文档内容
第 3 讲 三角函数与解三角形解答题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数单调区间
突破二：三角函数最值（值域）问题
突破三：与三角函数有关的零点问题
角度1：零点个数问题
角度2：零点代数和问题
突破四：三角函数中的恒（能）成立问题
突破五：三角形中线问题
突破六：三角形角平分线问题
突破七：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题
突破八：三角形中周长（定值，最值，取值范围）
突破九：三角形中边长的代数关系
突破十：四边形（多边形）问题
突破十一：三角函数与解三角形实际应用
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、中线：
在 中，设 是 的中点角 , , 所对的边分别为 ， ，
1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）
核心技巧：
结论：
1.2角形式：
核心技巧：
在 中有： ;
在 中有： ;2、角平分线
如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，
2.1内角平分线定理：
核心技巧： 或
2.2等面积法
核心技巧
2.3角形式：
核心技巧：
在 中有： ;
在 中有： ;
3、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
4、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
5、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.
6、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
7、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根
据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数单调区间
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知函数 ，其中向量
， ．
(1)求 的解析式及对称中心和单调减区间；
【答案】(1) ，对称中心为 ，单调减区间是
【详解】（1）
令 ，对称中心
又令 ，
所以单调减区间是
2．（2022·宁夏·平罗中学高三期中（文））已知函数 的部分图
象如图所示，其中 的图像与 轴的一个交点的横坐标为 .
(1)求这个函数的解析式，并写出它的递增区间；
【答案】(1) ，
【详解】（1）由图知 ， ， ，，
，
由 得 ，
故 的递增区间是
3．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练习（理））已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；
【答案】(1)见详解
【详解】（1）
，
所以 的最小正周期 ．
令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递减区间为 ， ．
4．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知函数
．
(1)求 的最小值，并写出此时x的取值集合；
(2)若 ，求 的单调递减区间．
【答案】(1) ，此时x的取值集合为 ；
(2) 的单调递减区间为 和
【详解】（1）.
当 ，即 时，
取得最小值，且 ，
所以 ，此时x的取值集合为 ；
（2）由 ，
得 ，
所以 ，
所以 的单调递减区间为 ，
又因为 ，
所以 的单调递减区间为 和
5．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期以及在 上的单调递增区间；
【答案】(1) ，
解：∵ ，
∴ 的最小正周期为 ．
∵ ，∴ ，
∴ ，解得 ，所以 的最小正周期为 ，在 上的单调递增区间为 ．
6．（2022·山东济宁·高一期中）已知函数
(1)求 的定义域和最小正周期；
(2)求 的单调区间．
【答案】(1)定义域为 ；最小正周期为
(2)单调递减区间为
(1)要使函数 有意义，只需 ，
解得 ，
所以函数 的定义域为 ．
函数 的最小正周期为 ．
(2)由于正切函数 在区间 上单调递增，
对于函数 令 ，
解得 ，
即 在 上单调递增
而函数 与 单调性相反
故函数 单调递减区间为
突破二：三角函数最值（值域）问题
1．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））已知 ，
．
(1)若 ，且 ， 时， 与 的夹角为钝角，求 的取值范围；(2)若 ，函数 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2) 的最小值为 .
【详解】（1）当 时， ，若 与 的夹角为钝角，
则 且 与 不能共线，
，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
当 与 共线时， ，故 ，所以 与 不共线时， .
综上： .
（2）
令 ，则
而函数 在 上为增函数，故当 时有最小值 .
故 的最小值为 .
2．（2022·湖南·模拟预测）函数 的初相为 ，且 对任意的实数x都
成立．
(1)求 的最小值；
(2)在（1）的条件下，函数 左平移 个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原米的4倍，得到函数的图象，求函数 在 上的单调递增区间以及最小值．
【答案】(1)2
(2) 在 上的单调递增区间为 ，最小值为
【详解】（1）∵函数 的初相为 ，∴ ，∴ ， ．
又 对任意的实数x都成立，则有 恒成立， ，
，
即 ，又 ，∴当 时， 有最小值为2．
（2）由（1）可知 ，函数 左平移 个单位后，得到的函数
纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，得到 ．
，整理可得 ，∴ 在 上的单调递增区间
为 ．
由 ，可得 ，∴当 时，函数 取得最小值 ．
3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数
．
(1)若 ，求 的面积；
(2)当 时， 取最大值，求 在 上的值域.
【答案】(1)若 ， 的面积为 ，
若 ， 的面积为 ；
(2)
(1)因为 ，所以 ，即 ，
或 ，
由正弦定理可得 ,又 ，所以 ，
若 则
所以 ，
，
当 则
所以 ，
，
(2)
．
因为 在 处取得最大值，所以 ，
即 ．因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
在 上的值域为 .
4．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）设 .
(1)若 ，求 使函数 为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，当 ，求 的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)
因为函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
因为 ，所以
(2)在（1）成立的条件下， ，
因为 ，所以 ，
所以
所以
5．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)若 ，且 的最小值是 ，求实数 的值.
【答案】(1) ， ；(2) .
【详解】(1)∵由 ，得 ，
解集为 ，
(2)
∵ ，∴ ， ，
①当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ，这与已知不相符；
②当 时，当且仅当 时， 取最小值 ，由已知得 ，解得
；
③当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ，由已知得 ，解得 ，这与
相矛盾.综上所述， .
