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1.4.2有理数的除法
有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 .
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
注意：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
题型1：有理数的除法法则
1.计算：﹣2÷4的结果是（ ）
1 1
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2 2
【变式1-1】如图， a,b 两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
a
A．a+b<0 B．ab<0 C．b−a<0 D． >0
b
【变式1-2】计算：（1）8÷(－24)
1 1
（2）（－1 ）÷（－2 ）
2 4
9
（3）(−36 )÷9
11题型2：分数的化简
9 −17
2.化简下列分数： − = ； = ．
3 −5
−72 30 0
【变式2-1】化简下列分数： = ； = ； = .
−9 −45 75
【变式2-2】化简：
−12
（1） ；
3
42
（2） ；
−4
−24
（3） ；
−16
−18
（4）－ .
6
有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最
后算出结果．
题型3：有理数的乘除混合运算
1 4
3.（1）(−81)÷(2 )×(− )÷(−8)
4 9
5 1 6 2
（2）2 ×(−1 )× ÷(− )
6 2 17 3
1
【变式3-1】计算：（1）3÷(− )×(−4)．
2
7 3
（2）−3.5÷ ×(− )
8 4
3
【变式3-2】计算：（1）6÷（﹣3）×（ − ）．
2
7 5
（2） −4.2÷ ×(− )
8 4
有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算
括号里面的．
题型4：有理数的四则运算4.计算
【变式4-1】用简便方法计算下列各题：
1
（1）0.25×(−125)÷ ×(−4)
8
2 3 1 1
（2）( − + )÷(− ) ．
3 4 6 24
1 1 1 1
（3） ( − + )÷(− )
5 3 6 30
【变式4-2】下面各题，怎样简便就怎样算，能简算的要写出必要的简算过程．
1 5 3
（1）( + − )×48 ，
4 6 8
（2）70.48−(68.48÷6.4+3.6) ，
8 5 7 1
（3） ÷[ −( + )]
9 4 15 4
题型5：有理数除法的应用-绝对值（提升）
5.已知 |a|=3 ， |b|=5 ，且 a>b ，求 b−2a 的值.
|a| |b| |c|
【变式5-1】已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x= + + 时，求
a b c
代数式： x2019-2x+2的值.
a b c
【变式5-2】已知 a ， b ， c 是有理数，当 abc≠0 时，求 + + 的值．
|a| |b| |c|
题型6：有理数除法的应用-新定义
x+3 y
6.定义一种新运算： xΔy= ，则：2△1＝ .
2y
a+b
【变式6-1】如果定义新运算： a∗b= (a≠b) ，那么（1※2）※3的值为 ．
a−b
【变式6-2】如果定义新运算“※”，满足a※b＝a×b－a÷b，那么1※（-2）＝ .a+b 1
【变式6-3】“*”代表一种新运算，已知a*b= ，求x*y的值．其中x和y满足（x+ ）2+|1﹣
ab 2
3y|=0．
题型7：有理数除法的应用-程序框
7.如图是一个运算程序，若x的值为−1，则运算结果为（ ）
A．−4 B．−2 C．2 D．4
【变式7-1】吴与伦比设计了一个计算程序，如图，如果输入的数是1，那么输出的结果是（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【变式7-2】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝－2，则最后输出的结果是 （ ）
A．－4 B．－10 C．－6 D．－12
题型8：有理数除法的应用-实际问题
8.学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100
元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打八折.如果王明同学一次性购书付款
162元，那么王明所购书的原价为多少？
【变式8-1】气象统计资料表明：海拔高度每增加100 米，气温降低大约0.6℃.小明和小亮为考证地方
教材中星斗山海拔高度，国庆期间他们两个进行实地测量，小明在山下一个海拔高度为1020米的小
山坡上测得的气温为14℃，小亮在星斗山顶峰的最高位置测得的气温为2℃，那么你知道星斗山顶峰的海拔高度是多少米吗？请列式计算.
【变式8-2】某个家庭为了估计自己家6月份的用电量，对月初的一周电表的读数进行了记载，上周日
电表的读数是115度．以后每日的读数如下表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
电表的度数(度) 118 122 127 133 136 140 143
估计6月份大约用多少度电？
题型9：用计算器探索规律
9.用计算器计算：
152= ；252= ；352= ；452= ．
（1）你发现了什么规律？
（2）不用计算器你能直接算出852，952的结果吗？
【变式9-1】使用计算器计算各式：6×7= 42 ，66×67= 4422 ，666×667= 444222 ，6 666×6
667= 44442222 ．
（1）根据以上结果，你发现了什么规律？
（2）依照你发现的规律，不用计算器，你能直接写出666 666×666 667的结果吗？请你试一试．
【变式9-2】利用计算器计算：
1×2×3×4+1，3×4×5×6+1，4×5×6×7+1
请思考：根据上面的计算，你能发现什么规律吗？用自己发现的规律求11×12×13×14+1的值，井
用计算器验算．
题型10：有理数运算与阅读材料
10.请你仔细阅读下列材料，计算：
1 1 1 1
阅读下列材料：计算 ÷( − + ) .
