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专题 7.1 平面直角坐标系（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】有序数对
定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
特别提醒：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是 6
排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
【知识点二】平面直角坐标系与点的坐标的概念
1. 平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯
上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标
系的原点(如图1).
特别提醒：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2. 点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P
的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
特别提醒：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数
对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
【知识点三】坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分
别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
特别提醒：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象
限在右下方.
2. 坐标平面的结构
坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六
个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
【知识点四】点坐标的特征
1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律
特别提醒：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的
位置也可以判断点的坐标的符号情况．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．
3.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
4.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
【考点目录】
【考点1】有序数对； 【考点2】点的坐标及坐标系中描点；
【考点3】点到坐标轴的距离； 【考点4】判断点所在位置；
【考点5】由点所在位置及求参数； 【考点6】坐标与图形；
【考点7】坐标系中的规律性问题.
【考点1】有序数对；
【例1】（2022下·山东滨州·七年级校联考期中）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中
国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走 例如：图中“马”所在的位置可以直
接走到点A、B处．
（1）如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C
的坐标为______，点D的坐标为______．
（2）若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的
行走路线，并用坐标表示．
【答案】（1） ， ， ；（2）路线见分析，走路线为
【分析】（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
（1）解：∵“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），
∴“马”所在的点的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1，3），
点D的坐标为（3，1）．
故答案为 ， ， ．
（2）解：以 “帅”为（0，0），则“马”走的路线为 ，
如图：
．
【点拨】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点
的位置，再求未知点的位置．
【变式1】（2024上·河南郑州·八年级统考期末）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．电影城1号厅6排 B．北京市海淀区 C．北纬 ，东经 D．南偏西
【答案】C
【分析】本题考查了平面内的点与有序实数对一一对应，根据平面内的点与有序实数对一一对应分别
对每个选项判断．
解：A、电影城1号厅6排不能确定具体位置．故本选项不合题意；
B、北京市海淀区不能确定具体位置．故本选项不合题意；
C、北纬 ，东经 能确定具体位置．故本选项符合题意；
D、南偏西 不能确定具体位置．故本选项不合题意．
故选：C
【变式2】（2023上·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考阶段练习）如图，雷达探测器在一次探测
中发现了三个目标A、B、C，点A、B的坐标分别表示为 ，则点C的坐标表示为
．【答案】
【分析】此题考查了用有序数对表示点的位置，根据点的位置写出答案即可．
解：如图所示，根据题意可得，点C的坐标表示为 ．
故答案为： ．
【考点2】点的坐标及坐标系中描点；
【例2】（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题：
（1）写出图中 各点的坐标．
（2）描出点 ．
（3）顺次连接 各点，围成的封闭图形是什么图形？
【答案】（1） ；（2）见分析；（3）正方形
【分析】（1）根据图中 的位置写出点的坐标即可；
（2）根据 ，在坐标系内确定点的位置即可；（3）由四边形的四条边相等，四个角是直角可得答案．
（1）解：由题意得 ；
（2）解：如图所示；描出 如图：
（3）解：∵
∴四边形 是正方形．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，掌握“确定坐标系内点的坐标以及根据点的坐标确定点的位置”
是解本题的关键．
【变式1】（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）已知点 ， 轴，且 ，则B
点坐标是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】由 平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段 的长为5，B点可能在A点的
左边或右边，分别求B点坐标．
解：∵ 轴，