突破三：与三角函数有关的零点问题
角度1：零点个数问题
1．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知向量 ，
函数 ．
(1)求函数 的值域;
(2)函数 在 上有 10 个零点， 求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
，
所以， 的值域为 .（2）解：令 ， 即 ，
因为 ，所以 ，
因为函数 在 上有10个零点，
所以方程 在 上有10个实数根，
所以 ， 解得 ．
所以， 的取值范围为 .
2．（2022·北京海淀·一模）设函数 .已知存在 使得 同时满足下列三个
条件中的两个：条件①： ；条件②： 的最大值为 ；条件③： 是 图象的一条对称
轴.
(1)请写出 满足的两个条件，并说明理由；
(2)若 在区间 上有且只有一个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)②③，理由见解析
(2)
（1）函数 ，
其中 ，
对于条件①：若 ，则 ，
对于条件②： 的最大值为 ，则 ，得 ，①②不能同时成立，
当 时， ，即不满足条件③；
当 时， ， ，即满足条件③；
当 时， ， ，即不满足条件③；
综上可得，存在 满足条件②③.
（2）
由（1）得 ，当 时， ，
由于 在区间 上有且只有一个零点，
则 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
3．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知向量 ，函数
(1)求函数 的单调增区间；
(2)若函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）
，
令 ，解得 .
所以函数 的单调增区间为 .
（2）由函数 在区间 上有且仅有两个零点.
即 在区间 上有且仅有两个零点，
直线 与 的图像上有且仅有两个交点，
当 ， ，
设函数 ，在区间 上单调递增， ，
在区间 上单调递减， ，
在区间 上单调递增， ，
所以 或 ，即 或 .
4．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））已知 是函数
的两个相邻的对称中心的点的横坐标.
(1)若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；
(2)若关于 的方程 在区间 上有两个不同的根，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
因为 是函数相邻两个对称中心的横坐标，所以 ，解得 ，
，
若对任意 ，都有 ，只需 ，
由 可得 ，故 ，
所以 ，因此 ，即 ，解得 或 ，
因此 ；
（2）关于 的方程 ，化简后得
， ， ，
作出 图象，如图，
由图可知，当 ，即 时， 有两根.
5．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 在区间[ ，m]上有且仅有三个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
令 ，得 ， ，所以函数 的单调递增区间为 .
（2）令 ，即 ，
则 ，即 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
因为函数 在区间[ ，m]上有且仅有三个零点，
所以 ，
故m的取值范围是 .
角度2：零点代数和问题
1．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知函数
，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标
相差 ，_________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称且 ；
②函数 的图象的一条对称轴为直线 且 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，函数 存在两个不同零点 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
（1）
又函数 的最小正周期为 ， ，选①，将函数 向左平移 个单位得到的图象关于 轴对称，
所得函数为 ，
由于函数 的图象关于 轴对称，
可得 ，解得 ，
，所以， 的可能取值为 、 ，
若 ，则 ， ，符合题意，
若 ，则 ， ，不符合题意，
所以， ；
选②，因为函数 的一条对称轴 ，则 ，
解得 ， ，所以， 的可能取值为 、 ，
若 ，则 ，则 ，符合题意，
若 ，则 ，则 ，不符合题意，
所以， ；
（2）令 ，此时函数 存在两个不同零点 等价于直线 与函数
的图象有两个不同交点.
当 时，函数取到最大值.
∴ ，即 ，
∴ .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所
示．(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若方程 在 上有三个不相等的实数根
，求m的取值范围及 的值．
【答案】(1)
(2) ，
（1）
由图示得： ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以 ；
（2）
由已知得 ，当 时， ，令 ，则
，
令 ，则函数 的图象如下图所示，且 ， ，，
由图象得 有三个不同的实数根 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
故 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数 所在 匀上有两个不同的零点 ， ，求实数 的取值范围，并计算
的值．
【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为：[ ， ]，k∈Z；（2）m∈[ ，2），tan
（x ′+x ′）＝ ．
1 2
【详解】函数f（x）＝4sin（x ）cosx ．
化简可得：f（x）＝2sinxcosx﹣2 cos2x
＝sin2x （ cos2x）
＝sin2x cos2x
＝2sin（2x ）
（1）函数的最小正周期T ，由 2x 时单调递增，
解得：
∴函数的单调递增区间为：[ ， ]，k∈Z．
（2）函数g（x）＝f（x）﹣m所在[0， ]匀上有两个不同的零点x ′，x ′，
1 2
转化为函数f（x）与函数y＝m有两个交点
令u＝2x ，∵x∈[0， ]，∴u∈[ ， ]
可得f（x）＝sinu的图象（如图）．
从图可知：m在[ ，2），函数f（x）与函数y＝m有两个交点，
其横坐标分别为x ′，x ′．
1 2
故得实数m的取值范围是m∈[ ，2），
由题意可知x ′，x ′是关于对称轴是对称的：
1 2
那么函数在[0， ]的对称轴x
∴x ′+x ′ 2
1 2
那么：tan（x ′+x ′）＝tan
1 2
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝sin sin x－ cos2x＋
（1）求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
（2）若方程f(x)＝ 在(0，π)上的解为x ，x ，求cos(x －x )的值．
1 2 1 2【答案】（1）x＝ π＋kπ(k∈Z)，最大值为1；（2） .
