线和角平分线， 、 和 是 中 边上的
中线、高线和角平分线，则有
④相似三角形周长的比等于相似比．如图， ∽ ，则有
．
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．
如图， ∽ ，则有【题型1 利用相似三角形的性质求解】
AB 2
【例1】（23-24九年级·四川成都·期末）若△ABC∽△A B C ，且 ＝ ．若△ABC的面积为8，则
1 1 1 A B 3
1 1
△A B C 的面积是（ ）
1 1 1
8
A． B．6 C．9 D．18
3
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关
键．
根据相似三角形的性质可直接得出结论．
AB 2
【详解】解：∵△ABC∽△A B C ，且 ＝ ．
1 1 1 A B 3
1 1
S △ABC = ( AB ) 2 = 4
∴
S A B 9
△A B C 1 1
1 1 1
∵△ABC的面积为8，
∴△A B C 的面积为18，
1 1 1
故选：D．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏连云港·期末）已知△ABC∽△≝,△ABC的三条边分别为6、8、10，若
△≝¿的最短边为3，则最长边为 ．
【答案】5
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：设△≝¿最长边为x，
∵ △ABC∽△≝,△ABC的三条边分别为6、8、10，△≝¿最短边为3，
3 x
∴ = ，
6 10
解得x=5，
即△≝¿最长边为5，
故答案为：5．
【变式1-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，点P在△ABC的边AB上，∠A=70°，∠B=45°，
若△ABC∽△ACP，则∠APC=（ ）A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理．
根据相似三角形的对应角相等得到∠ACP=∠B=45°，进而根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACP=∠B=45°，
∴∠APC=180°−∠A−∠ACP=180°−70°−45°=65°．
故选：C
【变式1-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）已知两个相似三角形的周长比为2:3，它们的面积之差为
40，那么它们的面积之和为 ．
【答案】104
【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
列出方程，进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2:3，
∴它们的面积比为4:9，
设两个三角形的面积分别为：4x,9x，由题意，得：9x−4x=5x=40，
∴x=8，
∴它们的面积和为：4x+9x=13x=13×8=104；
故答案为：104．
【题型2 运用相似三角形解决折叠问题】
【例2】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿
DE折叠，使点C落在△ABC边上C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（ ）
13 156 25 26
A． B． C． D．
2 25 4 5【答案】B
【分析】根据勾股定理就可以求出AC的值，再根据轴对称的性质就可以得出C′D=CD，由C′D∥BC得
AD C′D
出△ADC′∽△ACB就可以得出 = 就可以求出结论．
AC BC
【详解】解：∵∠B=90°，AB=5，BC=12，由勾股定理，得AC=13．
∵△DEC′与△DEC关于DE成轴对称，
∴△DEC′≌△DEC，
∴C′D=CD．
∵C′D∥BC，
∴△ADC′∽△ACB，
AD C′D
∴ = ，
AC BC
13−CD CD
∴ = ，
13 12
156
∴CD= ．
25
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运
用轴对称的性质求解是关键．
【变式2-1】（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边 AD=5，
OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置， 线段OD恰好经过点 B，点 C落在y
轴的点C 位置，点 E 的坐标是 ．
1
【答案】(❑√5−1,2)/(−1+❑√5，2)
【分析】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形等知
识，熟练掌握矩形和折叠的性质是解答的关键．先证明△AOB∽△D C O求得AB=CD=2，设EF=x，
1 1分别由勾股定理求解OC =OC=2❑√5、x值即可．
1
【详解】解：∵矩形ABCD的边 AD=5，OA:OD=1:4，
∴OD=4，OA=1，BC=AD=5，AB=CD， AB∥x轴，∠D=∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠D OC ，∠BAO=∠D =90°，
1 1 1
AB OA
∴△AOB∽△D C O， = ，
1 1 D O D C
1 1 1
由折叠性质得OD =OD=4，CE=C E，∠D =∠D，D C =CD=AB，
1 1 1 1 1
AB 1
∴ = ，则AB=2 （负值舍去），
4 AB
∴CD=2，
如图，OC =OC=❑√CD2+OD2=❑√22+42=2❑√5，OF=AB=2，
1
∴C F=OC −OF=2❑√5−2，
1 1
设EF=x，则EC =CE=5−x，
1
由EF2+C F2=EC 2 得x2+(2❑√5−2) 2=(4−x) 2，
1 1
解得x=❑√5−1，
综上，点E坐标为(❑√5−1,2)，
故答案为(❑√5−1,2)
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折
叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF=4cm，FB′=1cm，则BE= cm．25
【答案】
7
【分析】由CF=4cm，FB′=1cm可得CB′=5cm，由菱形的性质与折叠可得BC=CD=B′C=5cm，
∠BCE=∠B′CE=45°，过点E作EG⊥BC于点G，设CG=xcm，则EG=xcm，
EG GB
BG=BC−CG=5−x(cm)，易证△EGB∽△CFD，得到 = ，代入即可求出x的值，从而得到BG
CF FD
的长，进而在Rt△BEG中，根据勾股定理即可求解．
【详解】∵CF=4cm，FB′=1cm，
∴CB′=CF+FB′=4+1=5(cm)，
由翻折可得：BC=B′C=5cm，
∴在菱形ABCD中，CD=BC=5cm，
∵CB′⊥AD，
∴∠CFD=∠CFA=90°
