文档内容
上期期中学业质量监测
八年级数学试题
注意事项：
1、全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2、考生必须在答题卷上作答，答在试卷上、草稿纸上无效．
3、请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
A卷（100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，
请将正确选项前的字母填在答题卷上对应的表格内．
1.下列实数中，无理数是
A. B. C. D.
2.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
3.五根小木棒，其长度分别为 ， ， ， ， ，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的
是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）A. ﹣2 B. 1 C. 2 D.
5.如图，直角三角形三边向外作正方形，字母A所代表的正方形的面积为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
6.如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋
转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是
A. B. C. D.
的
7.要使二次根式 有意义，那么x 取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2
8.在平面直角坐标系中，点A（5，-2）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A. （﹣5，﹣2） B. （5，2） C. （﹣5，2） D. （﹣2，5）
9.一次函数 的图像正确的是（ ）
A. B..
C D.
10.已知点 和 都在直线 上，则 的大小关系是( )
A. B. C. D. 大小不确定
二、填空题（每小题4分，共16分）
11.比较大小： ________ (填 ， ，或 ).
12.已知点 在第四象限内，且到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，则点 的坐标是______．
13.如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，
关于x的方程ax+b=0的解是_____．
的
14.如右图，一只蚂蚁沿着边长为2 正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是
最短的，则此最短路径的长为 ．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）．
15.计算：
(1) (2)
16.计算：（1） （2）
的
17.《九章算术》是我国古代最重要 数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高
一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，在 中，
，求 的长．
18.已知 的平方根是 ， 的立方根是3， 是 的算术平方根．
（1）填空：a= 、b= 、 = ．
（2）若 的整数部分是 ，小数部分是y，求 的值
19.如图，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使AP=2OA， 求ΔBOP的周长．
20.如图，把长方形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA， OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接
AC，将 翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB=8，AB=4.(1)求AC所在直线的函数关系式;
(2)求点E的坐标和 的面积:
(3)求点D的坐标，并判断点(8， -4)是否在直线OD上，说明理由.
B卷（50分）
一、填空（每小题4分，共20分）
21.已知 ，则 的值是________．
22.已知实数 为△ABC的两边，且满足 ，第三边 则第三边c上的高的
值是______．
23.如图，由四个全等的直角三角形拼成的大正方形的面积为84，中间小正方形的面积为24，若直角三角
形较长直角边为 ，较短直角边为 ，则 __．
24.如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落
在点B′处．当 CEB′为直角三角形时，BE的长为__．
△25.如图，正方形AB C O，AB C C ，AB C C …按如图所示放置，点A、A、A…在直线y=x+1上，点
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3
C 、C 、C …在x轴上，则A 的坐标是____，通过你对A、A、A…坐标的研究发现，得出A 的坐标是
1 2 3 4 1 2 3 n
_____．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共记30分）
26.如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 千米有一台风中心正在B处形成，并沿着
北偏东45°的BC方向以15千米/小时的速度向C移动，AD⊥BC于D，如果在距台风中心150千米的区域
内都将受到台风的影响，请问：
（1）通过计算说明，台风会否影响到A市？
（2）画图计算说明，台风中心从B处出发后，经过几小时会影响到A市，对A市持续影响的时间有多少
小时？在第几小时时对A市的影响最大？
27.观察下列等式：
① ；② ；
③ ；…
回答下列问题：
（1）化简： = ； = ；（n为正整数）；
的
（2）利用上面所揭示 规律计算：
+…+ + ．
（3）若 ， ． 求 的值．
28.如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)．
(1)求线段AB的长；
(2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形 ABM，请求出满足条件的所有点M的
坐标； △
(3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与
点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出
它的变化范围(不要求写解题过程)．解析卷
A卷（100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，
请将正确选项前的字母填在答题卷上对应的表格内．
1.下列实数中，无理数是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】解： ， ， 是有理数，
是无理数，
故选C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数
如 ， ， 每两个8之间依次多1个 等形式．
2.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则逐项判断即可.
【详解】 ,故A错误;
,故B正确;
,故C错误;,故D错误;
故答案选B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则.
3.五根小木棒，其长度分别为 ， ， ， ， ，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要
利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形
是直角三角形．
4. 如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A. ﹣2 B. 1 C. 2 D.
【答案】C【解析】
试题分析：点A的坐标为（﹣2，1），则点A到y轴的距离为2．故选C．
考点：点的坐标．
5.如图，直角三角形三边向外作正方形，字母A所代表的正方形的面积为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的几何意义解答即可．
【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式可得，以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和
等于以斜边为边长的正方形的面积，
∴A=289-225=64．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的“数形结
合”思想是解题关键．
6.如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋
转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出OA的长即可得解．
【详解】由勾股定理可知，∵OA= ，
∴点A表示的数是 ．
故A，B，C错误，D正确，
故选D．
7.要使二次根式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2
【答案】C
【解析】
【分析】
二次根式的性质：被开方数大于等于0．
【详解】根据题意，得
2x-4≥0，
解得，x≥2．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．
8.在平面直角坐标系中，点A（5，-2）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A. （﹣5，﹣2） B. （5，2） C. （﹣5，2） D. （﹣2，5）
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用“若两个点关于y轴对称，则纵坐标相等横坐标互为相反数”得出答案即可．
【详解】解：点A（5，-2）关于y轴对称的点的坐标为：（-5，-2）．
故选：A
【点睛】本题考查的知识点是关于x轴、y轴对称的点的坐标，可以根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的
特点求解．
的
9.一次函数 图像正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
观察一次函数的解析式,确定出k和b的符号,利用一次函数图象及性质判断即可．
【详解】一次函数 ，其中k=1，b=-1，
其函数图像为与y轴交于 ，与x轴交于 ．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，根据解析式中字母系数确定出与各坐标轴的交点是解本题
的关键．
10.已知点 和 都在直线 上，则 的大小关系是( )
A. B. C. D. 大小不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜-2即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数 中，k= ＜0，
∴y随x的增大而减小，∵-3＜-2，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出一次函数的增减性是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11.比较大小： ________ (填 ， ，或 ).
【答案】 .
【解析】
【分析】
把根号外的数移入根号内，再比较即可．
【详解】解： = ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为 .
【点睛】本题考查实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键．
12.已知点 在第四象限内，且到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，则点 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值、点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值和点M所在象限即可
得出结论．
【详解】解：∵点 在第四象限内，且到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，
∴点M的坐标为
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是根据题意，求点的坐标，掌握点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值、点到y轴的
距离为该点横坐标的绝对值和各象限内点的坐标符号是解决此题的关键．
13.如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是_____．
【答案】x=2
【解析】
【分析】一次函数y=ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b=0的解．
【详解】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），
∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2，
故答案为x=2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为
ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为
0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标
的值．
14.如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是
最短的，则此最短路径的长为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短， ．考点：1．最短距离2．正方体的展开图
三、解答题（本题共6个小题，共54分）．
15.计算：
(1) (2)
【答案】（1） ；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
（2）原式=
=5＋4－4
=5
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解
决此题的关键．
16.计算：
（1） （2）
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】
（1）先计算无理数 的平方、绝对值、0次幂，再按照从左到右的顺序进行运算即可；
（2）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可．
【详解】解：（1）=5
（2）
=
=
=
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及到的知识有无理数的平方、绝对值、0次幂、二次根式的化简等，
熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高
一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，在 中，
，求 的长．
【答案】AC=4.55
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中利用勾股定理建立方程即可求出AC．
【详解】∵AC+AB=10
∴AB=10-AC
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即
解得AC=4.55【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
18.已知 的平方根是 ， 的立方根是3， 是 的算术平方根．
（1）填空：a= 、b= 、 = ．
（2）若 的整数部分是 ，小数部分是y，求 的值
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据立方根的定义列式求出b的值，然后根据算术平方根的定
义进行计算即可得解；
（2）由于2＜ ＜3，由此可得 的整数x的值；由此可得小数部分y的值，进而求出 的值．
【详解】（1）∵ 的平方根是 ，
∴ 2a-1=(±3)2，
∴a=5
∵ 的立方根是3，
∴ =33，
∵a=5
∴b=2
∵ 是 的算术平方根, a=5，b=2
∴m=
（2）∵ 的整数部分是x=2
∴小数部分y= -2
∴ = ( -2-2)2
==
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的
无理数的近似值是解题的关键．
19.如图，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使AP=2OA， 求ΔBOP的周长．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】
【分析】
（1）把x=0，y=0代入 ，即可求出A、B两点的坐标；
（2）先求出AP=3，得到点P坐标为（ ,0）或（ ，0），分类讨论，根据勾股定理求出BP，问题得
解．
【详解】解：（1）把x=0代入 得y=3，
把y=0代入 得 ，解得 ，
∴A( ,0)，B(0,3)；
(2)∵AP=2OA，
∴AP=3，∴点P坐标为（ ,0）或（ ，0）
如图1，当点P坐标为（ ,0）时，
在 ，
∴ ΔBOP的周长为3+ + = ；
如图2，当点P坐标为（ ,0）时，
在 ，
∴ ΔBOP的周长为3+ + = ；综上所述，ΔBOP的周长为 或 ．
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴的交点，坐标系内求线段的长等知识，解题时注意分类讨论．
20.如图，把长方形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA， OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接
AC，将 翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB=8，AB=4.
(1)求AC所在直线的函数关系式;
(2)求点E的坐标和 的面积:
(3)求点D的坐标，并判断点(8， -4)是否在直线OD上，说明理由.
【答案】(1) y= ;(2)10;(3) D坐标为（ ）,点（8， ）在直线OD上，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据已知求得A、C的坐标，然后根据待定系数法即可求解；（2）首先证明△ACE是等腰三角形，
在直角△OCE中利用勾股定理即可求得 OE的长，求得E的坐标，进而求得△ACE的面积；（3）作DF⊥x轴于点F，根据△ADE的面积求得D的纵坐标，然后在直角△ADF中，利用勾股定理求得AF的长，
从而求得OF，即可得到D的坐标，然后利用待定系数法求得直线OD的解析式，然后把点（8，-4）代入
判断即可；
【详解】解：（1） ∵OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，CB=8，AB=4．
∴A（8，0）、C（0，4），
设直线AC解析式为y=kx+b，
∴
解得：
∴AC所在直线的函数关系式为y= ；
（2）∵长方形OABC中，BC∥OA，
∴∠BCA=∠CAO，
又∵∠BCA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAO，
∴CE=AE；
设CE=AE=x，则OE=8-x，在直角 OCE中，OC2+OE2=CE2，
△
则 ，
解得：x=5；
则OE=8-5=3，
则E（3，0），
∴S = ×5×4=10；
ACE
△
（3）如图，作DF⊥x轴于点F，S =S = ，
ACD ABC
△ △
∴S =16-10=6，
ADE
△
又∵S = ，
ADE
△
∴ ×5×DF=6；
∴DF= ，
在直角 ADF中，AF= ，
△
则OF=8- ；
∴D坐标为（ ）；
设直线OD的解析式为y=mx，则 ，
解得：m= ，
则直线OD解析式为：y= x，
当x=8时，y=-4，则（8， ）在直线OD上.
【点睛】本题主要考查了勾股定理，一次函数的定义，一次函数综合题，掌握勾股定理，一次函数的定义，
一次函数综合题是解题的关键.
B卷（50分）
一、填空（每小题4分，共20分）
21.已知 ，则 的值是________．
【答案】25
【解析】【分析】
根据二次根式有意义的条件可得a=3,,进而可求得b的值,然后可得到答案.
【详解】由题意的:
解得:a=3.
则b=5,
∴
故答案为:25.
【点睛】本题主要是考查了二次根式有意义的条件的判断,结合了有理数乘方运算的知识点.
22.已知实数 为△ABC的两边，且满足 ，第三边 则第三边c上的高的
值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出 a，b的值，利用勾股定理逆定理判断出 ABC
是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半列式计算即可得解． △
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
设第三边c上的高的值是：h
∴∴
故答案为：
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆
定理．
23.如图，由四个全等的直角三角形拼成的大正方形的面积为84，中间小正方形的面积为24，若直角三角
形较长直角边为 ，较短直角边为 ，则 __．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方
84，也就是两条直角边的平方和是84，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即
2ab＝84-24＝60．根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：根据题意，并结合勾股定理得：
大正方形的面积：a2＋b2＝84，
四个直角三角形面积和为：S −S ＝84-24＝60，
大正方形 小正方形
∴
∴2ab＝60，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝84+60＝144
∴a+b=12
故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，解决本题的关键是完全平方公式的运用．24.如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落
在点B′处．当 CEB′为直角三角形时，BE的长为__．
△
【答案】2或
【解析】
【分析】
当 CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾
△
股定理计算出AC= ，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当 CEB′为直角三角形时，只能得到
△
∠EB′C=90°，所以点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，则
EB=EB′，AB=AB′=2，可计算出CB′= -2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt CEB′中运用勾股
△
定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】解：当 CEB′为直角三角形时，有两种情况：
△
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt ABC中，AB=2，BC=4，
△∴ ，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当 CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴△点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=2，
∴CB′= ，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt CEB′中，
∵EB△′2+CB′2=CE2，
∴
即： ，
解得： ；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=2．
故答案为：2或 ；
【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性
质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
25.如图，正方形AB C O，AB C C ，AB C C …按如图所示放置，点A、A、A…在直线y=x+1上，点
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3
C 、C 、C …在x轴上，则A 的坐标是____，通过你对A、A、A…坐标的研究发现，得出A 的坐标是
1 2 3 4 1 2 3 n
_____．【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先求出A、A、A、A 的坐标，找出规律，即可得出A 的坐标．
1 2 3 4 n