【详解】（1）f(x)＝cos xsin x－ (2cos2x－1)＝ sin 2x－ cos 2x＝sin .
当2x－ ＝ ＋2kπ(k∈Z)，即x＝ π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
（2）由（1）知，当x∈(0，π)时，函数f(x)图象的对称轴为x＝ π.
又方程f(x)＝ 在(0，π)上的解为x ，x .
1 2
所以x ＋x ＝ π，则x ＝ π－x ，
1 2 1 2
所以cos(x －x )＝cos ＝sin ，
1 2
又f(x )＝sin ＝ ，
2
故cos(x －x )＝ .
1 2
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数 的相邻两对称轴
间的距离为 .
（1）求 的解析式；
（2）将函数 的图像向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图像，当 时，求函数 的值域.
（3）对于第（2）问中的函数 ，记方程 在 ，上的根从小到依次为 ，试
确定n的值，并求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， .
【详解】（1）由题意，函数因为函数 图像的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 .
故
（2）将函数 的图像向右平移 个单位长度，可得 的图像.
再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图像.
当 时， ，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，故函数 的值域 .
（3）由方程 ，即 ，即 ，
因为 ，可得 ，设 ，其中 ，即 ，
结合正弦函数 的图像，
可得方程 在区间 有5个解，即 ，
其中 ，
即
解得
所以 .
突破四：三角函数中的恒（能）成立问题1．（2022·北京市昌平区第二中学高三期中）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
所以 的最小正周期为
（2）“ 对 恒成立”等价于“ ”
因为
所以
当 ，即 时
的最大值为 .
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
2．（2022·北京·北师大实验中学高三期中）已知函数 .
(1)求 的值并求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)求证：当 时，恒有 .
【答案】(1) ，最小正周期为 ，单调递增区间为 ， ；
(2)证明见解析.【详解】（1）因为 ，化简可得
所以 ，
所以 ， 的最小正周期 .
令 ， ，解得 ， ，
∴单调递增区间为 ， .
（2）由 ，知： ，则有 的值域为 ，
∴ ，即当 时， ，
所以当 时，恒有 .
3．（2022·北京·清华附中高三阶段练习）已知函数 ，且 ．
(1)求a的值；
(2)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(3)若对于任意的 ，总有 ，直接写出m的最大值．
【答案】(1) ；
(2)函数 的最小正周期为 ，单调递增区间为 ， ；
(3)m的最大值为 .
（1）因为 ， ，所以 ，所以
，所以 ，所以 ，
（2）由(1) ，化简得 ，
所以 ，所以函数 的最小正周期 ，
由 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ；
（3）由 ，可得 ，所以 ，所以
， ，化简可得
由对于任意的 ，总有 可得 的最大值为 .
4．（2022·山西·平遥县第二中学校高三阶段练习）已知点 ， 是函数
图象上的任意两点，函数f(x)的图象关于直线x= 对称，且函数f(x)
的图象经过点 ，当 时， 的最小值为 ．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈ 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）由 知，函数 在 处的函数值一个是最大值，另一个是最小值，又
的最小值为 ，
于是得函数 的周期T= ，即 = ，则 ，
有 ，又函数f(x)的图象关于直线 对称，
因此 ，而 ，于是有 ，
所以函数f(x)的解析式是 ．（2）由（1）知， ，由 ，得
，
所以函数f(x)的单调递增区间为 ．
（3）当 时， ，有 ，则 ，
即有 ，因此 ，
显然 ，则当 时， 取得最大值 ，从而得 ，
所以实数m的取值范围是
.
5．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知函数 ，对任意
都有 ．
(1)求 的解析式；
(2)对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）因为对任意 都有 ，所以 是函数 的一条对称轴，
，解得 ，又 ，所以 ， .
（2）因为对任意 ，不等式 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 .
突破五：三角形中线问题
1．（2022·广东·深圳中学高二期中）如图，在 中，已知 ， ， ，BC边
上的中线为AM．(1)求 的值；
(2)求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由余弦定理，得 ，
即 ， ．
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
由 与 互补，则 ，解得 ．
（2）在 中，由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
2．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题）在
中，角 所对的边分别为 ，且 ， 的中线长为 ．
(1)证明： ；
(2)求 的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）证明：左边 ，
∴ ，又 ，
∴
（2）解：法一：（角化边）如图，设 为 中点，设 ， ，
因为 ，所以 ，
所以，在 中，由余弦定理得： ，所以 ，
所以， ，
所以，当 ，即 时， 有最大值 ，
所以， 的面积最大值为 .
法二：（边化角）
由 ， ，过点 作 ，垂足为 ，
所以 ，
所以， ，即 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，
所以
所以 的面积 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， 的面积最大值为 .
3．（2022·广东·韶关市张九龄纪念中学高二期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ．
(1)求角B；
(2)若 的面积为 ，求BC边上中线的长．
【答案】(1) ;
(2) .
【详解】（1） ，
，
或
或 （舍）
（2）
，即 ，得
由正弦定理 得，
设 边的中点为 ，连接 ，如下图,即
，得 .