∴A、B两点纵坐标相等，都是4，
又∵A的坐标是 ，线段 的长为5，
∴当B点在A点左边时，B的坐标为 ，当B点在A点右边时，B的坐标为 ．
故B点坐标是： 或 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点及分类讨论的解题思想．
【变式2】（2023下·广东清远·七年级校考期中）已经点 在 轴上，那么 ，
则 点的坐标为 ．
【答案】 ； ．
【分析】根据 轴上点的横坐标等于零，可列方程，根据解方程即可求解．
解：∵ 在 轴上，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴点 ，
故答案为： ， ．
【点拨】此题考查了坐标系 轴上点的坐标特点，解题的关键是利用 轴上点的横坐标等于零得出方
程．
【考点 3】点到坐标轴的距离；
【例3】（2023下·七年级课时练习）已知点A（3，1），B（3，－3），C（－1，－2）．
（1）A，B两点之间的距离为________；
（2）点C到x轴的距离为________，到y轴的距离为________；
（3）求三角形ABC的面积；
（4）点P在x轴上，当三角形ABP的面积为10时，求点P的坐标．
【答案】（1）4；（2）2，1；（3）8；（4） 或
解：（1）4 （2）2 1（3） ．
（4）设三角形ABP的边AB上的高为h．
∵ ，AB＝4，∴h＝5．
∴点P的坐标为（－2，0）或（8，0）．
【变式1】（2024上·江苏扬州·八年级校联考期末）已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，
到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到 轴的距离等于纵坐标的长度，到 轴的距离等于横坐标的
长度是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到 轴的距离等于纵坐标的
长度，到 轴的距离等于横坐标的长度解答．
解： 点 在第四象限，且到 轴的距离为3，到 轴的距离为2，
点 的横坐标是2，纵坐标是 ，
点 的坐标是 ．
故选：D
【变式2】（2014下·七年级课时练习）已知点P的坐标为 ，且点P到两坐标轴的距离
相等，则 ．
【答案】 或 / 或
【分析】根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列式计算即可．
解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴ ，
即： 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查点到坐标轴的距离．熟练掌握点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，是解题的
关键．【考点 4】判断点所在位置；
【例4】（2020上·八年级课时练习）如果点 的坐标为 ，那么点 在第几象限？为什
么？
【答案】点 在第四象限，见分析
【分析】根据非负数的性质判断出点 的横坐标与纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特
征解答．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
即横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴点 在第四象限，
故答案为：第四象限．
【点拨】本题考查平方的非负性及平面直角坐标系中各象限点的符号特征，熟练掌握各象限点的符号
及非负数的性质是解决本题的关键．
【变式1】（2023下·山东临沂·七年级统考期中）在坐标平面内，点 一定在（ ）
A．原点 B．x轴上 C．第一象限 D．y轴上
【答案】B
【分析】根据直角坐标系中点的坐标特征进行分析即可得到答案．
解： 点 的纵坐标为0，
点P在x轴上，
故选B．
【点拨】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，解题关键是掌握点的纵坐标为0，则点在x轴上；
点的横坐标为0，则点在y轴上．
【变式2】（2023下·吉林·七年级统考期末）已知点 在 轴负半轴上，则点 在第
象限．
【答案】二
【分析】由点 在 轴的负半轴上可得到 ，然后根据各象限点的坐标特征进行判断．解：∵点 在 轴负半轴上，
∴ ，
又∵ ，
∴点 在第二象限．
故答案为：二．
【点拨】本题考查坐标轴上点的坐标特点，判断点所在的象限．坐标轴上点的坐标特点： 轴正方向：
； 轴负方向： ； 轴正方向： ； 轴负方向： ；象限内点的坐标特征：第一象限：
；第二象限： ；第三象限： ；第四象限： ．记住坐标轴上点的坐标特点以及各象限
内点的坐标特征是解题的关键．
【考点 5】由点所在位置及求参数；
【例5】（2024上·山东泰安·七年级统考期末）已知点 ，解答下列各题：
（1）若点P在x轴上．求出点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为 ，直线 轴，求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限．
【答案】（1） ；（2） ；（3）点P的坐标 ，在第二象限；点P的坐标
，在第一象限
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
（1）根据轴上的点的纵坐标为，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案．
（2）根据平行于轴的直线的横坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答
案．
（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的
值，再代入要求的式子计算即可．
（1）解：∵点P在x轴上．
∴ ，解得
∴ ，∴点P的坐标
（2）解：∵点Q的坐标为 ，直线 轴，
∴点P的纵坐标是5
∴ ，解得
∴
∴点P的坐标
（3）解：∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴
解得： 或7
当 时，
∴点P的坐标 ，在第二象限
当 时，
∴点P的坐标 ，在第一象限
【变式1】（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）点 在第一象限，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征解答
即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限 ，第二象限 ，第三象
限 ，第四象限 ．
解：∵点 在第一象限，
∴ ，
故选： ．【变式2】（2023上·山东东营·七年级统考期末）若点 在x轴上，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上的点的纵坐标等于零即可求出a的值．
解： 点 在x轴上，
，
，
故答案为： ．
【考点 6】坐标与图形；
【例6】（2019上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图， ，点B在x轴上，且
