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第十一章 不等式与不等式组
11．1 不等式
11．1.1 不等式及其解集
教学目标
课题 11.1.1 不等式及其解集 授课人
1.理解不等式的概念，理解不等式的解与解集的意义，知道它们的区别与联
系．
素养目标
2．经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建模思想．
3．会用数轴表示简单不等式的解集，渗透数形结合思想.
正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示
教学重点
在数轴上．
教学难点 理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集.
教学活动
教学步骤 师生活动
【情境引入】
活动一：创
我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题．同 【教学建议】
设情境，新知
时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利 利用学生感
导入
用不等关系同样可以解决实际问题． 兴趣的图片、游
【设计意
(1)猜大小．同学们 戏，使学生体会
图】
通过实例创 知道图①中的两个苹果 到在现实生活中
设情境，从 谁的体积比较大吗？ 存在着许多不等
“等”过渡到
左边的苹果的体积 关系，比如身
“不等”，激
比较大． 高、体重、分数
发学生的学习
(2)猜体重．同学们知道图②中的小明和小颖谁的体 等，从而引入不
兴趣，引入新
重比较大吗？ 等式的概念．
课.
小明的体重比较大．
探究点1 不等式的概念与列不等式 【教学建议】
活动二：
问题引入，探 阅读教材P121至例1之前，想一想： 教师引导学
究新知
(1)对于课本中的“问题”，若设车速为x km/h，
生观察思考，从
【设计意 则：
实际问题出发，
图】 ①从时间的角度看，因为时间＝，所以不等关系可以
得出不等式的概
表示为 ＜ 2.
念，再以实际问
通过问题引 ②从路程的角度看，因为路程＝时间×速度，所以不
题为归宿，让学
入不等式的概 等关系可以表示为 2 x ＞ 210 .
念，使学生体 生学会列简单的
(2)像①②这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系
会不等式是表 的式子，叫作不等式．像a＋2≠a－2这样用“≠”表示 不等式．不等关系的式子也是不等式．“≠”是不等于号，读作
“不等于”，它表示两个量不相等(填“相等”或“不相
等”)．表示不等关系的“＞”“＜”“≠”都是不等
号．我们常用不等式来表示不等关系．
(3)在下列所给式子：①a＋3≠1；②x＞2；③3＜5；
④3x＋1；⑤－2＞－1；⑥＜－1；⑦a＋b＝b＋a中，属
注意强调：
于不等式的有①②③⑤⑥.
例1 (教材P121例1)用不等式表示下列不等关系： 判断一个式子是
(1)a与15的和大于27； 不是不等式，关
示不等关系的
(2)b的一半与3的差是负数； 键看是否含表示
式子，并能根
(3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1 333 hm2 不等关系的符
据问题描述列
猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18
号，与式子的正
出简单的不等
倍．
式． 确性，是不是整
解：(1)a＋15>27；(2)－3＜0；
式，或者是否含
(3)设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm2，
未知数都无关．
那么1 333>18x，也可以表示为18x＜1 333.
【对应训练】
1．如图，身高为x cm的1号同学与身高
为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表
示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x＜y.(填
“＞”“＜”或“＝”)
2．教材P123练习第1题．
【教学建议】
探究点2 不等式的解
教师引导学
阅读教材P121例1之后至P122探究之前，想一想：
生类比方程的解
(1)要使汽车在8：00之前驶过A地，车速可以是110
的概念，确定不
km/h吗？107 km/h呢？105 km/h呢？90 km/h呢？
等式的解的概
车速可以是110 km/h或107 km/h，不能是105 km/h
念，让学生充分
【设计意 或90 km/h.
发表意见，并通
图】 (2)请你类比方程的解的概念，归纳一下何谓不等式的
通过列举满 解． 过计算、动手验
足实际问题条 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解． 证、动脑思考加
件的数值使学 (3)根据你归纳的不等式的解的概念，判断一下(1)中
深理解．
生感受不等式 给出的数哪些是不等式2x＞210的解，哪些不是．
提醒学生注
的解的概念.
110，107是不等式2x＞210的解，105，90不是不等
意：①验证不等
式20x＞210的解．
式的解时，将其
【对应训练】
代入看不等式是
1．下列不是不等式5x－3＜6的解的是（B）
否成立即可判
A．1 B．2 C．－1 D．－2
断；②有时候题
2．教材P123练习第2题．
目讨论的是不等式的特殊解，如
整数解等．
探究点3 不等式的解集
阅读教材P122探究至本页末尾，想一想：
【教学建议】
(1)再取x的一些值试一试：95，100，104，106，
通过大量列
108，109，哪些是不等式2x＞210的解？观察不等式2x
举不等式的解引
＞210的解，它们都满足什么条件？
106，108，109是不等式2x＞210的解．可以发现， 导学生归纳得出
当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x 不等式的解集的
＝105时，不等式2x＞210不成立．这就是说，任何一个 概念．教学过程
大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数 中不仅要考虑到
个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210
数学概念本身的
的解．
特点，更要注意
(2)什么叫作不等式的解集？它与不等式的解有何区
遵循学生学习数
别与联系？什么叫作解不等式？
学的规律，努力
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成
为学生创造自主
这个不等式的解集．
【设计意 不等式的解与不等式的解集的区别与联系如下表： 探究、合作交流
图】
不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数 的空间．同时，
区
引入不等式
的值的集合，不等式的解是能使不等式成立的
引导学生体验用
别
的解集和解不
未知数的值
数轴表示不等式
等式的概念，
联
解集包含所有的解，所有的解组成解集 的解集，以增强
探究在数轴上
系
表示不等式的 学生数形结合的
求不等式的解集的过程叫作解不等式．
解集的方法． 意识．
(3)不等式的解集有哪几种情况？在数轴上如何表
示？空心圆圈表示什么意思？画线方向怎样确定？ 有时候在数
不等式的解集有以下四种情况，在数轴上的表示如下 轴上表示不等式
(a＞0)：
的解集会遇到是
不等式
否包含临界点这
x＞a x＞－a x＜a x＜－a
的解集
一问题，可以跟
用数轴
学生强调包含时
表示
则画成实心圆
在数轴上表示不等式的解集时，先画数轴，再寻找临
点，表示“≥”
界点，最后画方向线．空心圆圈表示解集不包含这一临 或“≤”，这在
界点．画线时，大于临界点向右画，小于临界点向左
下一课时将会学
画，且要与数轴平行.