∴在Rt△CDF中，DF=❑√CD2−CF2=❑√52−42=3，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BCB′=∠CFD=90°，
又由折叠有∠BCE=∠B′CE，且∠BCE+∠B′CE=∠BCB′=90°，
∴∠BCE=45°
过点E作EG⊥BC于点G，∴∠EGB=∠EGC=90°，
∴∠CEG=90°−∠BCE=90°−45°=45°，
∴∠CEG=∠BCG，
∴EG=CG，
设CG=xcm，则EG=xcm，BG=BC−CG=5−x(cm)，
∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，
又∠EGB=∠CFD=90°，
∴△EGB∽△CFD，
EG GB x 5−x
∴ = ，即 =
CF FD 4 3
20
解得：x= ，
7
20 15
∴EG= cm，BG= cm，
7 7
∴在Rt△BEG中，BE=❑√BG2+EG2=❑
√ (15) 2
+
(20) 2
=
25
(cm)．
7 7 7
25
故答案为：
7
【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定
及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏淮安·期中）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，将矩形折叠，使点A落
在点P处，折痕为DE．
图1 图2
AP
(1)如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
DE
(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．AP 2
【答案】(1) =
DE 3
3
(2)BF的长为
2
【分析】（1）先得出∠APB=∠AED，再证明△ABP∽△DAE，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）过点E作EH∥DP交AD于点H，先得出EH=DH，设EH=DH=x，则AH=6−x，根据勾股定
理得出22+(6−x) 2=x2，再证明△AEH∽△BFE，即可得出答案．
【详解】（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
由折叠性质得：AP⊥DE，
∴∠BAP+∠AED=90°，
∴∠APB=∠AED，
∵∠EAD=∠ABP=90°，
∴△ABP∽△DAE，
AP AB 4 2
∴ = = = ；
DE AD 6 3
（2）如图，过点E作EH∥DP交AD于点H，
∵EH∥DP，
∴∠HED=∠EDP，
∵由折叠性质得∠HDE=∠EDP，∠DPE=∠A=90°，
∴∠HED=∠HDE，
∴EH=DH，
设EH=DH=x，则AH=6−x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=2，
∵AE2+AH2=EH2，
∴22+(6−x) 2=x2，
10 10
解得：x= ，即DH= ，
3 38
∴AH= ．
3
∵EH∥DP，
∴∠HEP=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
∴△AEH∽△BFE，
8
AE AH
∴ = ，即 2 3，
BF BE =
BF 2
3
解得BF= ，
2
3
∴BF的长为 ．
2
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正
确寻找相似三角形解决问题．
【题型3 运用相似三角形解决三角板问题】
【例3】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，△ABC为等腰Rt△ABC，
∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=30°，AB=6❑√3，记DB交AC于E．若AC上有一点F满足
∠DBF=45°，则EF的长为（ ）
A．6❑√6−6❑√3 B．18−6❑√3 C．9❑√2−3❑√6 D．6❑√6−6❑√2【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，
熟练掌握性质定理是解题的关键．将△ABE顺时针旋转90°，构造全等三角形，再根据勾股定理求出FG
的长，既可以得到答案．
【详解】解：将△ABE顺时针旋转90°，至△BCG，连接CG、FG，
∴∠FBG=∠EDF=45°,BG=BE,CG=AE,∠BCG=∠BAE=45°
，
∴△BEF≌△BGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵∠ABC=∠BAD=90°,∠ABD=30°,AB=6❑√3，
∴AD=6,BC=6❑√3,AC=6❑√6，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠EBC，
∵∠AED=∠CED，
∴△ADE∽△CBE，
AD AE
∴ = ，
BC EC
6 AE
∴ = ，
6❑√3 6❑√6−AE
∴AE=9❑√2−3❑√6=CG，
∵∠FCG=90°，
∴FG2=CF2+CG2，
设EF=FG=x，
∴CF=6❑√6−(9❑√2−3❑√6)−x=9❑√6−9❑√2−x，
∴x2=(9❑√6−9❑√2−x) 2+(9❑√2−3❑√6) 2 ，
∴x=6❑√6−6❑√2．故选D．
AO
【变式3-1】（23-24九年级·内蒙古包头·期末）如图，将一副三角板按图叠放，则 的值为
OC
．
❑√3
【答案】
3
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的特征；根据三角板的角度可得
△ABC是等腰直角三角形，设AB=a，则BC=a，根据含30°的直角三角形的性质，勾股定理可得CD，
进而根据AB∥CD，得出△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质，即可求解；熟练掌握相似三角形
的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：由于将一副三角板按图叠放，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
AO AB
∴ = ，
CO CD
设AB=a，则BC=a，
∴BD=2a，
∴CD=❑√BD2−BC2
=❑√(2a) 2−a2
=❑√3a，
AO AB
∴ =
CO CD
a
=
❑√3a❑√3
= ，
3
❑√3
故答案为： ．
3
【变式3-2】（23-24九年级·山东济南·期中）【问题背景】
△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点
落在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，以下结论正确的是：_______；
BE PE
①△BPE≌△CFP；②△BPE∽△CFP；③∠BEP=∠CPF；④ = .