12 3 4 12
1 1 1 1 1 1
解法一：原式= = ÷ − ÷ + ÷
12 3 12 4 12 12
1 1 1 1
解法二：原式= ÷( − + )
12 3 4 12
解法三：原式的倒数为
1 1 1 1 1 1 1
( − + )÷ =( − + )×12
3 4 12 12 3 4 12
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法___是错误的.
1 2 1 1 2
请你选择合适的解法解答下列问题：计算： (− )÷( − + − )
30 3 10 6 5【变式10-1】阅读下列材料，并解答问题：
a b 1
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如 和 ，即若设a:b=x，则 b÷a= ；
b a x
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
1 1 1 1
利用上述材料，请用简便方法计算： (− )÷( − + ) .
60 3 4 12
1 1 1
【变式10-2】阅读下列材料，计算 50÷( − + ) ．
3 4 12
1 1 1
（1）解法1思路：原式 =50÷ −50÷ +50÷ =50×3−50×4+50×12 ；这种做法正确吗？
3 4 12
答： ．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法2提示：先计算原式的倒数： ( − + )× = × − × + × = ，故原式
3 4 12 50 3 50 4 50 12 50 300
等于 300 ．
7 3 7
（2）计算： ÷(1 − ) = ．
8 4 3
1 2 1 1 2
（3）请你用解法2的方法计算： (− )÷( − + − ) ．
30 3 10 6 5
a c a c
【变式10-3】阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 | | 的意义是 | | =ad﹣bc.
b d b d
1 2 −2 4
例如： | | =1×4﹣2×3=﹣2， | | =（﹣2）×5﹣4×3=﹣22.
3 4 3 5
5 −4
（1）按照这个规定请你计算 | | 的值；
−3 −2
3 7x
（2）按照这个规定请你计算：当|x﹣2|=0时， | | 的值.
2 2x−6
一、单选题
1．在等式“（﹣6）□（﹣3）＝2”中，“□”里的运算符号应是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
1 1
2．计算－1 ÷(－3)×(－ )的值为( )
3 31 1 4 4
A．－1 B．1 C．－ D．
3 3 27 27
3．定义运算：对于任意两个有理数a、b，有a b=(a–1)(b+1) 则计算-3*4的值是（ ）
A．12 B．–12 C．20 D．–20
4．下列各式中正确的是（ ）
A．−7+2=5 B．7−(−7)=0
1 1 2
C．−3.5×(−2)=−7 D．(− )÷ =−
5 2 5
5．设a，b是正整数，满足a+b＞ab，给出以下四个结论：甲：a≠1且b≠1；乙：a＞1且b＞1；丙：
a≠2且b≠2；丁：（a﹣1）（b﹣1）＝0.其中正确的结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．按键顺序 对应下面算式（ ）
A．（1-3）2÷2×3 B．1-32÷2×3
C．1-32÷2×3 D．（1-3）2÷2×3
7．我国股市交易中每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用。某投资者以每股10元的价格买入上
海某股票1000股，当该股票涨到每股12元时全部卖出，则该投资者实际盈利为（ ）
A．2000元 B．1925元 C．1835元 D．1910元
二、填空题
2 2
8．计算： (−6)×(− )÷(− )= .
3 3
9．计算 2×3+(−4) 的结果为 ．
3
10．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入 x=− ，则最后输出的结果是 .
211．三味书屋推出售书优惠方案：（1）一次性购书不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购书超
过100元但不超过200元一律打九折；（3）一次性购书超过200元及以上一律打八折。如果王明同学
一次性购书162元，那么王明所购书的原价一定为 .
12．在等式 3×□−2×□=15 的两个方格中分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式成立，
则第一个方格内的数是 .
三、计算题
3 5
13．计算：（ ）2﹣|﹣1÷0.2|+（﹣3）× ．
2 12
四、解答题
14．“十·一”黄金周期间，我市某景点旅游区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表：
（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．（单位：万人）
日 期
1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化
+ 1.2 + 1.2 + 0.4 – 0.2 – 0.8 + 0.2 – 1.4
若9月30日的旅游人数记为3万人，则
（1）请求出10月5日的旅游人数；
（2）请判断7天内旅游人数最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少万人？
（3）若该景点门票为每人20元，请算出该景点黄金周期间的收入共多少万元？
15．如图所示，某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．
三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路
程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区？
16．阅读与理解1
在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a⊕b⊕c= （|a﹣b﹣c|
2
1
+a+b+c）．如：（﹣1）⊕2⊕3=﹣ [|﹣1﹣2﹣3|+（﹣1）+2+3]=5
2
解答下列问题：
（1）计算：3⊕（﹣2）⊕（﹣3）的值；
6 5 4 1 1 2 3 8
（2）在﹣ ，﹣ ，﹣ ，…，﹣ ，0， ， ， ，…， 这15个数中，任意
7 7 7 7 9 9 9 9
取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算结果中的最大值．