到．
(4)根据以上探究总结一下，要使汽车在8：00之前驶
过A地，对于车速有什么要求？不等式2x＞210的解集
是什么？表示在数轴上是怎样的？由教材P121给出的不等式①能得出这个结果吗？
车速必须大于105 km/h.不等式的解集是x＞105.表示在
数轴上如图所示．由教材P121给出的不等式①能得出这
个结果.
【对应训练】
1.下列说法中，错误的是(B)
A.不等式x＜5的整数解有无数个
B.不等式x＞－5的负数解有有限个
C.不等式x＋4＞0的解集是x＞－4
D.－40是不等式2x＜－8的一个解
2.教材P123练习第3题.
拓展设问：把上题中得到的各解集分别表示在数轴上.
解：(1)x＞3；(2)x＜4；(3)x＞2.解集在数轴上的表示如
图所示.
例2 如图，小明和爸爸妈妈玩跷跷板游戏，如果爸爸的
体重是72 kg，小明的体重是妈妈体重的一半，妈妈手中
的哑铃重6 kg.
【教学建议】
学生分组讨
论交流，教师指
定学生代表作
活动三：难
答，并对学生的
点突破，提升
作答予以指导和
探究 (1)设妈妈的体重为x kg，请你根据图中的不等关系
订正，使学生经
【设计意
列式．
图】 历现实生活中不
(2)妈妈的体重可以是40 kg吗？45 kg呢？50 kg
强化根据实 等关系的探究过
呢？
际问题中的不
解：(1)x＋＋6＞72. 程，体会建立不
等关系列不等
(2)把x＝40，45，50分别代入(1)中的不等式，发现 等模型的思想，
式的能力，理
当x＝40时，不等式不成立；当x＝45或50时，不等式 并能根据题目中
解不等式的特
成立．所以妈妈的体重不可以是40 kg，可以是45 kg或
的限制条件，求
殊解的意义.
50 kg.
出不等式的特殊
【对应训练】
解，掌握验证解
某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费700
的方法．
元，已知一副羽毛球拍的价格为150元，一筒羽毛球的
价格为30元，该校计划购买羽毛球拍4副，且购买后经
费要有剩余．
(1)若购买羽毛球x筒，请根据以上描述列出数学关系式；
(2)该校计划至少购买一筒羽毛球，有几种购买方
案？
解：(1)150×4＋30x＜700.
(2)当x＝1，2，3时，分别代入不等式，不等式成
立；当x＝4时，代入不等式，不等式不成立．所以有3
种购买方案．
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或
“随堂作业”册子)相应课时随堂训练．
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并
请学生回答以下问题：
1．什么是不等式？你会用不等式表示简单问题中的
不等关系吗？
2．什么是不等式的解？什么是不等式的解集？不等
式的解与解集有什么区别与联系？什么是解不等式？你
活动四：随 能在数轴上表示不等式的解集吗？
堂训练，课堂 【知识结构】
总结
【作业布置】
1.教材P128习题11.1第1，2，3，6题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
11.1.1 不等式及其解集
1.不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子.
板书设计 2.列不等式.
3.不等式的解和不等式的解集.
4.用数轴表示不等式的解集.
5.解不等式：求不等式的解集的过程.
本节课的教学中设置了大量的实际生活情况，让
学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式
是这种不等关系的具体体现．教学中还充分运用了类比
教学反思
思想，类比已经学习过的方程，让学生体会“等”与
“不等”之间的联系，自己去发现、探索，从而得出不
等式、不等式的解、不等式的解集的概念.解题大招一 不等式的解集
正确理解不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集
合叫作这个不等式的解集，这个解集可以在数轴上直观地表示出来，是数形结
合思想的具体表现．不等式的解集要区分于不等式的解，如－4，－2，0，1，2
都是不等式2x＜6的解，但不是它的解集．
例1 下列说法错误的是(D)
A．不等式5x－10＞0的解有无数个
B．3是不等式5x－10＞0的解
C．不等式5x－10＞0的解集是x＞2
D．x＞3是不等式5x－10＞0的解集
解析：2.9也满足不等式5x－10＞0，故x＞3不是不等式5x－10＞0的解集，
故D选项错误，符合题意；A，B，C选项的说法均正确，不符合题意．故选D.
解题大招二 用数轴表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时注意：大于向右，小于向左，有等号画实心圆
点，无等号画空心圆圈．
例2 某不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是 x >
－ 2 .
培优点 数轴上未知整数点的确定
例 如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内
含有整数： － 1 ， 0 ， 1 .
解析：设被污染的部分的数为x.由数轴可知－1.3＜x＜1.6.因为x为整数，
所以x＝－1或0或1.故答案为－1，0，1.
