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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 23 练 平面向量基本定理和坐标表示（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），
设 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
3．（2022·天津·统考高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示
为___________，若 ，则 的最大值为____________
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知点 ，向量 ，则向量 等于（ ）
A． B．
C． D．2．已知 为坐标原点，点 ， ， 是线段AB的中点，那么向量 的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．已知 ， ， ，则m＝（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
5．在 中，已知 是 边上的中点， 是 的中点，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．1
6．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．
7．如图，在 OAB中，P为线段AB上的一点，且 ．若 ，则（ ）
△
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．在梯形 中，若 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
9．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．平行四边形 中，点 在边 上， ，记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
11．在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．在 中 ，点 为 与 的交点， ，则
（ ）
A．0 B． C． D．
14．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵
爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦
图”中，若 ，则 （ ）A． B．
C． D．
15．如图，在 中， ， 为CD的中点，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．已知点 ， ，则下列向量与 平行的向量是（ ）
A． B．
C． D．
17．如图， ，线段 与 交于点 ，记 ，则（ ）A． B．
C． D．
18．如图，在平行四边形 中，E、F分别是 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）.
A． B．
C． D．
19．已知M为 ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
△
A． B．
C． D．
20．设点M是 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则点M是BC的中点
B．若 ，则点M是 的重心
C．若 ，则点M，B，C三点共线
D．若 ，则 ，三、填空题
21．已知 ， ， 与 平行，则实数 的值为______.
22．已知点 ，若向量 ，则点 的坐标是__________.
23．已知 ，三点 、 、 共线，则 ______．
24．如图，在 中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且 ，用向量 、 表示 .
_________________
25．已知向量 ， ， ，若 、 、 三点共线，则 __________.
26．已知在平行四边形ABCD中，点E满足 ， ，则实数 ______．
27．在 中，点 满足: ， ，若 ，则 =_________.
28．已知 的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足 ， ，连接AD，BE
交于点 ，则 的面积为________．
29．若 ，点D在第一象限且 ，则实数 的取值范围是____________．
四、解答题
30．如图，在 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，设 .(1)用向量 与 表示向量 ；
(2)若 ，求证： 三点共线.
31．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，BF交于点G.若
，求 的值.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在 中，点 ， 分别在边 和边 上， ， 分别为 和 的三等分点，点 靠近
点 ，点 靠近点 ， 交 于点 ，设 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
3．在 中， 满足 ，点 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，则 ，则
的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
5．在 中，点 是边 所在直线上的一点，且 ，点 在直线 上，若向量
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．9
6．如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过点 的直线分别交直线 ， 于点
， ，若 ， ，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
7．在正六边形 中，点 是 内（包括边界）的一个动点，设 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．向量 ， ， ，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（ ）
A．2 B．－2 C．11 D．－11
9．下列说法中正确的有（ ）
A．已知 是平面内两个非零向量，对于实数 ， ， 一定在该平面内
B．已知 ， 是平面内的一组基底，若实数 ， 使 ，则
C．已知 是平面内两个非零向量，若实数 ， ， ， 使 ，则 ，
D．已知 ， 是平面内的一组基底，对平面内任一向量 ，使 的实数 ， 有且只有一
对
10．在直角梯形 中， 为 中点， 分别为线段 的两个三等分点，点
为线段 上任意一点，若 ，则 的值可能是（ ）A．1 B． C． D．3
11．在 所在的平面上存在一点 ， ，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的外心
B．若 ，则点 的轨迹不可能经过 的垂心
C．若 ，则点 的轨迹可能经过 的重心
D．若 ，则点 的轨迹可能经过 的内心
三、填空题
12．如图，在 中，D为边BC的中点，E为AD靠近A点的三等分点，若 ，则
_____________.
13．如图，在 中， ， ，直线 交 于点 ，若 则
_________ .
14．正 的边长为 ，中心为点 ，过 的动直线 与边 、 分别相交于点 、 ， ，， ， ，给出下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③ 不是定值，与直线 的位置有关；
④ 的最小值为 .
其中所有正确结论的序号是______.
15．如图， 中， 为 边的中点， 为线段 上的任意一点（不含 ， ），且
，（x， ），若 恒成立，则实数a的最大值为_______．
四、解答题
16．如图所示，在 中，点 是BC的中点，点 在边AC上，且 ， 与BN相交于
点 ，求证： ．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在 中， ， ， ，点 在该三角形的内切圆上运动，若 （ ，
为实数），则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
2．如图，点C是半径为1的扇形圆弧 上一点，且 ，若 ，则 的最大
值是（ ）
A．1 B． C． D．4
3．在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．已知点 在 所在的平面内，满足 ，则点 是 的外心
B．已知平面向量 ， ， 满足 ， ，则 为等腰直角
三角形
C．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则 是等
边三角形
D．在矩形ABCD中， ， ，动点 在以点 为圆心且与BD相切的圆上．若
，则 的最大值为1．
三、填空题
5．已知平面向量 ， ， ，满足 ， ， 且 ，若对每一个确定的向量 ，记 的最小值为 ，则当 变化时，实数 的最大值为__________.
6．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，
亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）
类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一
个较大的等边三角形，设 ，若 ，则 的值为______.
四、解答题
7．已知 中， ， ， ，Q是边AB（含端点）上的动点.
(1)若 ，O点为AP与CQ的交点，请用 ， 表示 ；
(2)若点Q使得 ，求 的取值范围及 的最大值.