4．（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量
与向量 共线．
(1)求角 ；
(2)请从条件①、条件②条件③这三个条件选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，并求AC边上
中线 的长．
条件①： ， ；条件②： ， ；条件③ ， ．
【答案】(1)
(2)选③；
【详解】（1）由向量 与向量 共线得：
∴
又因为 ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ；
（2）由①可知：
所以， 或 ， 不唯一确定（舍去）
由②可知：
又 ，所以 ，
即 或 ，
不唯一确定（舍去）
由③可知： ， ，，
∴
5．（2022·山西太原·高三期中）已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)记 分别为 内角 的对边，且 ， 的中线 ，求 面积的最大
值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由 ，
解得 ，
的单调递增区间为 ；
（2）因为 ，可得 ，
因为 ，所以 即 ，
由 及 可得，
，
所以
所以即 ，当且仅当 时取到等号，
所以 ，
故 面积的最大值为 .
6．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））已知 中，内角 ， ， 所对的边分别
为 ， ， ，且
(1)求 ；
(2)若 边上的中线长为 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
（1）
由已知得： ，
由正弦定理可化为： ，即 ，
由余弦定理知 ，
又 ，故 ．
（2）
设 边上的中线为 ，则
所以 ，即 ，
所以 ，即 ①
又 ，由余弦定理得 ，即 ②
由①②得 ，
所以 ．
7．（2022·福建泉州·高一期末）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
三个内角 的对应边分别为 ，且满足 ．
(1)求角B的大小；(2)若D为边AC的中点，且 ，求中线BD长．
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
(1)若选①： 可化为 ．
由正弦定理，可得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
若选②：由正弦定理，可得
移项得
即 ，
又因为 ，
所以 ，故 ．
若选③：由正弦定理，可得 ，
由余弦定理，可得 ．
因为 ，
所以
(2)
由余弦定理，可得 ，即
因为D为边AC的中点，所以 ，
在 中，由余弦定理，可得 ．
在 中，由余弦定理，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得
突破六：三角形角平分线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）1.已知 ， ， 分别是 的内角 ， ， 所对的边，
，再从下面条件①与②中任选 个作为已知条件，完成以下问
题．
(1)证明： 为锐角三角形；
(2)若 ， 为 的内角平分线，且与 边交于 ，求 的长．
① ；② ．
【答案】(1)证明见解析
(2)选择①②结果相同，
(1)方案一：选条件①
由正弦定理，
又 ， ， ，
令 ，（ ），从而 ，
由 ，解得： 或 （舍去）
从而 最大，又
为锐角三角形
方案二：选条件②
由正弦定理，
又 ， ， ，
令 ，（ ），从而 ，
解得： 或 （舍去）从而 最大，又
为锐角三角形
(2)方案一：选条件①
由 ，
∴
又由第一问可知： ，∴ ，
法一：由 ，
∴ ，
由面积公式得：
由 ，从而 ，
解得： ．
法二： ，解得：
由角平分线定理， ，
从而
在 中，由余弦定理， ，
解得：
方案二：选条件②
由 ，
又由第一问可知： ， ， ，
由 ，解得： 或 （舍去）
法一：故 ，由 ，
∴ ，由面积公式得：
由 ，从而 ，
解得： ．
法二：由角平分线定理， ，
从而
在 中，由余弦定理， ，
解得：
2．（2021·辽宁朝阳·高三开学考试）已知三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（1）求角 ；
（2）若 ，角 的角平分线交 于点 ， ，求 的长.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得
，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）可知
又 ；所以 ， ，可得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
解得 .3．（2019·安徽·二模（理））在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ；
.
（1）求角 的大小；
（2）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，
，求三角形 的内角平分线 的长.
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
在锐角三角形 中， ，即 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ；
（2）因为 ，所以 .
在三角形 中，由余弦定理得，
，
，
即 ，
解得， 或 .
当 时， ，
所以此时角 为钝角，不符合三角形 为锐角三角形，所以 .
由正弦定理得， ，
所以 ，所以 ， ，
因为 为内角平分线，所以 ，
所以 ，所以 .
4．（2022·江苏连云港·模拟预测）在△ 中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且 ，
．
(1)证明： ；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求△ 的面积．
条件①：△ 的中线 ；
条件②：△ 的角平分线 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)条件① ，条件②
(1)
因为 ，由余弦定理可得： ，
又 ，设 ，
则 ，解得 或 （舍），
故 ；
(2)
由 ，可得 ，又 ，故 ，
选①：△ 的中线 ，
在△ 中
解得 或 （舍），故 ．又 ，
则 ；
选②：在△ 中，由正弦定理得 ，
在△ 中，由正弦定理得 ．
又 ， ，得 ，
由 ，得 ，
在△ 中，
解得 ，又 ，
所以 ；
综上，条件① ，条件② .
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ．
(1)求 的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 的长．
① ；② 截得角 的角平分线的线段 长为1；③面积为 ．
【答案】(1) ；
(2)若选②， ；若选③，
(1)由正弦定理得 ，又 ，
可得 ，即 ，
又 ，故 ，又 ，故
由 可得 ，
即 ，故 ， .(2)若选①，由（1）知 ，和 矛盾， 不存在；
若选②，
由 为角 的角平分线可知： ，又 ，故 ，
即 ，又 ，故 ；
此时 存在且唯一确定；
若选③， ，又 ，
，解得 ；
此时 存在且唯一确定.
