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第36讲 轨迹方程
【知识点总结】
求动点的轨迹方程
一、直译法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么
只需把这些关系“翻译”成含 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要
其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则
可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）
有些问题中，所求轨迹上点 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点 相关联的，
这时要通过建立这两点之间关系，并用 表示 ，再 将代入已知曲线方程，即得 关系式。
【典型例题】
例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A，B的坐标分别为 ， ，直线AP，
BP相交于点P，且它们的斜率之积为 .
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP OM，BP ON，求
△MON的面积.例2．（2022·全国·高三专题练习）动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为定值 .
（1）求动点 的轨迹方程：
（2）若直线 与动点 的轨迹交于不同的两点 ， ，且线段 被直线 平分，求直线 的斜率
的取值范围.
例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆 ： ，点 ，P是
圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点 作直线MN交点Q的轨迹于M､N两点，设线段MN的中点为H，判断线段 与
的大小，并证明你的结论.
例4.（2021·全国·高三专题练习）点 是椭圆 上的动点， 为定点，求线段 的中点
的轨迹方程.
例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，求斜率为 的平行弦中点的轨迹方程.
例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点 且与圆 相内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程 .
（2）直线 过原点，且与轨迹 有两个交点 .轨迹 上是否存在一点 ，使△ 为正三角形，若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由.
例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在 中，已知 ，且三内角A，B，C满足，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶
点C的轨迹方程.
例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆 ,1
