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第36讲 轨迹方程
【知识点总结】
求动点的轨迹方程
一、直译法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么
只需把这些关系“翻译”成含 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要
其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则
可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）
有些问题中，所求轨迹上点 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点 相关联的，
这时要通过建立这两点之间关系，并用 表示 ，再 将代入已知曲线方程，即得 关系式。
【典型例题】
例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A，B的坐标分别为 ， ，直线AP，
BP相交于点P，且它们的斜率之积为 .
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP OM，BP ON，求
△MON的面积.例2．（2022·全国·高三专题练习）动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为定值 .
（1）求动点 的轨迹方程：
（2）若直线 与动点 的轨迹交于不同的两点 ， ，且线段 被直线 平分，求直线 的斜率
的取值范围.
例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆 ： ，点 ，P是
圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点 作直线MN交点Q的轨迹于M､N两点，设线段MN的中点为H，判断线段 与
的大小，并证明你的结论.
例4.（2021·全国·高三专题练习）点 是椭圆 上的动点， 为定点，求线段 的中点
的轨迹方程.
例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，求斜率为 的平行弦中点的轨迹方程.
例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点 且与圆 相内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程 .
（2）直线 过原点，且与轨迹 有两个交点 .轨迹 上是否存在一点 ，使△ 为正三角形，若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由.
例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在 中，已知 ，且三内角A，B，C满足，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶
点C的轨迹方程.
例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆 ,1<t<3,
与椭圆 ： 相交于A，B，C，D四点，点 分别为 的左，右顶点．
(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线AA 与直线AB交点M的轨迹方程．
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【技能提升训练】
1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点 ，求椭圆的标准方程；
（2） 两个顶点 的坐标分别是 ，边 所在直线的斜率之积等于 ，求顶点
的轨迹方程.
2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，动点 到定点 的距离比到 轴的距离大 ．
求动点 的轨迹方程.
3．（2021·全国·高三专题练习）过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点.求线段 的中
点 的轨迹方程.
4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若
存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.
5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆 ： 与点 ，分别求出满足
下列条件的动点 的轨迹方程．（1） 的周长为10；
（2）圆 与圆 外切，且过 点( 为动圆圆心)；
（3）圆 与圆 外切，且与直线 相切( 为动圆圆心)．
6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知 ， 是圆： ( 为圆心)上一动点，线
段 的垂直平分线交 于点 ，求动点 的轨迹方程.
7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C :(x+3)2+y2=1和圆C :(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C
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及圆C 相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
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8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求
动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?9．（2020·全国·高三（理））已知点 与两个定点 ， 的距离的之比为 .
（1）求点 的轨迹方程，并说明它是什么图形；
（2）求点 到直线 的距离的最大值和最小值.
10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且该
双曲线过点(2,2).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）点A为双曲线C上任一点，F､F 分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠FAF 的角平分线
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的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程.
11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M： 1（a＞b＞0）的长轴长为2 ，
离心率为 ，过点（0，1）的直线l与M交于A，B两点，且 ．
（1）求M的方程；
（2）求点P的轨迹方程．
12．（2020·全国·高三专题练习）设 ，点 在 轴上，点 在 轴上，且 ， ，
在 轴上运动时，求点 的轨迹方程；13．（2022·全国·高三专题练习）P是圆 上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足
．
（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点 的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形
OAEB的顶点E的轨迹方程．
14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点 ， ， ，是平面内一动点， 可以与点
重合.当 不与 重合时，直线 与 的斜率之积为 .
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）一个矩形的四条边与动点 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.
15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线 .
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设 是曲线 上的动点，点 的横坐标为 ，点 ， 在 轴上， 的内切圆的方程为，将 表示成 的函数，并求 面积的最小值.
16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重
合， 交圆 于 ， 两点，过 作 的平行线交 于点 ，求点 的轨迹方程．
17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点 是直线 上的一个动点，定点 ， 是线
段 延长线上的一点，且 ，求点 的轨迹方程．
18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线 ．过 的直线与双曲线交于两点 及 ，求线
段 的中点P的轨迹方程．
19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））
设直线 与抛物线 交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．
（1）求 的重心G的轨迹方程；
（2）如果 的外接圆的方程．
20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点 、 ，如果动点 满足 ，求点 的轨
迹方程.21．（2021·全国·高二课时练习）已知 的两个顶点坐标 ， ， 的周长为18，求
顶点 的轨迹方程．
22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系 中，动圆 与圆
内切，与圆 外切.
（1）求动圆圆心 的轨迹方程 ；
（2）若直线 与轨迹 交于 ， 两点，直线 交轨迹 于另一个点 ，连接 交 轴于点
，试探究；是否存在 ，使得 的面积等于 ？若存在，求出全部的 值；若不存在，请说明理由.