突破七：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习） 的内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，点O为
的内心，记 ， ， 的面积为 ， ， ，已知 ， ．
(1)求角B；
(2)在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，判断三角形是
否存在？若存在，求出三角形面积，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）设 内切圆半径为r，
因为 ，所以 ，
化简得： ，
所以 ，因为 ，所以 ．
（2）若选择①，因为 ，所以 ，
由（1）知 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 存在且唯一，面积 ．
若选择②， ，所以 ，
由（1）知 ， ，
所以 ，整理得 ，b无解，故 不存在．
若选择③，因为 ，
所以 ．
由（1）知 ， ，
所以 ，整理得 ，解得 或 ，
经检验， 或 ，满足题意，
所以 存在两个．
当 时， 的面积 ，
当 时， 的面积 ．
2．（2022·海南·高三阶段练习）已知 的内角 的对边分别为 ，
.
(1)求A；
(2)若 ，且 ，求 的面积.
【答案】(1) .
(2) .
【详解】（1）根据三角形面积公式有 ,
因为 ，所以 ，得 ，
， 不适合该式，所以 ，
由 ，得 .
（2）由题意 ，
由余弦定理可得 ，
可得 ，所以由 可得 得 ，
于是 ，
所以 的面积 .
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求A；
(2)若 的外接圆半径为 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【详解】（1）因为 ，∴ ，
∴ ，得 ，
因为 ，所以 ，
∴ ，又 ，故 ，
（2）由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
又由余弦定理得： ，即 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
，即 的面积的最大值为
4．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
△，且 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ABC为锐角三角形，且 ，求 ABC面积的取值范围．
△ △
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由 以及 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
由于 ，故 ，又 ，故 ，
故 或 ，
解得 或 （舍去），
故 .
（2）由正弦定理得 ，即 ， ．
所以 的面积 ，
．
因为 为锐角三角形，
所以 ，所以 ，所以 ，
故 面积的取值范围是 ．
5．（2022·浙江杭州·高三期中）锐角 中，已知 ．
(1)求角B；
(2)若 ，求 的面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
∴
由锐角 ，可知 ．
（2）由（1）知， ， ，则
又 ， ，则
由正弦定理知， ，则 ，
则
∵ ，
∴
又 ，则 ，
∴
突破八：三角形中周长（定值，最值，取值范围）
1．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ．
(1)若 ，求 ．(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）由余弦定理得 ，
所以 .
（2）依题意 ，由正弦定理得 ，
由于 ，
解得 ， ，所以 为锐角，
所以 ，
由余弦定理得 ，而 ，
所以 ，解得 ，
当 时， ， .
当 时， ， .
2．（2022·江苏镇江·高三期中）在 中，角 的对边分别为 已知
.
(1)求角 的大小；
(2) 边上有一点 ，满足 ，且 ，求 周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，由正弦定理得： .
..
（2） ，
化简得： 周长
令 ，即
又由复合函数单调性知 在 时单调递增
当 时， .
即 的周长最小值为 .
3．（2022·山东烟台·高三期中）在① ；② 这两个条件中任选一个作为已知条
件，补充到下面的横线上，并给出解答．
问题：已知 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 是 边的中点， ，且
______．
(1)求 的值；
(2)若 的平分线交 于点 ，求 的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：选择①：设 ，则 ，在 中， ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，
即 ，所以 ，故 ．
选择②：由正弦定理得， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，于是 ，∴ ，
设 ， ，
在 中， ，即 （i），
在 中， ，即 （ii），
联立（i）（ii）解得， ， ，即 ， ．
（2）解：由题意得， ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴故 的周长为 ．
4．（2022·广东江门·高三阶段练习）在 中，内角 的对边长分别为 ，设 为 的面
积，满足 .
(1)求角 的大小；(2)若 为锐角三角形，其外接圆半径为 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因为 中，面积为 ，又 ， ，
则 ，所以 ，又 ，所以 .
（2）若 为锐角三角形，由（1）知 ，且外接圆的半径为 ，
由正弦定理得 ，可得 ，
由正弦定理得 ，所以 ；
因为 ，
所以 ，
又 为锐角三角形，所以 ，且 ，
又 ，则 ，
所以 ，故 ；
所以 ，则 ，
所以 周长 的取值范围是 .
5．（2022·浙江浙江·高三期中）在 中，内角 所对的边分别为 ,已知
．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 周长 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 得， ，因为 ，解得 ．
所以 ．
（2）由 可知 ， ．
由 的面积为 ，得 ，故 ．
所以 ，即 ．（等号成立当且仅当 ）
又
（等号成立当且仅当 ）
所以 ．
故 周长 （等号成立当且仅当 ）．
因此 周长 的最小值为 ．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）在① ；② ；③
；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角 中，内角 、 、 ，的对边分别是 、 、 ，且______
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的范围．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
（1）解：选①，由 可得 ，
，则 ，可得 ， ；
选②，由 可得 ，
即 ，即 ，，则 ，故 ， ；
选③，由 及正弦定理可得 ，
、 ，则 ，所以， ，
故 ，
， ，因此， .
（2）解：由正弦定理可得 ，则 ， ，
，
因为 为锐角三角形，则 ，可得 ，
所以， ，则 ，
故 .
突破九：三角形中边长的代数关系
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对
边， 的面积 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
（1）
的面积 ，有 ，由余弦定理， ，得 ，
即 ，
已知 ，由正弦定理，有 ，
由 ，
∴
即 ， 中 ，∴ ， ，则 ，
∴ ，令 ，则有 ，解得 ，
由正弦定理， .
