文档内容
专题 28.3 解直角三角形的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 仰角俯角问题】..........................................................................................................................................1
【题型2 坡度坡比问题】..........................................................................................................................................3
【题型3 方向角问题】..............................................................................................................................................4
【题型4 物理模型问题】..........................................................................................................................................6
【题型5 实物抽象模型问题】..................................................................................................................................8
【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】...........................................................................................................10
【题型7 临界值问题】............................................................................................................................................11
【题型8 方案设计问题】........................................................................................................................................14
【题型1 仰角俯角问题】
【例1】（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组
合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，
如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的
俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．
(1)求CD的长；
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：
sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75）
【变式1-1】（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，
DE=36m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯
角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
(1)求线段CD的长（结果取整数）；
(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,tan6°≈0.1．
【变式1-2】（2024·河南新乡·二模）甲乙两楼是两幢完全一样的房子，小明与小奇住在甲幢．为测量房子
的高度，制定如下方案：两幢房子截面图如图，AB= 14m，小明在离屋檐A处3m的点F处水平放置平面
镜（平面镜的大小忽略不计），小奇在离点F水平距离4m的点N处恰好在镜子中看到乙幢屋顶H，此时测
得小奇眼睛与镜面的竖直距离MN=0.8m．下楼后，小明在地面点E处测得点C的仰角为35°，点E与C，
H在一条直线上，点A，B，E，D，C在同一平面内，BE=5m，求房子的高度．（精确到0.1m，参考数
据：sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70）
【变式1-3】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九
年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日
记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷
锋像的长度，AB表示底座高度，BC表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角22°，点C的仰角
45°，后退2米到达点E处后测得点C的仰角37°，点A、D、E在同一直线上，AC⊥DE．（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，
❑√2≈1.41）(1)求∠DCE+∠BDC的度数；
(2)①求AC的长；
②求BC的长．
【题型2 坡度坡比问题】
【例2】（2024·海南海口·一模）如图，5G时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动
公司为了提升网络信号在坡度i=1:2.4（即DB:AB=1:2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端
Q到坡底A的距离为13m．当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，且AM=8m,ME=9m．
(1)AQ= m，∠PEN= °；
(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）如图，为一个斜面ABC，坡比i=1:❑√3．斜面的高AB=5cm．为了
减小小球下滑的速度，将坡面AC换成新坡面AD，且∠ADB=15°．
(1)求新坡面AD的坡比以及新坡面AD的长；
(2)原坡面AC的底部距离铁板EF的距离为20cm．经过实验，坡面底部与铁板EF的距离必须大于12cm，
小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面AD静止滑下，会不会与铁板相撞？
【变式2-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立
柱AB（与水平地面BF垂直）上，其影子的一部分落在地面BC上，另一部分落在斜坡CE上，且CD⊥AD，经测量，BC=2米，CD=8.5米，斜坡的坡角∠ECF=32°，求立柱AB的高．（结果精确到
0.1米，参考数据：sin32°≈0．53，cos32°≈0．85，tan32°≈0．62）
【变式2-3】（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，
同时可以储存水资源．已知AB为水平地面，斜坡BC的坡角为θ=37°，AC⊥AB于点A．在斜坡BC的
正中央修建水坝DE，已知DE⊥AB，点E与点C在同一条水平线上．经测量AC=30m．
(1)求水坝DE的高度；
(2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝DE的下方又修建了临时防护栏FG．
已知C、E、G三点共线，∠FGB=23°．已知洪水越过了大坝DE后每分钟上涨4m，这一阶段持续时间为
6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏FG？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
5 12
sin23°≈ ，cos23°≈ ）
13 13
【题型3 方向角问题】
【例3】（2024·重庆·模拟预测）如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E
—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，
点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．
（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）(1)求DE的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）如图为某公园平面图，小明沿路线A→B→C→E跑步运动，小刚
沿路线G→D→E跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北
方向，CE∥AG，点D位于点G北偏西60°方向，点E位于点D北偏西30°方向，且DG=DE，已知
AB=400米， AG=1900米， CE=300米，（参考数据 ❑√2≈1.4,❑√3≈1.7,❑√6≈2.5)
(1)求BC的距离．（结果保留到个位）
(2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小
明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达
点E．
