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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 39 讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）
题型目录一览
①圆的方程
②点与圆的位置关系
③与圆有关的轨迹问题
④直线与圆相交
⑤直线与圆相切、相离
一、知识点梳理
一、圆的基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
二、圆的基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（3）圆的直径式方程：若 ，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；② 的参数方程为 （ 为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 （ 为参
数， 为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，
然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
四、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
【常用结论】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用圆心到
切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情形不
符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
二、题型分类精讲
题型 一 圆的方程
策略方法 求圆的方程的两种方法【典例1】已知圆 过三点 ， ， ，则 的圆心和半径分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若方程 表示圆，则 实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的方程为 ，则圆心 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 是圆 的对称轴，
则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ， ，则其外接圆的方程为
（ ）
A． B．C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）圆C： 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是
（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知圆 ，过点
作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形 的面积为（ ）．
A．6 B．12 C．14 D．18
9．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点 ， 且圆心在直线 上的圆与 轴相交于 ，
两点，则 （ ）
A．3 B． C． D．4二、填空题
10．（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知圆 的面积为 ，则
．
11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知圆 的半
径为3，则 .
12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）请写出一个过点 ，且与直线 相切
的圆的标准方程，为 ．
13．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过 四点的圆的
方程为 .
14．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）圆心与圆 的圆
心重合，且过点 的圆的方程为 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C： ，则当圆C的面积最小
时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ．
16．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线
与两坐标轴的交点及点 的圆的方程为 ．
题型二 点与圆的位置关系
策略方法 判断集合关系的三种方法
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束
条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
【典例1】“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【题型训练】
一、单选题1．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）设圆 ： ，若直线 在 轴上的截距为 ，则
与 的交点个数为（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
2．（2023·全国·高三专题练习）已知两直线 与 的交点在圆 的内部，则实
数k的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）点 为圆 外一点，则直线 与该圆
的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆 ，直线l： ，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点 在l上 B．点 在圆O上
C．点 在圆O内 D．点 在圆O外
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在圆C： 的外部，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若坐标原点在圆 的内部，则实数 的取值范围为
.
7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆 ，若点 在圆 上，并且点 到直线
的距离为 ，则满足条件的点 的个数为 .8．（2023·全国·高三专题练习）设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，
则 的最大值为 .
题型三 与圆有关的轨迹问题
策略方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
【典例1】已知直线 ，点 与点 关于原点对称，若直线 上存在点 满足 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是 ： 上的两个动点，P是线段
的中点，若 ，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）在平面内， 是两个定点， 是动点，若
，则点 的轨迹为（ ）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
3．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中， ， ，
动点 满足 ，则使 为等腰三角形的点 个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之
比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 中，
， ，点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测）已知圆 ，圆
，过动点P分别作圆 、圆 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 ，
则动点P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线 ，点 与点 关于原点
对称，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆 的直径 ，若平面内一个动点 与点 的距离是它与点距离的 倍，则 的面积的最大值为（ ）
A．64 B．12 C． D．
二、填空题
8．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆 ： ，过动点 作圆 的切
线 （ 为切点），使得 ，则动点 的轨迹方程为 .
9．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点 ， ， ，点P满足
，则点P到点C距离的最大值为 ．
10．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）已知点 ， ，动点M满足
，则点M到直线 的距离可以是 ．（写出一个符合题意的整数值）
11．（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，M是抛物线 准线上的一点，点P在圆
上.若MP的中点在圆 上，则 的取值范围为 .
12．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆 上，点 在直线
上，O坐标原点，且 ，则点 的横坐标的取值范围为 ．
13．（2023·四川成都·三模）已知 ， 是圆 内一点，对圆O上任意一点P都
有 为定值，则mn的值为 ．
题型四 直线与圆相交
策略方法 直线与圆的相交问题（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长 、弦心距 和半径 之间
形成的数量关系 ．
（2）弦长问题
①利用垂径定理：半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 具有的关系 ，这也是求弦
长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公
式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线 ，与圆的两交点 ，将直线方程代入圆的
方程，消元后利用根与系数关系得弦长：
．
【典例1】直线l： 截圆 所得的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．（2023·全国·高三专题练习）直线 和圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C:x2+y2=1，直线 ：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）A．（-3，1） B．（- ，- ） C．（ ， ） D．（- ， ）
4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若直线 与曲线
有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高三专题练习）若圆 与y轴交于A，B两点，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2023秋·北京·高三统考开学考试）直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点 ， 且圆心在直线 上的圆与 轴相交于 ，
两点，则 （ ）
A．3 B． C． D．4
8．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A，
B，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）圆 被过点的直线截得的最短弦长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线 与圆 相交于 两点，则 的面
积为（ ）
A． B． C． D．5
11．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线 与圆 ： 相交于
， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知圆 ，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
13．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）若直线 把圆 分成长度为1：2的
两段圆弧，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 的解集为区间 ，且 ,则
（ ）
A． B． C． D．2
15．（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，它们关于直线x＋my＋4＝0对称，且 ，则直线PQ的方程为（ ）
A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
二、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）若直线过点 且被圆 截得的弦长是6，则该直线的方程为
.