（2）
由（1）有： ， 为 的内角，
当 时， 有最大值 .
2．（2022·江苏·南京市第十三中学高三阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)记 的面积为 ，且 的外接圆面积为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）
由正弦定理， ，
故 ，
因为 ，故 ，同理可得， ，
故 ，
，即 ，
因为 ，故 ，解得 ；
（2）
因为 的外接圆面积为 ，
故 的外接圆半径为 ，
由正弦定理， ；
由余弦定理， ，所以 .（*）
，所以
将（*）式代入，可得
因为 ，所以由（*）式可得 ，
即 （当且仅当 时等号成立），故 ，
所以取值范围为
3．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求 ；
(2)记 的面积为 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2) 的最大值为【详解】（1）解：因为 ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
即 ，整理可得 ，
由正弦定理可得 .
（2）解： ，由余弦定理可得 ，
所以， ，令 ，即 ，
可得 ， 为锐角，且 ，
所以， ，解得 ，此时 ，
当 时， 取得最大值 .
故 的最大值为 .
4．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高三阶段练习）在 中，角A，B，C成等差数列，角A，B，C
所对的边分别为a，b，c．
(1)若 ，判断 的形状；
(2)若 不是钝角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1) 为直角三角形.
(2)
（1）
因为角A，B，C成等差数列，
又 ， ，即
， ，
由余弦定理得：
，由正弦定理得： ，即
， ，即
又 ，
所以 为直角三角形.
（2）
，则
由 不是钝角三角形，知 ，
由正弦定理知
当 时， ，
当 时， ， ， ， ，
，
综上可知， 的取值范围时
5．（2022·辽宁·鞍山一中二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A；
(2)若 为锐角三角形，且 的面积为S，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）可知 ， ．
则 ．
因为 锐角三角形，所以 ，整理得 ．
因为 ，所以 ．
令 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，且
(1)求 ；
(2)若 的外接圆的半径为1，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：因为 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ．
（2）
解：设外接圆的半径为 ，依题意 ，由正弦定理 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 是锐角三角形，
所以 ， ，可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，即
.
突破十：四边形（多边形）问题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距
离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；
(1)若点P与点C重合，求∠POB的大小；(2)P在何位置，求五边形 面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，
由余弦定理可得
，
所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得 ，
所以 ，解得 ，
为锐角，所以∠POB的大小为 .
（2）如图，连接QA，PB，OQ，OP，
∵曲线CMD上任意一点到O距离相等，
∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，
P，Q关于OM对称，设 ， ，
则 ，
则五边形 的面积
，其中 ，
当 时，五边形 的面积取得最大值 .
2．（2022·江西赣州·高三期中（理））“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田
里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔
顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形 的麦田里成为守望
者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知 ， ．(1)霍尔顿发现无论 多长， 都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记 与 的面积分别
为 和 ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 的最大值．
【答案】(1)证明见解析， ；
(2) .
【详解】（1）在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
在 中， ，即 ，
因此 ，即 ，
所以 ．
（2）显然 ，
，
于是得 ，由（1）知 ，
因此 ，
在 中， ，在 中， ，则 ，
由 ，得 ，即有 ，
从而当 时， ，所以 的最大值是 ．
3．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形 中， ， ， ．(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）解：连接 ，
因为 ， ，故 为等边三角形， ，
，则 ，
由正弦定理得 ，所以， .
（2）解：由余弦定理可得
，
所以， ，当且仅当 时，等号成立.因此，四边形 周长的最大值为 .
4．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）如图，在平面四边形 中， ，
， ．
(1)若 ，求 ．
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2) ．
（1）由已知 ，
所以 ；
（2）设 ，则 ， ， ，
由正弦定理 得 ，
， ，
，
，
是锐角， ，故解得 ，由正弦定理 ，所以 ．
5．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形 中， ， ，
.
(1)若 且 ，求凹四边形 的面积；
(2)若 ，求凹四边形 的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：如图，连接 ，在 中，
由正弦定理得 ，
所以 ，
同理可得，在 中，有 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又 ， 都是锐角，
所以 .
（也可由点 向 ， 作垂线，证明 是角平分线）
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以凹四边形 的面积 .（2）
解：如图，连接 ，在 中，由余弦定理得 ，故
.
在 中，设 ， ，
因为
所以，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
此时显然点 在 的内部，
所以 .（不写取等条件扣1分）
又 ，
所以凹四边形 的面积的最小值 .
6．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知在四边形 中， ，
，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求四边形 的面积.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【详解】（1）在 中， ，在 中， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
因为 ，
，
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
（2）由（1）可设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得，
，
在 中，由余弦定理得，
，
因为 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ，
所以四边形 的面积 .
突破十一：三角函数与解三角形实际应用
1．（2022·山东省实验中学模拟预测）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°
(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P
的仰角60°，若山高为2 千米．
(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？
【答案】（1）船的航行速度是每小时6( ＋1)千米．（2）山顶位于D处南偏东 .
【详解】(1)在△BCP中，tan∠PBC＝ BC＝2.