CP FP
【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与
△CFP相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时，△BPE∽△PFE？说明理由．
【答案】（1）②③④；（2）△BPE与△CFP相似，理由见解析；（3）动点P运动到BC中点位置时，
△BPE与△PFE相似，理由见解析．
【分析】（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，得出
∠BEP=∠CPF，从而解决问题；
（2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP；
（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，同（1），可证△BPE∽△CFP，得
CP:BE=PF:PE，而CP=BP，因此 PB:BE=PF:PE，进而求出，△BPE与△PFE相似．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，又∵∠EPF=45°
∴∠B=∠C=∠EPF=45°，
又∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，
∴∠BEP=∠FPC，故③正确；
∴△BPE∽△CFP，故②正确；
BE PE
∴ = ，故④正确；
CP FP
故答案为：②③④ ．
（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP．
（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得CP:BE=PF:PE，
而CP=BP，
因此 PB:BE=PF:PE．
又∵∠EBP=∠EPF，
∴△BPE∽△PFE．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查
了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能
力．
【变式3-3】（23-24九年级·山东济南·期中）如图，把两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一
起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合，其中∠BAC=∠≝=90°，
∠C=∠F=45°，AB=DE=6．把三角板ABC固定不动，三角板DEF由图1所示的位置绕点E沿顺时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°<α<90°．设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于
点Q（当三角板旋转到图3所示位置时，线段EP交线段CA于点M）．
(1)如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证△BPE∽△CEQ．此时，BP⋅CQ=______；
(2)当三角板DEF转到如图2的位置时，BP⋅CQ的值是否改变？说明你的理由；
15
(3)在三角板DEF旋转的过程中，两三角板重合部分的面积是否可能为 ？若可能，直接写出此时CQ的
4
长；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)18
(2)不变，BP·CQ=18
3
(3)CQ= 或CQ=2
2
【分析】（1）两块全等的等腰直角三角板ABC和DEF叠放在一起，点E与三角板ABC的斜边中点重合，
其中∠BAC=∠≝=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，可求出BP，△BPE∽△CEQ，根据相似三
角形的性质即可求解；
（2）△ABC是等腰直角三角形，且点E是BC边中点，∠B=∠C=45°，可求出BE的长，△≝¿是等腰直
角三角形，∠PEC=∠3+∠4=∠B+∠1，可证△BPE∽△CEQ，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）由（1），（2）的结论，过点E作EN⊥AC于N，根据相似三角形的性质和函数解析式得最值即可
求解．
【详解】（1）解：根据题意，AE为BC的垂直平分线，点Q与点A重合，
1 1
∴AB⊥DE，且DE平分AB，则BP=EP= AB= ×6=3，且AB=AC=CQ=6，
2 2
∴BE=CE=AE=3❑√2，
∵△BPE∽△CEQ，
BP CE BP 3❑√2
∴ = ，即 = ，
BE CQ 3❑√2 CQ∴BP·CQ=3❑√2×3❑√2=18，
故答案为：18．
（2）解：不变，BP·CQ=18．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，且点E是BC边中点，
∴在△BPE和△CEQ中，∠B=∠C=45°，
1 1 1
且BE=CE= ❑√AB2+AC2= ❑√62+62= ×6❑√2=3❑√2，
2 2 2
∵△≝¿是等腰直角三角形，
∴∠3=45°=∠B，
∵∠PEC=∠3+∠4=∠B+∠1，
∴∠1=∠4，
∴△BPE∽△CEQ
BP BE
∴ = ，
CE CQ
∴BP·CQ=CE·BE=(3❑√2) 2=18．
（3）解：如图所示，过点E作EN⊥AC于N，此时重叠部分为△MEQ，
设CQ为x，
∵BP·CQ=18，
18
∴BP= −6，
x
18
∴AP= −6，
x
∵EN⊥AC，
∴∠ENC=90°=∠BAC，
∴EN∥AB，
∴△ENM∽△PAM，
AM PA AM PA 3PA 6x−18
∴ = ，即 = ，解方程得，AM= = ，
NM EN 3−AM 3 3+PA x−66x−18
∴MQ=6−AM−CQ=6−x− ，设重叠部分的面积为y，
x−6
1 1 6x−18
∴y= MQ·EN= (6−x− )×3，
2 2 x−6
15 15 3 6x−18
当y= 时，代入得， = (6−x− )，整理得，2x2−7 y+6=0，
4 4 2 x−6
3
∵x= 或x=2，
2
15
∴存在CQ使面积为 ，
4
3
∴CQ= 或CQ=2．
2
【点睛】本题主要考查图形变换，等腰直角三角形的性质、相似三角形相似判定与性质例，掌握图形变换
时三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【题型4 运用相似三角形解决裁剪问题】
【例4】（2024·山东菏泽·一模）包书皮是每位同学都经历过的事情，下面展示两种包书皮的方法：
方法一： 方法二：
(1)一本字典长为acm，宽为bcm，高为ccm，如果按方法一包书，将封面和封底各折进去3cm，试用含
a、b、c的代数式分别表示封皮的长和宽；
(2)现有1张一角污损的矩形包书纸，如右图，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，
AF=16cm．使用没有污损的部分按方法二的方式包一本长为19cm，宽16cm，厚为6cm的字典．试画出