17．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设直线 与圆 相交于 两点，且弦
的长为2，则实数 的值是 .
18．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知直线 与圆 相交于A、B两点．
若 为直角三角形，则 的值为 ．
19．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线l过点 ，
且交圆O于P，Q两点，使弦长 为整数的直线l共有 条.
20．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线 与圆
交于A， 两点，若 是圆上的一动点，则 面积的最大值是 .
21．（2023·全国·高三专题练习）若过定点 的直线 截圆C： 所得弦长小于3，则该直
线斜率的取值范围为
22．（2023·高三课时练习）已知圆 ，过点A（2，0）的直线l交圆C于M、N两点，且
，则直线l的方程是 .
题型 五 直线与圆相切、相离
策略方法 直线与圆相切、相离的问题
（1）圆的切线方程的求法①点 在圆上，
法一：利用切线的斜率 与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 ，即 ．
法二：圆心 到直线 的距离等于半径 ．
②点 在圆外，则设切线方程： ，变成一般式： ，因
为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 ．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个
根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆 上一点 的切线方程是 ；
过圆 上一点 的切线方程是 ．
过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上 ，做曲线的切线，只需把 替换为 ， 替换为 ， 替换为 ，
替换为 即可，因此可得到上面的结论．
（3）关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最
远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径
长的问题．
【典例1】已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆C
的一条切线，切点为 ，则 （ ）A．2 B． C． D．7
【典例2】已知直线 与圆 相离，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆 ，直线 ，则圆C与直线l
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心
2．（2023·江苏常州·校考一模）已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在
直线 和直线 ，则（ ）
A． 且 与圆相交 B． 且 与圆相离
C． 且 与圆相离 D． 且 与圆相交
3．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）已知直线 与圆 相切，则实
数 （ ）
A． 或 B． 或9 C．11或 D． 或
4．（2023秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知 ，直线 ，
若l与⊙O相离，则（ ）
A．点 在l上 B．点 在 上
C．点 在 内 D．点 在 外5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相离，则实数m的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆 ： 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线 ，与 相切，则
最大值为（ ）
A． B． C．3 D．5
9．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则 的倾斜
角为 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆 ，过直线
上的动点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值是（ ）A． B．2 C． D．
11．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆 在点 处的切线上一点 在第
一象限内，则 的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．9
12．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知 是 上一点，过点
作圆 的两条切线，切点分别为 ，当直线 与 平行时， （ ）
A． B． C． D．4
13．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为
A，B，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）已知点 是圆 上的动点，直线
与 轴、 轴分别交于 两点，当 最小时， （ ）
A． B． C． D．
15．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）“ ”是“直线 与圆 相
切”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要二、填空题
16．（2023·天津南开·统考二模）若直线 与圆 相切，则 .
17．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆 ： ，过动点 作圆 的切
线 （ 为切点），使得 ，则动点 的轨迹方程为 .
18．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考期末）设点 在直线 上， 与 轴
相切，且经过点 ，则 的半径为 ．
19．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）圆心在直线 上，且与直线
相切的一个圆的方程为 .
20．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点 作圆 的切线，则切线长为
.
21．（2023·全国·高三专题练习）（忽视切线斜率不存在）过点 的圆 的切线
方程是 .
22．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点 ， ，经过点 作圆
的切线与 轴交于点 ，则 ．
23．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若直线 上存在点P，过点P作圆O： 的两条
切线，A，B为切点，满足 ，则k的取值范围是 ．
24．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆 ，点 在
直线 上，过点 作直线 与圆 相切于点 ，则 的周长的最小值为 .