【变式3-2】（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°
16❑√3
方向，且A，B相距 海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正
3
北方向．(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯
塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，
求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
【变式3-3】（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金
沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，
在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A
处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°
方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB=100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1
米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，
cos21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
【题型4 物理模型问题】
【例4】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角
∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，
能看到的水平地面上最远处D到他的距离是CD的长度．
(1)求∠D的度数；
(2)求CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【变式4-1】（2024·湖南·一模）小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准
电视．小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生
反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想．如图所示，CD为竖直的
平面镜（CD足够长），AB的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，AB⊥CD，小华坐在距离AB距
离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜CD持续按按钮，发现当α≤∠DQH≤β时电视可以换台
（假设红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围AB．（结果含α,β,d）
【变式4-2】（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意
图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对
帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F 与F ，其中与帆平行的力F 不起作用，与
1 2 1
帆垂直的力F 仪可以分解为两个力f 与f ,f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f 与航行方向一致，是真
2 1 2 1 2
正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F=AD=400，
则f =CD= ．（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cos40°=0.77）
2【变式4-3】（23-24九年级·江苏·期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一
个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A
点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置
缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已
知∠BAD=30°,AB=8dm,CA⊥AD于点D且CA=10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答
过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号）
【题型5 实物抽象模型问题】
【例5】（2024·广东深圳·模拟预测）周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反
应及时，车子才慢慢停了下来．淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了．爸爸说，只要把备胎换上
就行了．于是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意．图（1）是一种
利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆
连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距
离）．已知AB=40cm，∠ADC=60°，当千斤顶升高 cm时，四边形ABCD为正方形．（参考
数据：❑√2≈1.414，❑√3≈1.732，结果保留整数）【变式5-1】（23-24九年级·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，
门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角
的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为120°，从室内看门框露在外面部分的宽为4cm，
求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到
0.1cm，❑√3≈1.73）
【变式5-2】（23-24九年级·山东济南·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘
OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB=3米，∠BEA=90°，当α=37°，β=58°
时．（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，
cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
(1)求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长；
(2)求AO的长．
【变式5-3】（2024·江西吉安·一模）如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的
显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长AB=20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示
屏的上沿CD与AB平行，CD=15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE=10cm，CE=2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．(参考数据：sin35°≈0.574，
cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果精确到0.1cm)
(1)求显示屏所在部分的宽度CM；
(2)求镜头A到地面的距离．
【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】
【例6】（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测
量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走❑√10米到达斜
坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜面CF的坡度为i=1：3(点E、C、B在同一水平线上
)．
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
(2)求大树AB的高度（结果保留根号）．
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取
了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40°，若DE=55米，DE⊥CE，CE=36米，CE
平行于AB，BC的坡度为i=1:0.75，坡长BC=140米，求AB的长（精确到0.1米，参考数据：
sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【变式6-2】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山DE高412米，其斜坡DC的坡度为i=1:1，它的前
面有一座建筑物．为了测量建筑物AB的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为