一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽；
(3)在（2）的条件下，是否存在裁剪后最大的矩形也能包这本书，并说明理由．
【答案】(1)长为2b+6+c，宽为a(2)答案不唯一，见详解
(3)不存在，见详解
【分析】本题考查了代数式，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，正确掌握知
识点是解决本题的关键．
（1）仔细分析题意及图形特征即可求解；
3 ( 3 )
（2）设PM=xcm，表示出EM= x，则剪裁后矩形的长和宽分别为(50−x)cm， 30−12+ x cm，
4 4
取一个符合题意的x值进行裁剪即可；
（3）y=(50−x) ( 30−12+ 3 x ) − 3 (x−13) 2+ 3093 ，当x=13时，y最大，
4 4 4
此时50−13=37<16×2+6=38，即可说理．
【详解】（1）解：长为2b+6+c，宽为a
（2）解：设PM=xcm，由PM∥AF
得△EPM∽△EFA，
x EM
∴ = ，
16 12
3
∴EM= x,
4
( 3 )
此时剪裁后矩形的长和宽分别为(50−x)cm， 30−12+ x cm，
4
当x=4，则长和宽分别为46cm，22cm，
裁剪方式如下图：
（3）解：不存在，
设面积为y，
则y=(50−x) ( 30−12+ 3 x ) =− 3 x2+ 39 x+900=− 3 (x−13) 2+ 3093 ，
4 4 2 4 4
当x=13时，y最大，
此时50−13=37<16×2+6=38，所以，不存在．
【变式4-1】（23-24九年级·北京·期中）如图，直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC边长为10cm．
现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是
cm．
【答案】20
AE DE
【分析】根据已知可得AE=2，DE=4，DE//BC，结合相似三角形性质可得 = ，由此即可解题．
AC BC
【详解】解：如图所示：
由题意可知：AC=10，AE=10−8=2，DE=4，
∵DE//BC，
∴△ADE∼△ACB，
AE DE 2 4
∴ = ，即 = ，
AC BC 10 BC
解得：BC=20，
故答案为20．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质,根据矩形的性质结合相似三
角形的判定定理找出△ADE∼△ACB解题的关键.
【变式4-2】（2024·河南驻马店·二模）延时课上，同学们利用面积为100dm2的正方形纸板，制作一个正
方体礼品盒(如图所示裁剪)．则这个礼品盒的体积是 dm3．【答案】16❑√2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角
形．
AE EF
设EF=x，判断出△AEF和△DEG为等腰直角三角形，证明△AEF∽△DEG，得到 = ，可求出
DE EG
AE，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积．
【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD=10，
设EF=x，
由此裁剪可得：△AEF和△DEG为等腰直角三角形，
∴△AEF∽△DEG，
AE EF AE x
∴ = ，即 = ，
DE EG 10−AE 4x
解得：AE=2(分米)，
∴EF=❑√2AE=2❑√2(分米)，
∴正方体礼品盒的棱长为2❑√2(分米)，
∴体积为(2❑√2) 3=16❑√2(立方分米)，
故答案为：16❑√2．
【变式4-3】（2024·江苏徐州·模拟预测）A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所
使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入DIN(编号是
DIN476)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．ISO216定义了
A、B、C 三组纸张尺寸．(1)观察发现：如图1，将A4纸2次折叠，发现第1次的折痕与A4纸较长的边重合，由此可求出A4纸较
长边与较短边的比为 ．
(2)探究迁移；将一张A4纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕AC，再将其沿经过点B的直线折
叠，使点A落在OC上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与AD交于点E．点E是否为AD的中点?请
说明理由．
(3)拓展应用；利用一张A4纸经过裁剪获得一张边长为21cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形
ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分
割点．
【答案】(1)❑√2:1
(2)是，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）设A4纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为❑√2b，根据第1次的折痕
与A4纸较长的边重合得到a=❑√2b，进而可求解；
（2）设AB=t，AD=❑√2t，根据矩形和折叠性质得到∠AEB=∠ACD，进而证得△ABE∽△DAC，由
AB AE 1
= 推导出AE= AD即可；
AD CD 2
21
（3）延长DA、CG相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得CE= ❑√5cm，再根据折叠性
221 AG AP
质和等角对等边得到EP=CE= ❑√5cm，证明△PAG∽△CBG得到 = ，进而可求得
2 BG BC
AG ❑√5−1
= ，即可证得结论．
BG 2
【详解】（1）解：设A4纸较长边的长为a，较短边长为b，
由题意，第一次折痕长为❑√b2+b2=❑√2b，
∵第1次的折痕与A4纸较长的边重合，
∴a=❑√2b，即a:b=❑√2:1，
故答案为：❑√2:1；
（2）解：点E是AD的中点，理由如下：
AD
由（1）得 =❑√2，设AB=t，AD=❑√2t，
AB
由折叠使得点A和点C重合得AC⊥BE，则∠AEB+∠OAE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB=t，
∠ACD+∠OAE=90°，
∴∠AEB=∠ACD，
∴△ABE∽△DAC，
AB AE t AE
∴ = ，即 = ，
AD CD ❑√2t t
❑√2 1
∴AE= t= AD，
2 2
即点E是AD的中点；
（3）解：如图，延长DA、CG相交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=21cm，∠D=90°，AD∥BC，1 21
