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第35讲 圆锥曲线基础过关小题
【知识点总结】
一．椭圆的定义
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫
做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表示为：
注明：当 时，点的轨迹是线段；
当 时，点的轨迹不存在.
二．椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
焦点的位
焦点在 轴上 焦点在 轴上
置
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （ ）
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 短轴长 长轴长 短轴长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、焦距
离心率
点和椭圆
的关系
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= （最短的过焦点的弦）
设直线与椭圆的两个交点为 ， , ,
则弦长
弦长公式
（其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式）
三、双曲线的定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为
.
注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.
（2）当 时，点的轨迹是以 和 为端点的两条射线；当 时，点的轨迹是线段 的
垂直平分线.
（3） 时，点的轨迹不存在.
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 ， 的值），注意
的应用.
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质.
标准方
程y
B
A 1 2
图形
F A
1 2
F x y
2 F
1
B
1 A
1
B 1 B 2
x
A
2
焦点坐
标 ， ，
F
2
对称性 关于 ， 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐
标 ， ，
范围
实轴、
实轴长为 ，虚轴长为
虚轴
离心率
渐近线
方程 令 ， 令 ，
焦点到渐近线的距离为 焦点到渐近线的距离为
点和双
曲线
的位置
关系
共渐近
线的双
曲线方
程
设直线与双曲线两交点为 ， ， .
弦长公 则弦长 ，
式
，其中“ ”是消“ ”后关于“
”的一元二次方程的“ ”系数.通径
通径（过焦点且垂直于 的弦）是同支中的最短弦，其长为
五、抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 叫抛物线的焦
点，定直线 叫做抛物线的准线.
注 若在定义中有 ，则动点的轨迹为 的垂线，垂足为点 .
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有 4种形式： ，其中一次项与对称轴
一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）
表10-3
标准
方程
y
y y y
图形 l
F
O F x
F O x O x O x
对称 l 轴 l l 轴 F
轴
顶点 原点
焦点
坐标
准线
方程
三、抛物线中常用的结论
1. 点 与抛物线 的关系
（1） 在抛物线内（含焦点） .
（2） 在抛物线上 .
（3） 在抛物线外 .
2. 焦半径
抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径，若 ，则焦半径 ，
.
3. 的几何意义
为焦点 到准线 的距离，即焦准距， 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦
若 为抛物线 的焦点弦， ， ，则有以下结论：
（1） .
（2） .
（3）焦点弦长公式1： ， ，当 时，焦点弦取最小值 ，
即所有焦点弦中通径最短，其长度为 .
焦点弦长公式2： （ 为直线 与对称轴的夹角）.
（4） 的面积公式： （ 为直线 与对称轴的夹角）.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆C：x2＋y2
－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线 的中心在原点，焦点在x轴上，
与抛物线 的准线交于A、B两点， ，则 的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C： ，右顶点为A，以A
为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 ，则有
（ ）
A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（ ）
A．椭圆 的长轴长为4，短轴长为
B．离心率为 的椭圆较离心率为 的椭圆来得扁
C．椭圆 的焦点在 轴上且焦距为2
D．椭圆 的离心率为
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆 ： 的一个焦点坐标为 ，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B． 的长轴长为 C． 的短轴长为 D． 的离心率为
（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F，F 分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P
1 2
是其一条渐近线上一点，且以线段FF 为直径的圆经过点P，则（ ）
1 2
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以FF 为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
1 2
C．点P的横坐标为±1
D．△PFF 的面积为
1 2
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 与椭圆
有相同的焦距，且一条渐近线方程为 ，则双曲线 的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线 焦点 的直线 交拋物线于
两点，若两点的横坐标之和为5，则 ___________.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上
的点P满足 轴， ，则该椭圆的离心率为___________．【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 为椭圆 上一点，若 到一个焦点的距离为1，则
到另一个焦点的距离为（ ）A．3 B．5 C．8 D．12
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左右焦点分别是 ， ，椭圆上任
意一点到 ， 的距离之和为4，过焦点 且垂直于 轴的直线交椭圆 于 ， 两点，若线段 的长
为3，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，
且椭圆的另外一个焦点在 边上，则 的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆 ，F，F 分别为椭圆的左、右焦点，
1 2
若椭圆上存在一点P，使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设 是椭圆 上的点．若 是椭圆的两个焦点，则
等于
A．4 B．5 C．8 D．10
6．（2022·浙江·高三专题练习）若动点 始终满足关系式 ，则动点
M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）设圆 的圆心为 ，点 是圆内一定点，点 为圆周上
任一点，线段 的垂直平分线与 的连线交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为
，过 的直线与椭圆C交于A，B两点．若 的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且
.则 的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ､ 是椭圆 ： ( )的两个焦点， 为椭圆 上
的一点，且 .若 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以 为直径的
圆过点P，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． ， D．
13．（2022·全国·高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A． B． C． D．14．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．5 D．9
15．（2022·全国·高三专题练习）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准
方程为（ ）
A． ＋y2＝1 B． ＋y2＝1
C． ＋y2＝1或 D．以上答案都不正确16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭
圆于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）过点(－3，2)且与 有相同焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆过点 和点 ，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B． 或
C． D．以上都不对
19．（2022·浙江·高三专题练习）已知点 是椭圆 上的一点，椭圆的长轴
长是焦距的 倍，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 经过点 ，且 的离心率为 ，
则 的方程是（ ）
A． B．
C． D．21．（2022·上海·高三专题练习）若椭圆的焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，则该椭圆的标
准方程为
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点 ， 在 轴上， 是椭圆上一点，
且 、 、 成等差数列，则椭圆方程为A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆 与 关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
25．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ，
为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为 ( )
A． B． C． D．
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 ，F、F 分别为椭圆的左、右焦点，
1 2
A为椭圆的上顶点，直线AF 交椭圆于另一点B，若∠FAB＝90°，则此椭圆的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知F，F 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在
1 2
点P，使∠FPF=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （ ）
1 2
A． B．C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆
相切，则实数m的值是（ ）
A． B．C． D．
29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 是椭圆 的左右焦点，椭圆上一点M
满足： ，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别是 ， ，直线
与椭圆 交于 ， 两点， ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
31．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线 上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个
焦点的距离为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
32．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且