⇒
在△ABC中，由正弦定理得： ＝ ＝ ，
⇒
所以AB＝2( ＋1)，船的航行速度是每小时6( ＋1)千米．
(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝ ，
在△BCD中，由正弦定理得： ＝ sin∠CDB＝ ，∠CDB
⇒
所以，∠CDB＝
所以，山顶位于D处南偏东 .
2．（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别
表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A
的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.
（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P
处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P C A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏
西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A
直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．
【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
试题解析：（1）求得 ，由 海里.
（2）R国舰艇的到达时间为： 小时.
在 中，
得 海里，
所以渔政船的到达时间为： 小时.
因为 ，所以渔政船先到.
答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助.
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）如图所示， 是某海湾旅游区的一角，其中 ，为
了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸 和 上分别修建观光长廊 和AC，其中
是宽长廊，造价是 元/米， 是窄长廊，造价是 元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时
在线段 上靠近点 的三等分点 处建一个观光平台，并建水上直线通道 （平台大小忽略不计），水
上通道的造价是 元/米．
(1) 若规划在三角形 区域内开发水上游乐项目，要求 的面积最大，那么 和 的长度分别为
多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道 还需要多少钱？
【答案】（1） 和AC的长度分别为750米和1500米（2） 万元
试题解析：（1）设 长为 米， 长为 米，依题意得 ，
即 ，=
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 的面积最大时， 和AC的长度分别为750米和1500米
（2）在(1)的条件下，因为 ．
由
得
，
元
所以，建水上通道 还需要 万元．
解法二：在 中，
在 中，
在 中，
=
元
所以，建水上通道 还需要 万元．
解法三：以A为原点，以AB为 轴建立平面直角坐标系，则 ，
,即 ，设
由 ，求得 ， 所以所以，
元
所以，建水上通道 还需要 万元．
4．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）如图，某地出土一块三角形石器，其一角已破损．为了复原该三角形
石器，现测得如下数据： ， ， ， ．（参考数据：取
）
(1)求三角形石器另外两边的长；
(2)求D，E两点之问的距离．
【答案】(1) ;
(2)
（1）
如图，延长 交于点C,
因为 ，所以 ，
故 ,
即另外两边的长皆为 .
（2）
由题意得 , ，
故 ，
故D，E两点之问的距离为 .
5．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红
桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 ，已知射线 ， 为两边夹角为 的公路（长度均超过3
千米），在两条公路 ， 上分别设立游客上下点 ， ，从观景台 到 ， 建造两条观光线路， ，测得 千米， 千米.
(1)求线段 的长度；
(2)若 ，求两条观光线路 与 所围成 的面积的最大值.
【答案】(1)3千米
(2) 平方千米
（1）
在 中，由余弦定理得，
，
所以 ，
所以线段 的长度为3千米.
（2）
设 ，因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得，
，
所以 ， ，
因此
，
因为 ，所以 .
所以当 ，即 时，所围成 的面积的最大值为 .
所以两条观光线路 与 所围成 的面积的最大值为 平方千米．
6．（2022·安徽·肥东县综合高中高三阶段练习）现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑.某学习小组要完成
两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度.如图（1）.龙城大道沿线的水平路面上有两点A.B其中 指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出AB长度为2km，接着在飞龙路沿线选
定水平路面上可直接测距的C.D两点，测得 ，学习小组
根据上述条件计算出CD长度，并将其与CD的实际长度2.84km进行比较，若误差介于-20米~20米之间，
则认为百度地图测距是正确的.
(1)通过计算说明百度地图测距是否正确？（ ）
(2)如图（2），小组在A处测得现代传媒大厦楼顶M在西偏北 方向上，且仰角 ，在B处测
得楼顶M在西偏北 方向上，通过计算得 ， ， 若百度地图测出的
AB=2km是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米）
【答案】(1)答案见解析；
(2)336米.
【详解】（1）设 ，等腰 中， ，
在 中， ， ， ，可得 .
由正弦定理得 ，解得 ；
在 中，由余弦定理得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴百度地图测距是准确的.
（2）△ABN中，由正弦定理可得 ,
设 ， ，
△ABN中由余弦定理可得 ，
，，
由 ，
所以 ， ，
中， ，
答：测算出传媒大厦高度约为336米.
第三部分：冲刺重难点特训
一、解答题
1．（2022·浙江绍兴·一模）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，求 的周
长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
，
因为 ，
故 ；
（2）
，
而 ，即 ，
故 或 ，
由 ， 得 或 （舍去），由正弦定理得 ，故 ， ，
周长 ，
为锐角三角形，则 ，
， .
2．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知 相邻两条
对称轴之间的距离为 ．
(1)求 的值及函数 的单调递减区间；
(2)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1) ，单调递减区间：
(2)
（1）
，
∵ 相邻两条对称轴之间的距离为 ，
∴ ，∴ ，∴ ；
由 ，解得 ，
∴ 的单调递减区间为 ；
（2）由（1）知 ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
．
3．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若锐角 中角A、 ， 所对的边分别为 、 、 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
（1）
，
所以函数的最小正周期 ，
又由 ，
所以函数 的增区间为 ；
（2） ，则 ,由于锐角 中角 ， ，
，
三角形是锐角三角形， ， ，
得 ， ，故 ，
，即 ．
4．（2022·全国·模拟预测）锐角 的内角 的对边分别为 ，已知 .(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）因为 ，所以 ，
因为 是锐角三角形，所以 ，
即 ，故 ，所以 .