由折叠性质得∠BCP=∠ECP，DE=AE= AD= cm，
2 2
21
∴CE=❑√CD2+DE2= ❑√5cm，
2
∵AD∥BC，
∴∠EPC=∠BCP=∠ECP，
21
∴EP=CE= ❑√5cm，
2
(21 21)
∴AP=EP−AE= ❑√5− cm，
2 2
∵AD∥BC，
∴△PAG∽△CBG，
21 21
AG AP ❑√5−
∴ = ，即AG 2 2 ❑√5−1，
BG BC = =
BG 21 2
∴G是AB的黄金分割点．
【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的
判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
【题型5 运用相似三角形解决格点问题】
【例5】（23-24九年级·江苏扬州·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点
A、B、C、D均在格点上．
PD
(1)在图①中， =______；（填两数字之比）
PA
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
AP 3
①如图②，在线段AB上找一点P，使 = ；
BP 2
②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
1
【答案】(1)
3(2)①见解析；②见解析
【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
PD CD 1
（1）证明△ABP∽△DCP，即可求得 = = ；
PA AB 3
（2）①如图，取格点E、F，连接EF交AB于点P，利用相似三角形的判定和性质即可得解；
②如图，取格点T，连接DT交AB于点P，利用相似三角形的判定即可得解．
【详解】（1）解：∵AB=3，CD=1，且AB∥CD，
∴△ABP∽△DCP，
PD CD 1
∴ = = ，
PA AB 3
1
故答案为： ；
3
（2）解：①点P如图所示，
；
②点P如图所示，
．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，请按要求作图．
(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）．(2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ=2AQ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解；
（2）根据平行线分线段成比例定理，在网格中画出符合条件的图形．
【详解】（1）如图
（答案不唯一）
（2）如图
【点睛】本题主要考查作图－相似的变换，解题的关键在于熟练掌握相似三角形判定与性质以及平行线分
线段成比例定理．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）在5×5的方格中，△ABC是格点三角形（三角形的顶点
在格点上）
(1)要求在图1的方格中，画一个与△ABC相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．(2)要求在图2的方格中，画一个与△ABC相似且相似比不为整数的格点三角形．
(3)要求在图3的方格中，画一个与△ABC相似且面积最大的格点三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用勾股定理画出一个△≝¿使得△≝∽△ABC，且相似比为2即可；
（2）利用勾股定理画出一个△≝¿使得△≝∽△ABC，且相似比为❑√2即可；
（3）将△ABC的边长扩大❑√5倍，利用勾股定理画出对应的三角形即可．
【详解】（1）解：如图所示，△≝¿即为所求；
∵AB=❑√12+12=❑√2，AC=BC=❑√12+22=❑√5，DE=❑√22+22=2❑√2，DF=EF=❑√42+22=2❑√5，
DE DF EF
∴ = = =2，
AB AC BC
∴△≝∽△ABC，
∴△≝¿即为所求；
（2）解：如图所示，△≝¿即为所求；
DE DF EF
同理可得 = = =❑√2，
AB AC BC
∴△≝∽△ABC，
∴△≝¿即为所求；
（3）解：如图所示，△PQM即为所求；【点睛】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关
键．
【变式5-3】（2024·江苏无锡·一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、
C、D均在格点上．
(1)在图①中，PC：PB= ．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
1
【答案】(1)
3
(2)图见解析
【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【详解】（1）解：图1中，
∵AB∥CD，
PC CD 1
∴ = = ，
PB AB 3
1
故答案为： ．
3（2）解：①在网格图②中，AB=❑√32+42=5，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵BC∥AD，
AP AD 3 AP 3
∴ = = ， = ，
BP CB 2 5−AP 2
解得：AP=3，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点．
【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相
似三角形．
【题型6 运用相似三角形探究线段之间的关系】
【例6】（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折
叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
3
(2)GH=
4
❑√6
(3)BG= AB，见解析
6
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH；
（2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据
△BMG∽△MAP，得出大小关系．
【详解】（1）证明：如图，
∵ ABCD
四边形 是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH=∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠A=∠D=∠C=90°，
∵P为CD中点，
1
∴DP=CP= ×2=1，
2
设EP=AE=x，
∴ED=AD−x=3−x，
在Rt△EDP中，EP2=ED2+DP2，即x2=(3−x) 2+1，
5
解得x= ，
3
5
∴EP=AP=x= ，
3
4
∴ED=AD−AE= ，
3
∵△EDP∽△PCH，
4 5
ED EP
∴ = ，即3 3 ，