；则C的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左右焦点为 ，过 的直线交双曲
线右支于 ，若 ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 ： 的一个焦点为 ，则双曲线 的一
条渐近线方程为（ ）A． B．
C． D．
35．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为 ，则下列关于双曲线说法正确的是
（ ）
A．虚轴长为4 B．焦距为
C．离心率为 D．渐近线方程为36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，它的焦距
为2，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
37．（2022·全国·高三专题练习）过点 且与椭圆 有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 是双曲线 ： 的右焦点，过 作与 轴垂
直的直线与双曲线交于 . 两点，过 作一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的标准方
程为（ ）
A． B． C． D．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的离心率 ，虚轴长为 ，则其标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
40．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 过点 ，且离心率为 ，则该双曲线的标准
方程为（ ）
A． B． C． D．
41．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线 的一个焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
42．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线 的焦点F与双曲线 的一个焦点重合，则n的
值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1343．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，则
的焦距等于（ ）
A． B．2 C． D．444．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线 与双曲线 有相同的焦点.则 的渐近线
方程为（ ）
A． B．
C． D．
45．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线C与椭圆 有共同的焦点，且焦点到该双曲线
渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
46．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，
则双曲线 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
47．（2022·浙江·高三专题练习）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则该双曲
线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
48．（2022·全国·高三专题练习）直线 是双曲线等 的一条渐近线，且双
曲线的一个顶点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
49．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，则该双曲
线的渐近线方程为（ ）
A． 和 B． 和C． 和 D． 和
50．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
51．（2022·全国·高三专题练习）渐近线方程为 的双曲线的离心率是
A． B．1C． D．2
52．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线C： 的一条渐近线与直线 平行，则m的值
为（ ）
A．4 B． C．2 D．
53．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的一条渐
近线方程为（ ）
A． B． C． D．
54．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ， 为双曲线 ： 的两个焦点，若双曲
线 的两个顶点恰好将线段 三等分，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
55．（2022·全国·高三专题练习（理））双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，
O为坐标原点，若 ，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
56．（2022·河北张家口·高三期末）已知 是拋物线 上一点， 是 的焦点，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
57．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
58．（2022·全国·高三专题练习）抛物线 上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A． B． C． D．
59．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 是 上的一点，
到直线 的距离是 到 的准线距离的2倍，且 ，则 （ ）A．4 B．6 C．8 D．10
60．（2022·全国·高三专题练习）已知A（3，2），点F为抛物线 的焦点，点P在抛物线上移动，
为使 取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
61．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2＝2px（p>0）上一点M（6，y）到焦点F的距离为8，
则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
62．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 是C上一点， ，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
63．（2022·全国·高三专题练习（理））若抛物线 （ ）上一点 到其焦点的距离为2，
则 （ ）
A． B． C． D．
64．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的
交点的抛物线的标准方程为（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x
65．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线 ，过焦点 且倾斜角为 的直线交 于 ，
两点，则弦 的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
66．（2022·江苏·高三专题练习）过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 两点（点 在第一象
限），若直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
67．（2022·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C ：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C 是以F为圆心， 为
1 2
半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C ，C 从上到下依次相交于点A，B，C，D，则 ＝（ ）
1 2A．16 B．4
C． D．
68．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 被斜率为1的直线截得的弦的
中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
69．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被双曲线C： ﹣y2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直
线l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0
二、多选题
70．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，P为椭圆C上异于
长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周长为10
B． 面积的最大值为
C．当 时， 的面积为
D．存在点P使得
71．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程为 （ 且 ），则下列结论正
确的是（ ）
A．当 时，曲线C是焦距为4的双曲线
B．当 时，曲线C是离心率为 的椭圆C．曲线C可能是一个圆
D．当 时，曲线C是渐近线方程为 的双曲线
72．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（
）
A．当 ，曲线 为椭圆B．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C．“ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件
D．不存在实数 使得曲线 为离心率为 的双曲线
73．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 )在抛物线 上，若
，则（ ）
A． B．
C． D． 的坐标为
74．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物
线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
75．（2022·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，抛物
线的焦点为 ，延长 与抛物线相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．
C． 的面积为 D．
三、填空题
76．（2022·浙江·高三专题练习）已知点 ， 的周长是 ，则 的顶点 的轨
迹方程为___.77．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为________．
78．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆上的点 满足
，则 ________79．（2022·全国·高三专题练习）点P是椭圆 上一点， 是椭圆的两个焦点，且 的内
切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为________．
80．（2022·浙江·高三专题练习）过点( ，－ )，且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程为
_______．
81．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为2，且经过点 ，则该椭圆的标准
方程为______．
82．（2022·全国·高三专题练习）与椭圆 有相同离心率且经过点 的椭圆标准方程为
________．
83．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
，则椭圆方程为_____．
84．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线 有共同的渐近线，且过点M（2,-2）的双曲线方程
为________.
85．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的准线为 ，若M为 上的一个动点，设
点N的坐标为 ，则 的最小值为___________.
86．（2022·全国·高三专题练习）О为坐标原点，F为抛物线C ∶y2= 4x的焦点，P为C上的一点，若
，则三角形POF的面积为 _________.
87．（2022·全国·高三专题练习）直线 过抛物线 的焦点 ，与 交于 俩点，则
________．
