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第 38 讲 复数
1、复数的有关概念
(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实
部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系
(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝ ．
(3)复数相等：z＝a＋bi，z＝a＋bi，z＝z，则 ．
1 1 1 2 2 2 1 2
(4)共轭复数：z＝a＋bi， 互为共轭复数．
2、 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
1 2
④除法：＝＝ （c＋di≠0)．
3、复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，
虚轴上的点都表示纯虚数．
4、 复数的几何表示
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝ (a，b∈R)是一一对应关系．
1、【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z|=（ ）
A．4√5 B．4√2 C．2√5 D．2√2
z
2、【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则 =（ ）
zz−1
1 √3 1 √3
A．−1+√3i B．−1−√3i C．− + i D．− − i
3 3 3 3
3、【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−1 B．a=1,b=1 C．a=−1,b=1 D．a=−1,b=−1
4、【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−2 B．a=−1,b=2 C．a=1,b=2 D．a=−1,b=−2
5、【2022年新高考1卷】若i(1−z)=1，则z+z=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
6、【2022年新高考2卷】(2+2i)(1−2i)=（ ）
A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i7、（2021·全国高三专题练习（理））已知 为虚数单位，且 ，复数 满足 ，则复数
对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数 （其中i为虚数单位， ）在复平面内
对应的点为 ，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2、（2022·河北张家口·高三期末）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知 为虚数单位，则 （ ）．
A．1 B． C．I D．
4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足 ，其中 为虛数单位，则复数z在复平面内
所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数 ， 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
考向一 复数的有关概念
例1、已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：
(1) 实数；
(2) 虚数；
(3) 纯虚数．
变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数 ，则z的虚部为（ ）
A．0 B．－1 C．－i D．1
（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数， 是实数，则 （ ）
A．－ B． C．－2 D．2
（3）（2022·江苏常州·高三期末） 是虚数单位，已知复数 满足等式 ，则 的模 ________．
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数 （ 且 ）， 是z的共扼复
数，则下列命题中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于
复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和
虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.考向二 复数的运算
例2、（1）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，若复数 的实部为 ，则实数 （ ）
A． B． 或 C． D．
（2） （ ）
A． B． C． D．
（3）已知i是虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末） （ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若 ．设 ，则 （ ）
A．2i B．2 C． D．
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．
考向三 复数的几何意义
例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为____变式1、设复数z＝log (m2－3m－3)＋ilog (m－2)，m∈R对应的向量为OZ.
2 2
(1) 若OZ的终点Z在虚轴上，求实数m及|OZ|的值；
(2) 若OZ的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．
变式2、（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））已知复数 为虚数单位 在复平面内对
应的点为 ，复数 满足 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 点的坐标为 B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
方法总结：准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时
可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对
应．
1、（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A．－ ＋ i B． ＋ i
C． － i D．－ － i
2、（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z满足 ，则z＝（ ）A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i
3、（2022·江苏苏州·高三期末）设 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为（
）
A． B． C． D．
4、（2022·江苏无锡·高三期末）已知 （ 为虚数单位， ）为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若 为复数，则
B．若 为向量，则
C．若 为复数，且 ，则
D．若 为向量，且 ，则
7、（2021·福建·莆田二中高三期末）设 ，记 为不大于 的最大整数， 为不小于 的最小整数．
设集合 , ，则 在复平面内对应的点的图形面积是
______