PC PH =
1 PH
5
∴PH= ，
4
∵PG=AB=2，
3
∴GH=PG−PH= ．
4
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E F AD BC ABFE EF A P CD
， 分别在 ， 上，将四边形 沿 翻折，使 的对称点 落在 上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE=EP，
∴∠EAP=∠EPA，
∴∠BAP=∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA=MP，
∵P为CD中点，
∴设DP=CP= y，
∴AB=PG=CD=2y，∵H为BC中点，
∴BH=CH，
∵∠BHM=∠CHP，∠CBM=∠PCH，
∴△MBH≌△PCH(ASA)，
∴BM=CP= y，HM=HP，
∴MP=MA=MB+AB=3 y，
1 3
∴HP= PM= y，
2 2
❑√5
在Rt△PCH中，CH=❑√PH2−PC2= y，
2
∴BC=2CH=❑√5 y，
∴AD=BC=❑√5 y，
在Rt△APD中，AP=❑√AD2+PD2=❑√6 y，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△AMP，
BG BM 1
∴ = = ，
AP AM 3
❑√6
∴BG= y，
3
AB 2y
= =❑√6
∴ BG ❑√6 ，
y
3
❑√6
∴AB=❑√6BG，即BG= AB．
6
【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知
识，熟练掌握以上基础知识是解题关键．
【变式6-1】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形DEFG（其中
AB>DE），连接AG，CE交于点H，判断线段AG与CE的数量关系及位置关系；（2）如图2，已知矩形ABCD和矩形DEFG，AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，将矩形DEFG绕点
D逆时针旋转α(0°<α<360°)，连接AG，CE交于点H，（1）中线段数量关系还成立吗？若成立，请写
出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AG=CE，AG⊥CE；（2）不成立，2AG=CE，AG⊥CE
【分析】（1）根据四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形可证明△GDA≌△EDC(SAS)，从而得到
AG=CE；根据全等三角形的性质得到∠HOA+∠DAG=90°即可证明AG⊥CE；
（2）根据四边形ABCD和四边形DEFG都是矩形和AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，可证明
△GDA∽△EDC，根据相似三角形的性质得到∠HOA+∠DAG=90°即可证明AG⊥CE．
【详解】解：（1）
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴DE=DG，AD=CD，∠EDG=∠ADC=90°，
∴∠EDG+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠GDA=∠EDC，
∴△GDA≌△EDC(SAS)，
∴AG=CE；∠DCE=∠DAG，
∵∠HOA=∠DOC，∠DCE+∠DOC=90°，∴∠HOA+∠DAG=90°，
∴∠AHO=90°，
∴AG⊥CE；
解：（2）不成立；
如图：
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是矩形，
∴∠EDG=∠ADC=90°，
∴∠EDG+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠GDA=∠EDC，
∵AD=2DG，AB=2DE，AD=DE，
∴DC=2DE=2AD，DE=2DG，
DG AD 1
∴ = = ，
DE DC 2
∴△GDA∽△EDC，
∴2AG=CE；∠DCE=∠DAG，
∵∠HOA=∠DOC，∠DCE+∠DOC=90°，
∴∠HOA+∠DAG=90°，
∴∠AHO=90°，
∴AG⊥CE；
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
灵活运用所学知识和找到角之间的关系是关键．
【变式6-2】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接
AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．(1)求证：∠DAE=∠DCE；
(2)求证：△ECF∽△EGC；
(3)当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)FG=3EF，证明见解析
【分析】（1）根据菱形的性质，可得到∠ADB=∠CDE，AD=CD，证明两三角形全等，可得到对应
角相等，进而得到答案；
（2）根据已知条件可以找到两个三角形的三个对应角相等，因此可证明出相似；
（3）根据（1）（2）中的已知条件可以找到相等的边，再根据相似三角形对应边成比例可得出最终结
果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠CDE，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，
{
AD=CD
)
∠ADB=∠CDE ，
ED=ED
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE；
（2）证明：由（1）可得∠DAE=∠DCE，
∵四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，
∴AD∥BG，
∴∠DAE=∠G，
∴∠DCE=∠G，
又∠CEF=∠GEC，
∴∠EFC=∠ECG，
在ΔECF和△EGC中，
{
∠DAE=∠G
)
∠CEF=∠GEC ，
∠EFC=∠ECG
∴△ECF∽△EGC；（3）解：当AE=2EF时，FG=3EF，证明如下：
由（2）可得△ECF∽△EGC，
EF CE
∴ = ，
EC EG
∵△ADE≌△CDE，
∴EC=AE，
EF AE
∴ = ，
AE EG
又AE=2EF，EG=EF+FG，
1 2EF
∴ = ，
2 EF+FG
整理可得FG=3EF．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形、相似三角形，解题的关键是找到各个角度、各个边长之间
的关系．
【变式6-3】（2024·河南信阳·模拟预测）阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC
的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