所以 .
（2）由正弦定理得
，
因为 ，所以 ，即 .
故 的取值范围是 .
5．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知函数 （ ， ）.
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 解析式的两个合理条件作为已知，条件
①： 的最大值为1；条件②： 的一条对称轴是直线 ；条件③： 的相邻两条对称轴之
间的距离为 .求：
(1)求函数 的解析式；并求 的单调递增区间、对称中心坐标；
(2)若将函数 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再向右平移 单位，得到函数 的图
象，若 在区间 上的最小值为 ，求m的最大值.
【答案】(1) ； （ ）； （ ）
(2)（1）
，
当选条件①时， ，解得 ；
当选条件②时， ，
显然条件②不合理；
当选条件③时， ，即 ，
解得 ；
综上所述，条件①③能确定函数 解析式，
且 ；
令 ，
得 ，
所以函数 的单调递增区间为 （ ）；
令 ，得 ， ，
所以函数 的对称中心坐标为 ， ；
（2）将函数 图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，
得到 的图象，再向右平移 单位，
得到函数 的图象，
即 ；
因为 ，所以 ，
因为 在区间 上的最小值为 ，
所以 ，解得 .所以 的最大值为 .
6．（2022·辽宁·沈阳二十中一模）已知函数 的部分图象如图所
示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若 在区间 上单调递减，求m的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）选条件①②：
因为 ，所以 ，即 ，则 .
由图可知 ，则 .
因为 ， ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，
所以 .
选条件①③：
因为 ，所以 ，即 ，则 .
由题意可知 ，则 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .
所以 .
选条件②③：
因为 ，所以 ，即 ，则 .
由题意可知 ，则 .
因为 ， ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 ，
所以 .
（2） .
由 ，
得 .
因为函数 在区间 上单调递减，且 ，此时 .
所以 ，所以m的最大值是 .
7．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形
进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相
同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形 （图2）中， ， ，
.(1)若 ， ，求平面凹四边形 的面积；
(2)若 ，求平面凹四边形 的面积的最小值.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）如图，连接 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理，得， ，
在 中， ， ， ，
，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ；
（2）由（1）知， ，
中， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当且仅当 时，平面凹四边形 面积取得最小值 .
8．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC中，点D为边BC上一点，且满足．
(1)证明： ；
(2)若AB＝2，AC＝1， ，求△ABD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ,
在 中，由正弦定理得 ,
又 ，故 ，
由于 ，所以 ，因此 ，
（2）由AB＝2，AC＝1， 以及余弦定理可得 ,
由于 为三角形内角,所以 ，由(1)知 ,故
因此 ,
进而得
9．（2022·四川雅安·模拟预测（文））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若 的面积为 ，求 周长l的最小值．
【答案】(1)
(2)12【详解】（1）由 ，
根据正弦定理，得 ，
即 ，则有 ，
由于 ，所以 ．
（2）由题， ，则 ．
又由（1）知 ，
则 周长 ，
当且仅当 取“ ”，同时解得 ，
所以， 周长l的最小值为12．
10．（2022·四川雅安·模拟预测（理））记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上， ，且 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）由已知，得 ，
根据正弦定理，得 ，
即 ，
由于 ， ，所以 ， 为锐角，所以 ．
（2）由 ，得 ，则 ，
所以 ，
所以， ，
则 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ．
即 面积的最大值为 ．
11．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）如图，在四边形 中，
(1)求角 的值；
(2)若 ， ，求四边形 的面积
【答案】(1) ；
(2)
（1）
，
因为 ，得 ，
或 ，
解得 或 ，因为 ，得 ，
（2）
在 中， ，在 中， ，
，
， ，得 ，
，所以四边形 的面积为
12．（2022·河南·固始县高级中学第一中学模拟预测（文））在 中，a，b，c分别为角A，B，C所对
的边， ，
(1)求角B﹔
(2)求 的范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，又
，所以 ，因为 ，所以 .
（2）在 中，由（1）及 ，得 ，
故 ，
，
因为 ，则 ，
﹒
所以 的范围为 .
13．（2022·四川成都·模拟预测（理））△ 中，角 所对边分别是 ， ，
．(1)求角 及边 ；
(2)求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2)
（1）
因为 ，由正弦定理 ，可得 ，所
以 ，即 .
因为 ，所以 ，
通分可得 ，即 ， ，
所以 ，即 .
（2）
因为 ，所以 ，由正弦定理可得 ，
．其中 且φ为锐角，
当 时，取到最大值 .
14．（2022·北京·人大附中三模）在 中， .
(1)求 的值；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 的面
积.
条件①： 条件②： ；条件③： 边上的中线长为 .
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(1)在 中， ，由正弦定理 得： .
(2)选条件①： .在 中， ， ，所以 ， .
由余弦定理 得： ，
无解，所以这样的三角形不存在.
选条件②： .
在 中， ， ，所以 ， .
由余弦定理 得： ，
解得： （ 舍去）.
所以 ， .这样的三角形存在并唯一.
所以 的面积为 .
即 的面积为 .
选条件③： 边上的中线长为 .
在 中， .
由余弦定理 得： ，即 ，解得： （
舍去）在 中， ， .
由余弦定理得： ，即 ，解得： ，所以 .这
样的三角形存在并唯一.
此时所以 的面积为 .
即 的面积为 .
