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专题 6-2 建模思想应用的常见类型归类（考题猜想，五种类型）
类型1：建立方程模型求几何图形面积
【例题1】（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片 分别沿 、 折叠，若 、 两
点恰好都落在对角线的交点 上，下列说法：①四边形 为菱形，② ，③若 ，则
四边形 的面积为 ，④ ，其中正确的说法有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1】（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉叠放，使一组
对角的顶点重合，其重叠部分是四边形 ．则四边形 的面积是 ．【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】
定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形 中，若 ，
，则四边形 是“筝形”．
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形” ，要求点 是格点；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形 中， ， ，“筝形” 的顶点 是 的中点，点 ， ，
分别在 ， ， 上，且 ，求对角线 的长；
【拓展思考】
（3）如图3，在“筝形” 中， ， ， ， 、 分别是 、
上的点， 平分 ， ， ，求“筝形” 的面积．
【变式3】．（23-24八年级下·福建福州·期中）【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形 中，点 是 的中点，将正方形
沿 折叠，得到点 的对应点为 ，延长 交线段 于点 ，连接 ．求 的度数．
【实践探究】
（2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形 的边长为6，点 ， 分别在， 上，连接 ， ， ．若 ， ，求 的长．
【拓展迁移】
（3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③， 是 的高， ，
若 ， ，求 的面积．
类型2：建立几何模型解释生活中的现象
【例题2】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这
时 为 ．如果梯子的顶端 沿墙下滑 ，那么梯子底端 往外移（ ） ．
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）学习了勾股定理之后，一天小明看着操场上的旗杆陷入了深
思，有没有办法利用勾股定理测量旗杆的高度呢？通过观察，小明发现系在旗杆顶端的绳子垂下来距离地
面 米，如图（1），于是他将绳子拉开一段距离至点 ，测得绳端到旗杆的水平距离为 米，到地面的
垂直距离为 米，如图（2），则该旗杆的高度为 米．【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高 ，一棵高 ，两树之间相距 ，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
【变式3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图在平静的湖面上，有一支红莲 ，高出水面的部分
为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即 ），已知红莲移动的水平距离 为3
米，则湖水深 为多少？
类型3：建立特殊四边形的模型探寻条件
【例题3】（19-20八年级下·浙江杭州·期末）已知：E、F、G、H分别为四边形 四边中点，顺次连
接 、 、 、 得到四边形 ，我们把这种四边形叫做中点四边形．有下列说法：①四边形
是平行四边形；②当四边形 为平行四边形时，四边形 是菱形；③当四边形 为矩
形时，四边形 是菱形；④当 时，四边形 是矩形；⑤若四边形 是正方形，则
四边形 一定是正方形．其中正确的是（ ）A．①③④ B．①④⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
【变式1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形 边 、 、
、 的中点，下列说法；①若 ，则四边形 为矩形：②若 ，则四边形
为菱形；③若四边形 是平行四边形，则 与 互相平分；④若四边形 是正方形，则
与 互相垂直且相等．
其中正确的个数有 个
【变式2】（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直
线 的两侧，且 ， ， .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ．
①连接 ，当 时，请直接写出四边形 的形状，并求 的长度；
②当 的长为__________时，四边形 是菱形．【变式3】（22-23八年级下·山西朔州·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
阅读材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点
依次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ．
结合小敏的思路作答：
任务一：若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形 还是平行四边形吗？说明理由，
参考小敏思考问题的方法解决问题．
任务二：如图1，在阅读材料的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么条件时，四边形
是菱形，写出结论并证明；
任务三：如图2，在任务一的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么条件时，四边形 是
矩形，直接写出结论．类型4：建立函数模型解图像信息的应用
【例题4】（22-23八年级下·四川泸州·期末）甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度
与挖掘时间 之间的关系如图所示，以下信息一定正确的有（ ）
①甲队挖掘 时，用了 ；
②开挖 时，甲队比乙队多挖掘 ；
③乙队从开挖 后到 之间，每小时挖掘5米；
④开挖后 ，甲、乙两队所挖河渠长度相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（22-23八年级下·福建宁德·期中）如图，甲、乙两辆摩托车从相距 的A，B两地同时相向
而行， 分别表示甲、乙两辆摩托车离A地的距离 与行驶时问 之间的函数关系．下列结论
正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①乙摩托车行驶的速度是 ；
②当 时，甲车的行驶路程超过 ；
③当 时，甲摩托车离A地的距离小于乙摩托车离A地的距离；
④甲、乙两车相距不超过 时， ．
【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期中）小林同学从家出发，步行到离家 米的公园散步，速度为米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离 （米）（分钟）的函数关系如图所示．
(1)a=______；
(2)求CD所在直线的函数表达式；
(3)小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
【变式3】（2023八年级下·上海·专题练习）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分
的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行
驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1) ， ， ；
(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
类型5：建立方程（组）模型、不等式模型和函数模型解实际应用问题
【例题5】（22-23八年级下·山东菏泽·阶段练习）某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查：当还未
开始挂号时，有N个人已经在排队挂号，开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是
每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则
15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗
口至少应有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式1】（21-22八年级下·福建龙岩·期末）若一次函数 的图像经过点 和 ，
当 时，则 的取值范围为 ．
【变式2】（22-23八年级上·河北保定·开学考试）小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖．经过多方调查，
仔细甄别，他选定了A、B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元．已知购进A款饰品8个和B款饰
品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元．
(1)请求出A，B两款饰品的进价分别是多少？
(2)小李计划购进两款饰品共计100个（其中A款饰品最多62个），要使所需费用不多于1700元，则他有
哪几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用为多少？
【变式3】（22-23八年级下·福建漳州·期中）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润共1000元，销售
2台A型和1台B型电脑的利润共1100元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不少于A型电脑的 ，设购进A
型电脑m台，这100台电脑的销售总利润为P元．
①求P关于m的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大总利润是多少？