(1)解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，
从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中，即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为______；
(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，
若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图3，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且
∠EDF=∠BAE，试判断AB，DF，CF之间的数量关系，直接写出你的结论．
【答案】(1)AD=AB+DC
(2)AB=AF+CF，证明见解析
2
(3)AB= (CF+DF)
3【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、解题的关
键是灵活运用相关的性质定理和判定定理．
（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据
等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；
（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形
2
的性质得到AB= CG，计算即可．
3
【详解】（1）解：如图①，延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△AEB和△FEC中，
{
∠BAF=∠F
)
∠AEB=∠FEC ，
BE=CE
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD，
∴AD=DC+CF=DC+AB，
故答案为：AD=AB+DC；
（2）AB=AF+CF，
证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E BC
是 的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
{
∠BAE=∠G
)
∠AEB=∠GEC ，
BE=CE
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF；
2
（3）AB= (CF+DF)，
3
证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF
，
∴△AEB∽△GEC，
AB BE 2 2
∴ = = ，即AB= CG，
CG EC 3 3
∵AB∥CF，
∴∠A=∠G，
∵∠EDF=∠BAE，
∴∠FDG=∠G，
∴FD=FG，
2 2
∴AB= CG= (CF+DF)．
3 3
【题型7 运用相似三角形解决尺规作图问题】
【例7】（2024·河北沧州·模拟预测）如图，在△ABC中，用尺规按①到③的步骤作图：
①以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；
1
②分别以F、E为圆心，大于 FE为半径画弧，两弧相交于点G；
2
③作射线AG，交BC于点D；
结论Ⅰ：线段AD上必有一点M，使得S +S >S ；
△ABM △ACM △BCM
AB BD
结论Ⅱ： = ；
AC CD
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是( )A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对 B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对
C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对 D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对
【答案】A
【分析】取△ABC的内心M，连接BM，CM，过点M作MH⊥AB，MK⊥BC，MN⊥AC，垂足分
1 1
别为H，K，N，得出MH=MK=MN，根据三角形面积公式得出S = AB⋅MH= rAB，
△ABM 2 2
1 1 1 1
S = AC⋅MN= rAC，S = BC⋅MK= rBC，根据三角形三边之间的关系得出
△ACM 2 2 △BCM 2 2
AB+AC>BC，则S +S >S ，即可判断结论Ⅰ正确；过点C作CH∥AB，交AG于点H，
△ABM △ACM △BCM
AB BD
证明 △CDH∽△BDA，得出 = ，即可判断结论Ⅱ正确．
AC CD
【详解】解：由题意得：AG为∠BAC的平分线，
∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，
∴△ABC的内心在AG上，
取△ABC的内心M，连接BM，CM，过点M作MH⊥AB，MK⊥BC，MN⊥AC，垂足分别为H，
K，N，如图，
则MH=MK=MN，
设MH=MK=MN=r，1 1 1 1 1 1
∴ S = AB⋅MH= rAB，S = AC⋅MN= rAC，S = BC⋅MK= rBC，
△ABM 2 2 △ACM 2 2 △BCM 2 2
1
∴S +S = r(AB+AC)，
△ABM △ACM 2
∵AB+AC>BC，
∴S +S >S ，
△ABM △ACM △BCM
∴线段AD上必有一点M，使得S +S >S ．
△ABM △ACM △BCM
∴结论Ⅰ正确；
过点C作CH∥AB，交AG于点H，如图，
∴∠CHA=∠BAD，
∵AG为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CHA=∠CAD，
∴CH=AC．
∵CH∥AB，
∴△CDH∽△BDA，
BD AB
∴ = ，
CD CH
AB BD
∴ = ．
AC CD
∴结论Ⅱ正确．
综上，结论Ⅰ和结论Ⅱ都对．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形三条角
平分线的交点到三边的距离相等，角平分线上的点到两边的距离相等，相似三角形对应边成比例．【变式7-1】（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，
1
以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点E；②以点E为圆心，以BE的长为
2
半径作弧交边AC于点F．若AB=AC=3，BC=2，则CF的长为 ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，先证明AD是BC的垂直平分
AB AC CB 3 3 2
线，再通过夹角相等两边成比例证明△ABC∽△FEC，列式代入数值得出 = = ， = =
FE CE CF 1 1 CF
，即可作答．