【详解】解：∵直线y=x+1和y轴交于A，
1
∴A 的坐标（0，1），即OA =1
1 1
∵四边形C OA B 是正方形，
1 1 1
∴OC =OA=1，
1 1
把x=1代入y=x+1得：y=2，
∴A 的坐标为（1，2），
2
∵四边形AC C B 是正方形，
2 1 2 2
∴AC =C C =2，
2 1 1 2
∴OC =3，
2
把x=2代入y=x+1得：y=3，
∴A 的坐标为（3，4），
3
∵四边形AC C B 是正方形，
3 2 3 3
∴AC =C C =3，
3 2 2 3
∴OC =3，
3
把x=3代入y=x+1得：y=4，
∴A 的坐标为（3，4），
3
…
∴A 的坐标为 ．
n
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，通过求出第一个正方形、第二个正
方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
二、解答题（26题8分，27题10分，28题12分，共记30分）26.如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 千米有一台风中心正在B处形成，并沿着
北偏东45°的BC方向以15千米/小时的速度向C移动，AD⊥BC于D，如果在距台风中心150千米的区域
内都将受到台风的影响，请问：
（1）通过计算说明，台风会否影响到A市？
（2）画图计算说明，台风中心从B处出发后，经过几小时会影响到A市，对A市持续影响的时间有多少小
时？在第几小时时对A市的影响最大？
【答案】（1）受到台风影响，见解析（2）12小时，第8小时．
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABD中,利用勾股定理直接得出AD的长比较即可；（2）利用勾股定理分别得出
BE，DE，DF的长进而分别得出答案．
试题解析：解：（1）在Rt△ABD中，∠B=∠A=45°，则AD=BD，∵
,∴AD=BD=120km＜150km，∴A市会受到台风影响；
（2）在BC上取两点E，F，使AE=AF=150km，在Rt△ADE中， DE=
90（km），同理可得：DF=90km， BE=BD-ED=120-90=30（km），∴ ， ，
答：经过2小时会影响到A市，对A市持续影响的时间有12小时，在第8小时时对A市的影响最大．
考点：勾股定理．27.观察下列等式：
① ；
② ；
③ ；…
回答下列问题：
（1）化简： = ； = ；（n为正整数）；
（2）利用上面所揭示的规律计算：
+…+ + ．
（3）若 ， ． 求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）5
【解析】
【分析】
（1）根据题中规律进行解答即可；
（2）根据题中规律进行解答即可；
（3）根据题中规律对各个式子进行化简，求得 和 的值，然后通过完全平方公式变形，代入计算
即可．
【详解】（1）；
；
（2） +…+ + ．
；
(3) ∵ ， ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，通过完全平方公式变形求值，解此题的关键在于准确理解题意，找
到其中规律．
28.如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)．
(1)求线段AB的长；
(2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形 ABM，请求出满足条件的所有点M的
坐标； △
(3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与
点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出
它的变化范围(不要求写解题过程)．【答案】（1） ；（2） ；（3）不变，
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°两种情况构造直角三角形，然后运用勾股定理求解即可；
的
（3）过A分别作x轴和y轴 垂线，垂足分别为G、H，可证明 AGC≌△AHD，可得到GC=HD，从而
△
可把OC-OD转化为HD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8．
【详解】（1）作AE⊥x轴于点E
∵点A(−4，4)，点B(0，2)，．
∴AE=4， BE=6．
∴线段AB
的
(2)∵△ABM是以AB为直角边 直角三角形，
∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，
①当∠BAM=90°时，如图1，
过A作AB的垂线，交x轴于点，交y轴于点M，
2设M（x，0），
1
AM 2=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，
1
BM2=(2+x)2=x2+4x+4，
1
AB2=52
∵AM 2+AB2 =BM2
1 1
∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，
得：x=-20，
∴M（-20，0）
1
设M（0，y）
2
AM 2=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32， BM2=22+y2 =y2+4， AB2=52
2 2
∵AM 2+AB2 =BM2
2 2
∴y2-8y+32+52=y2+4
得：y=10，
∴M（0，10）
2
②当∠ABM=90°时，如图2，过B作AB的垂线，交y轴于点M，
3
设M（0，y）
3
AM 2=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，
3
BM2=22+y2 =y2+4，
3
AB2=52
∵BM2+AB2 =AM 2
3 3
∴y2+4+52=y2-8y+32
得：y=-3，
∴M（0，-3）
3
综上可知点M的坐标为M（-20，0），M（0，10），M（0，-3）
1 2 3
(3)不变．OC−OD=8．
理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．
则∠AGC=∠AHD=90°，
又∵∠HOC=90°，
∴∠GAH=90°，
∴∠DAG+∠DAH=90°，∵∠CAD=90°，
∴∠DAG+∠CAG=90°，
∴∠CAG=∠DAH．
∵A(−4，4)，
∴OG=AH=AG=OH=4．
在 AGC和 AHD中
∠△AGC=∠A△HD，AG=AH，∠CAG=∠DAH
∴△AGC≌△AHD(ASA)，
∴GC=HD．
∴OC−OD=(OG+GC)−(HD−OH)=OG+OH=8．
故OC−OD的值不发生变化，值为8
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形
的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M点的位置是
解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
