专题27.5图形的位似变换（十大题型）（举一反三）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2025版

专题 27.5 图形的位似变换【十大题型】 【人教版】 【题型1 辨别位似图形】..........................................................................................................................................2 【题型2 确定位似中心】..........................................................................................................................................3 【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】.........................................................................................................4 【题型4 求位似图形的相似比】..............................................................................................................................5 【题型5 画位似图形】..............................................................................................................................................6 【题型6 求位似图形的线段长度】..........................................................................................................................8 【题型7 求位似图形的周长】..................................................................................................................................9 【题型8 求位似图形的面积】................................................................................................................................10 【题型9 求位似图形的坐标】................................................................................................................................11 【题型10 与位似图形相关的规律】........................................................................................................................13 知识点：图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个 图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标 的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图 形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边 平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位 似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【题型1 辨别位似图形】 【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下： 嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形 与原正方形相似，同时也位似； 淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延 伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对D．嘉嘉不对，淇淇对 【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在 墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图 中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与 △A′B′C′不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【题型2 确定位似中心】 【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′位似，则位似中心 是（ ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中 心位置可选在（ ） A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若 位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（ ） A． B． C． D． 【题型3 由位似图形的性质判断结论正误】 【例3】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点 D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ） A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1 【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位 似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线 所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于 相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（ ） A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④ 【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是 （ ） A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心 C．AE︰AD是位似比 D．点B与点E、点C与点D是对应位似点 【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O 为位似中心，将△ABC扩大得到△AB C ,且△ABC 与△AB C 的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( ) 1 1 1 1 1 1 A．△ABC∽△A B C B．△AB C 的周长为6+3❑√2 1 1 1 1 1 1 C．△AB C 的面积为3 D．点B 的坐标可能是(6，6) 1 1 1 1 【题型4 求位似图形的相似比】 【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x 、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知 AC=3❑√2，若点A′的坐标为(1,2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ） 1 1 1 2 A． B． C． D． 6 3 2 3 【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似 图形是 （用图中字母表示），△ABC与该三角形的位似比为 ．【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,−1)，以原点为位 似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′ (1,2)，B′( 2, 2) ，C′(2 ,− 1) ，则△A′B′C′与 3 3 3 △ABC的位似比是 ． 【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分别是 OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比为 ． 【题型5 画位似图形】 【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别为A(−2,2) ，B(−4,0)，C(−4,−4)，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且 相似比是1:2．(1)请画出△A′B′C′； (2)请直接写出△A′B′C′各顶点的坐标； (3)若△ABC内部一点M的坐标为（a,b），则点M的对应点M′的坐标是___________． 【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅 用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的△A B C ． 1 1 1 AM 3 (2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得 = ． BM 2 (3)在图3中，利用格点在AC边上作－个点D，使得△ABD∽ACB． 【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点O和点A 在格点上，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上）． 1(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A B C ，点A、B、C的对应点分别为点A 、B 和C ； 1 1 1 1 1 1 (2)△A B C 与△ABC的周长之比为______． 1 1 1 【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格 点．A,B,C都是格点，点P在BC上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，将线段AB沿BC的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段CD，再将PC绕AC的 中点顺时针旋转180°，得到GA，画出线段GA； 1 (2)在图2中，将△APC以点C为位似中心缩小为原来的 得到△EFC，画出△EFC； 2 (3)在图3中，在AC上画一点M，在AB上画一点N，使得PM+MN最小． 【题型6 求位似图形的线段长度】 【例6】（2024·浙江温州·三模）如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知 OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到 △A′B′C′，则AO:A A′的值为（ ）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．3:2 【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线， 连结A A′、BB′、CC′．已知BC=4，2OA=OA′，2OB=OB'，2OC=OC′．则D′E′的长度为 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形 AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为 ． 【题型7 求位似图形的周长】 【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△≝¿．若 AD=OA，则△ABC与△≝¿的周长之比为（ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2 OC 【变式7-1】（2024·重庆·三模）如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，若 =2，△ABC的周长 OF为8，则△≝¿的周长为（ ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA： OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．18 【变式7-3】（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′， OA 2 已知 = ，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 ． A′ A 5 【题型8 求位似图形的面积】 【例8】（23-24九年级·浙江·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心． OE 2 若 = ，四边形ABCD的面积是25，则四边形EFGH的面积是（ ） EA 3100 50 A．4 B．10 C． D． 9 3 【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四 边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2:3，连接BP，DP，若平行四边形ABCD 的面积为20，则△PBE与△PDF的面积之和为 【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1： 2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方 1 形A′B′C′D′，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为 ，若整个图形的 2 外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）A．2+❑√2 B．4+2❑√2 C．6+3❑√2 D．8+4❑√2 【题型9 求位似图形的坐标】 【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）如图， Rt△ABC与Rt△EFG是关于y轴上一点的位似图形，若 B(−4,4)，F(2,1)则位似中心的坐标为（ ） ( 3) A．(0,1) B．(0,2) C．(0,3) D． 0, 2 【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点 E 4, 2, F 2, 2 ，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把EFO 缩小为EF O ，则点 E 的对应点 E 的坐标为 . 【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中 心．若点B的坐标为(2，3)，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为 ．【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O(0,0)， B(2,0)，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的4倍，则点 A对应点A′的坐标为（ ） A．(1 ❑√3) B． 或 , (2❑√3,2) (−2❑√3,−2) 2 2 C． D． 或 (4,4❑√3) (2,2❑√3) (−2,−2❑√3) 【题型10 与位似图形相关的规律】 【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8 1 的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA B ，其边长OA 缩小为OA的 1 1 1 2 1 ，经第二次变换后得到等边三角形OA B ，其边长OA 缩小为OA 的 ，经第三次变换后得到等边三角形 2 2 2 1 2 1 OA B ，其边长OA 缩小为OA 的 ，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OA B ．的顶点A 3 3 3 2 n n n 2 1 的坐标为（ ，0），则n的值是（ ） 28A．8 B．9 C．10 D．11 【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位 长度，以点P为位似中心作正方形PA A A ，正方形PA A A ……按此规律作下去，所作正方形的顶 1 2 3 4 5 6 点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为P(−3,0)，A (−2,1)，A (−1,0)，A (−2,−1)，则顶点 1 2 3 A 的坐标为（ ） 2024 【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）如图，正方形A B C D 可看成是分别以A、B、C、 1 1 1 1 D为位似中心将正方形ABCD放大一倍得到的图形（正方形ABCD的边长放大到原来的3倍），由正方形 ABCD到正方形A B C D ，我们称之作了一次变换，再将正方形A B C D 作一次变换就得到正方形 1 1 1 1 1 1 1 1 A B C D ，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形A B C D ，若正方形ABCD的面 2 2 2 2 2005 2005 2005 2005 积是1，那么正方形A B C D 的面积是多少（ ） 2005 2005 2005 2005A．32005 B．32004 C．34010 D．34009 【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A B C A 与正方形 1 1 1 2 1 A B C A 是以O为位似中心的位似图形，且位似比为 ，点A ，A ，A 在x轴上，延长A C 交射线 2 2 2 3 2 1 2 3 3 2 OB 与点B ，以A B 为边作正方形A B C A ；延长A C ，交射线OB 与点B ，以A B 为边作正方 1 3 3 3 3 3 3 4 4 3 1 4 4 4 形A B C A ；…按照这样的规律继续作下去，若OA =1，则正方形A B C A 的面积为 4 4 4 5 1 2022 2022 2022 2023 ．