【详解】解：连接EF，BD，CD，如图所示：
1
∵分别以点B和C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD交边BC于点E；
2
∴BD=CD，
∵AB=AC=3，
∴AD是BC的垂直平分线，
1
∴EB=CE= BC=1，
2
∵以点E为圆心，以BE的长为半径作弧交边AC于点F．
∴EB=FE∴CE=EB=FE=1
AB AC
∵∠C=∠C， =
FE CE
∴△ABC∽△FEC
AB AC CB 3 3 2
则 = = ， = =
FE CE CF 1 1 CF
2
解得CF=
3
2
故答案为：
3
【变式7-2】（2024·江苏镇江·二模）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请
认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．
1
如图，①分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②
2
连接AC，BC，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，
1
交AB于点F．点F即为AB的一个三等分点（即AF= AB)．
3
学习任务：
(1)填空：四边形ADBC的形状是 ； 你的依据是 ；
1
(2)证明： AF= AB
3
【答案】(1)菱形，四条边相等的四边形为菱形
(2)见解析
【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定
与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的判定与性质解答即可；
（2）利用菱形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【详解】（1）解：由作法可知：AC=AD=BC=BD，
∴四边形ADBC的形状是菱形，
依据是：四条边相等的四边形为菱形；
故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，
∴AC∥BE，
∴∠ACE=∠CEB,∠AFC=∠BFE，
∴△AFC∽△BFE，
AF AC
∴ = ，
FB BE
∵AC=BD，BD=DE，
∴BE=2AC，
AF 1
∴ = ，
FB 2
∴FB=2AF，
∴AB=3AF．
1
∴AF= AB．
3
【变式7-3】（2024·辽宁抚顺·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点E是边AC
上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当
1
长为半径画弧交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧的交点为
2
G；③作射线AG．若射线AG经过点D，则AE的长度为（ ）
8 15 20 25
A． B． C． D．
13 13 13 13
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了相似三角形的判
定与性质．设AE=x，先利用勾股定理计算出AC=4，则CE=4−x，再利用基本作图得到AD平分∠CAB，接着证
明∠EDA=∠EAD得到DE=AE=x，然后证明△CEF∽△CAB，则利用相似比得到CE:CA=EF:AB
，即(4−x):4=2x:5，于是解方程可得到AE的长．
【详解】解：设AE=x，
∵∠C=90°,AB=5,BC=3，
∴AC=❑√52−32=4，
由作法得AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠EAD，
∵ EF∥AB，
∴∠BAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠EAD，
∴DE=AE=x，
∵D为线段EF的中点，
∴EF=2x，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴CE:CA=EF:AB，即(4−x):4=2x:5，
20
解得x= ，
13
20
即AE的长为 ．
13
故选：C．
【题型8 运用相似三角形解决动点问题】
【例8】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，Rt△AOB中，∠O=90°，OA=20cm，OB=15cm，动
点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，动直线EF从OA开始以每秒1cm的速度向上平
行移动，分别与OB,AB交于点E，F，连接EP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．当t
为 时，△EOP与△BOA相似．80
【答案】6或
11
【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据∠EOP与∠BOA都是直角，当△EOP与△BOA相似时，O
与O是对应点，因此分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况讨论,根据相似列方程解之即可．
【详解】解：∵动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向O运动，OA=20cm，
∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm，
又∵动直线EF从OA开始以每秒1cm的速度向上平行移动，
∴OE=tcm，
根据∠EOP与∠BOA都是直角，O与O是对应点，因此分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况
讨论，
OE OP t 20−2t
当△EOP∽△BOA，即 = 时， = ，
OB OA 15 20
解得：t=6，
OE OP t 20−2t
当△EOP∽△AOB，即 = 时， = ，
OA OB 20 15
80
解得：t= ，
11
80
综上所述：当t=6或 时，△EOP与△BOA相似，
11
80
故答案时：6或 ．
11
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，过点B作
射线BM∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线
AC方向以每秒2个单位的速度运动．过点E作EF⊥AC交射线BM于F，G是EF中点，连接DG．设点
D运动的时间为t，当△DEG与△ACB相似且点D位于点E左侧时，t的值为 ．
2 2
【答案】3或 / 或3
3 3DE AC DE BC
【分析】若ΔDEG与ΔACB相似，分情况讨论，则 = 或 = ，由相似三角形的性质可求
EG BC EG AC
解．
【详解】解：如下图：
∵EF=BC=8，G是EF的中点，
∴≥=4．
点D位于点E左侧时，即AD
