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专题 4.8 轴对称最值问题必考两大类型（30 题）
【人教版】
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值】.........................................................................................1
【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值】.....................................................................5
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值】
【模型一】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
B
B A
A
P
P A'
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【模型二】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
A A
P'
M M
P P
B B
O N O N
P''
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折
线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【模型三】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
A A
P'
M P M P
Q Q
B B
O N O N
Q'
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化
折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【必刷真题】
1．（2024春•汉中期末）如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ
＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 ．
2．（2023秋•莘县期末）如图，已知∠AOB＝30°，P为∠AOB内一定点；M，N分别是射线OA，射线OB
上的点，若△PMN的周长最小值为6，则OP＝ ．
3．（2024秋•香坊区校级月考）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别
是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为 ．
4．（2024秋•新吴区校级月考）如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为 ．
5．（2024秋•望城区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，
P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 ．
6．（2023秋•赤壁市期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC
上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
7．（2024春•太平区期末）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和
BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 ．
8．（2023秋•滨城区期末）已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分
别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝ ，∠PQN＝ ．当MP+PQ+QN最小时，则 ﹣ ＝ ．
α β β α9．（2024•乐山模拟）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为
BC上一点，且BN＝MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 ．
10．（2023秋•临潼区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，△ABD是等边三角形，点
P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为 ．
11．（2023秋•华容区期末）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且
AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝ 度．
12．（2023•大连一模）在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，点E、F分别为AC和AB上的动点，BE与
CF相交于G点，当BE+EF+CF的值最小时，则∠ABE＝ °．13．（2023秋•蓬江区校级月考）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的
点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 ．
14．（2023秋•汉川市期末）如图，∠BAC＝38°，点D，点P分别是AB，AC上的定点，∠DPA＜14°，点
E，点F分别是AC，AB上的动点，当DE+EF+FP的值最小时，∠EFP﹣∠DEF＝ ．
15．（2023秋•夏邑县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝
30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 度．
【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值】
【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
A A
P'
M
P M P
B B
O N O N
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线
分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）【必刷真题】
1．（2024秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，
F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 ．
2．（2024秋•高新区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝8，CD平分∠ACB，如
果点P，点G分别为CD，AC上的动点，那么AP+PG的最小值是 ．
3．（2023秋•岳阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，
直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小
值是 ．
4．（2023秋•黑龙江期末）如图，点 E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为
C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为
．5．（2023秋•旌阳区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线MN
分别交AB，AC边于M，N点．若点D为BC边上一动点，点P为直线MN上一动点，当PC+PD的值最
小时，△CDP周长为 ．
6．（2024春•临渭区期末）如图，在△ABC中，BC＝BA＝36，∠C＝15°，AD平分∠BAC，点E、F分别
是射线AD和线段AC上的动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为 ．
7．（2023秋•宝塔区校级期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P
是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 ．8．（2023秋•丹江口市期末）如图，△ABC中，BC＝20，∠ABC＝15°，点F、E分别是AB，BC上的动点，
则EF+FC的最小值＝ ．
9．（2023秋•淮北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，BD平分∠ABC交
AC于点D，点E，F分别是BD，AB上的动点，则
（1）AD的长为 ；
（2）AE+EF的最小值为 ．
10．（2023秋•团风县期中）如图，等边△ABC和等腰△ABD，AB＝BD，点E，F分别为边AB，AD的中
点，若△ABD的面积为16，AD＝4，点M是CE上的动点，则△AMF的周长的最小值为 ．
11．（2023秋•千山区期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，
连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 （用含a，b的式子表
示）．
12．（2023秋•临平区月考）如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝8，AD是∠BAC的平分线．
若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．13．（2023秋•九龙坡区校级期中）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，BC＝b，BD平分
∠ABC交AC于点D，则S△ABC 为 ；若动点M在线段BD上，动点N在线段AB上，连接AM、
MN，则AM+MN的最小值为 .（用含a、b的式子表示）
14．（2023秋•道里区期末）如图，在△ABC中，点E和点D分别在AB和AC边上，∠AED＝∠ACB，ED
＝CD，连接BD，点F和点G分别是线段BD和BC上的两个动点，AB＝4，△ABC的面积是6，则
FG+CF的最小值是 ．
15．（2023秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC＝80°，AD，CD分别平分∠BAC 和
∠ACB，P是AC上一点，PH⊥BC，已知AD＝m，BC＝n，m＜n．当PD+PH取最小值时，HC＝
．（用含m，n的式子表示）