．
（1）求点B的坐标；
（2）求 的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） 或 ；（2）6；（3）存在， 或 ．
【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可．
（1）解：点B在点A的右边时， ，
点B在点A的左边时， ，所以，B的坐标为 或 ；
（2） 的面积 ；
（3）存在，设点P到x轴的距离为h，
则 ，
解得 ，
点P在y轴正半轴时，P ，
点P在y轴负半轴时，P ，
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查坐标与图形．解题的关键是掌握坐标轴上的点的特征，利用数形结合和分类讨论的
思想进行求解．
【变式1】（2023上·湖南长沙·八年级校考开学考试）如图， 的三个顶点坐标分别为
，则 的面积为（ ）A．4 B．6 C． D．5
【答案】B
【分析】根据 求出 ，利用三角形面积公式进行求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【点拨】此题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
【变式2】（2022上·江西九江·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边
在x轴上， 在y轴上， ，对角线 的垂直平分线交 于点E，交 于点D．若
y轴上有一点P（不与点C重合），能使 是以 为腰的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】 ， ，
【分析】设 ，根据勾股定理求出m的值，得到点 ，设点P坐标为 ，根据勾股定
理列出方程，即可得到答案．
解：∵对角线 的垂直平分线交 于点E，∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
，
∴设 ，则 ， ，
∴在 中， ，即： ，
解得： ，
∴ ，
设点 坐标为 ，
∵ 是以为 为腰的等腰三角形，
当 ，则 ，解得： ，
当 ，则 ，解得： ，
∴点 的坐标为 ， ， ，
故答案是： ， ， ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定
理，列出方程，是解题的关键．
【考点 7】坐标系中的规律性问题.
【例7】（2019·安徽亳州·统考二模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排
列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1， 的坐标为 ， 的坐标为
．（1） 的坐标为______， 的坐标为______（用含n的代数式表示）；
（2）若护栏长为2020，则需要小正方形______个，大正方形______个．
【答案】（1）（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）674；673
【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A，A，
1 2
A，…，A 各点的纵坐标均为2，横坐标依次比前一个增加3，继而即可求解；
3 n
（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020包含多少这样的长度，进
而便可求出结果．
解：（1）∵A 的坐标为（2，2）、A 的坐标为（5，2），
1 2
∴A，A，A，…，A 各点的纵坐标均为2，
1 2 3 n
∵小正方形的边长为1，
∴A，A，A，…，A 各点的横坐标依次比前一个增加3，
1 2 3 n
∴A（5+3，2），A （ ，2），
3 n
即A（8，2），A （3n﹣1，2），
3 n
故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；
（2）由已知可得，所有小正方形和大正方形之间的直角三角形是全等的等腰直角三角形
∴直角三角形的直角边长等于小正方形边长，长度是1，
∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：1+1+1=3，
∵2020÷3＝673…1，
∴需要小正方形673+1=674（个），大正方形673个．
故答案为：674；673．
【点拨】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，
通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决
这类问题．
【变式1】（2021下·江苏淮安·八年级校考期中）如图，已知正方形 对角线的交点M的坐标为．规定“把正方形 先沿 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过
2021次变换后，正方形 的对角线交点M的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n
次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 ，继而求得把正方形
连续经过2021次这样的变换得到正方形 的对角线交点M的坐标．
解：∵对角线交点M的坐标为 ，
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为 ，即 ，
第2次变换后的点M的对应点的坐标为： ，即 ，
第3次变换后的点M的对应点的坐标为 ，即 ，
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 ，
∴连续经过2021次变换后，正方形 的对角线交点M的坐标变为 ．
故选：A．
【点拨】此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质，得到规律：第n次变换后的对角线交点M的
对应点的坐标为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 是解此题的关键．
【变式2】（2023下·贵州·七年级校考期中）如图长方形 的各边分别平行于 轴或 轴，物体甲和物体乙都从点 同时出发，沿长方形 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒
匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2023次相遇点的坐标是
．
【答案】
【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的
位置规律．
解：由题意可得长方形周长为12，
甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，
两个物体每次相遇时间间隔为 秒，
两个物体相遇点依次为 、 、 ，
，
第2023次两个物体相遇位置为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解题的关键是找到两个物体相遇的位置变
化规律．