30°，60°．求建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，❑√2≈1.41,❑√3≈1.73）
【变式6-3】（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．
某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高
度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长
为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔
杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．
（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，❑√3≈1.73）
【题型7 临界值问题】
【例7】（23-24九年级·江苏南通·开学考试）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两
排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线
AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．(1)求AE的长（结果取整数）；
(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此时，
若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，❑√6≈2.45，
三角函数锐角A 13° 28° 32°
sin A 0.22 0.47 0.53
cosA 0.97 0.88 0.85
tan A 0.23 0.53 0.62
【变式7-1】（2024·福建泉州·二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形ABCDE为五棱镜的
一个截面，AB⊥BC．光线垂直AB射入，且只在CD和EA上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，
最后光线垂直BC射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的
1
条件为折射率n= )
sinθ
1 1 1 1
A． B． C． D．
cos22.5° cos45° sin45° sin22.5°
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子
的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直
的墙AO上．（参考数据：sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33，
sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin56°≈0.83,cos56°≈0.56,tan56°≈1.48）(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子底端B与墙AO距离（即BO）的最小值；
(2)当梯子顶端A与地面距离为3.32m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
【变式7-3】（23-24九年级·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，点O是边BC的中点，连接AO并延长至点D，连接BD，若OD>OA，
△ABD的面积为S ，△ABC的面积为S ，则S ________S 的大小（填“>”“=”“<”）
1 2 1 2
【问题探究】
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=30，BC=50，点D为BC边的中点，AE=10．问：
在BC边上是否存在一点F，使得线段EF恰好平分△ABC的面积？若存在，求出线段EF的长度，若不存
在，请说明理由．
【问题解决】
（3）我校有着丰富多彩的校园生活，为了让同学们进一步接触到更多的校园社团活动，提高空间利用率，3
现计划对校园部分区域进行改造，某区域是如图③的四边形ABCD，∠C=90°，BC=24米，tanB= ，
4
点E、F分别在边AB、BC上，四边形EFCD为矩形，边FE、ED将这块区域分成了三部分，其中，矩形
EFCD的面积为108平方米．为了方便通行，学校准备在这块区域中修一条笔直的小路MN（小路的两端
M、N分别在AB和BC上，且小路的宽度忽略不计），使得MN将四边形ABCD分成两部分，同时平分矩
形EFCD的面积，且使得区域△BMN的面积最小．试问学校的想法能否实现？若能，请求出这条小路MN
的长及△BMN面积的最小值；若不能，请说明理由．
【题型8 方案设计问题】
【例8】（23-24九年级·山东潍坊·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还
1
素 是收拢，AP是伞柄，伞骨AB=AC且AE= AB，
材 3
1 1
AF= AC，DE=DF，D点为伞圈．
3
伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的
素
示意图，此时伞圈D滑动到D′的位置，且A、E、D′
材 三点共线．测得AD′=50cm，AE=20cm，伞完全张
2 开时∠BAC=120°，如图1所示（参考值：
❑√600≈24.49）．项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打
素 的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面
材 夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正下方点G
3 处，记为GH，此时发现身上被雨淋湿，测得
BN=150cm．
问题解决
任
务 判断AP位置 求证：AP平分∠BAC．
1
任
当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移
务 探究伞圈移动距离
动的距离（精确到0.1）．
2
任
求伞至少向下移动距离 cm，使得人站在G
务 拟定撑伞方案
处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
3
【变式8-1】（2024·广东广州·一模）【项目式学习】为了测量某段河流的宽度，两个数学研学小组设计了
不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的数H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如表t
项目课
测量河流宽度
题
测量工
测量角度的仪器，皮尺等
具
测量小
第一小组 第二小组
组
测量方
案
示意图
说明 点B，C在点A的正东方向 点B在点A正东方向，点C在点A正西方向
数据 BC=200m，∠ABH=74°， BC=311m，∠ABH=74°，∠ACH=37°∠ACH=37°
请选择其中一个方案及其数据：
(1)求∠AHB的度数；
(2)求出河宽(精确到1m).参考数据：sin74°≈0.96，sin37°≈0.60，tan74≈3.50，tan37°≈0.75
【变式8-2】（23-24九年级·湖南娄底·期中）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它
到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．
某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案
如下：
课
检测新生物到皮肤的距离
题
工
医疗仪器等
具
示
意
图
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤
说
MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处7.5cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的
明
夹角为∠ECN．
测
量
∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=7.5cm
数
据
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：
sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70、sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【变式8-3】（2024·山西太原·二模）从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、
雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果．在某校校园内有一
块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、
解决问题．
数学 将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖
抽象 直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与BC平行．测量
老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50cm）
工具
测量 ∠AFE=90°，∠CDE=59°，∠BCD=101°，DE=50cm，EF=48cm，点C到宣传牌右侧立
数据 柱的距离CM的长为30cm．
提出
…
问题
小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数
据：，，，，，）
