文档内容
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
学习目标：1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
重点：能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.
难点：学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
自主学习
一、知识链接
1.三角形的内角和是多少？
2.正方形，长方形的内角和是多少？
课堂探究
一、要点探究
探究点1：多边形的内角和
问题1 三角形内角和是多少度？
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
证法1：如图，连接AC，所以四边形被分为两个三角形，
证法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形.
证法4：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD，将四边形变成有一个公
共顶点的四个三角形.
结论：四边形的内角和为________.
方法总结:这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角
形内角和求解.
【典例精析】
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?由特殊到一般
从多边形的一顶点 分割出三
名称 图形 多边形内角和
引出的对角线条数 角形个数
三角形
四边形
五边形
六边形
…… …… …… …… ……
n边形
要点归纳：n边形的内角和等于____________________.
【典例精析】
例2：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，
则这个多边形的每个内角是多少度？
例3：已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求
出边数n．若不对，请说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值．
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125°，当他发现错了
以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数.
探究点2：多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2：五个外角加上五个内角的和是多少？
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
思考：n边形的外角和又是多少呢？
要点归纳：n边形的外角和等于360°，与边数无关.
问题4：回想正多边形的性质，你知道正n边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为
什么？
针对训练
（1）如果正多边形的一个内角是120 °，那么这是正____边形.
（2）已知某正多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是______边形.
【典例精析】
例5：已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
例6：已知一个多边形的每个内角与相邻外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数
及边数．
教学备注
配套PPT讲授
二、课堂小结
5.课堂小结
多边形的内角和定理 (n-2) × 180 °(n ≥_______的整数）
多边形的外角和等于_________.
多边形的外角和定理
特别注意：与边数无关.
正多边形 每个内角=_______，每个外角=________.
当堂检测
6.当堂检测
1.判断正误：
（ 见 幻 灯 片
（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
24-28）
（2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
（3）三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又
向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点 A时，走的路程一共是_____
米．
4.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，则这个多边形的内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
拓展提升
7.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.参考答案
自主学习
一、知识链接
1.180° 2.360°
课堂探究
二、要点探究
探究点1：多边形的内角和
问题1 三角形内角和是180°.
问题2 都是360°.
问题3 四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 解：证法1：如图，连接AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为180°×2=360°.
证法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD的内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.
证法4：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD，
将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD的内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
结论： 360°
【典例精析】
例1 解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C =180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D= 360 °，
所以∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）= 360°－180°=180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
【变式题】 证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°.
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°.
故△DCF为直角三角形．
问题5 解：如图，
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.由特殊到一般
要点归纳 (n-2)×180 °
【典例精析】
例2 解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
例3 解：（1）∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4.
（2）依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．
【变式题】 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间.
解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，
即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
例4 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC
的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝ ∠EAB，同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°．
探究点2：多边形的外角和
问题1 互补
问题2 5×180°=900°
问题3 五边形外角和=5个平角和－五边形内角和=5×180°－(5－2) × 180°=360 °.
思考 n边形外角和=n个平角和-n边形内角和= n×180 °－(n－2) × 180°=360 °.问题4 每个内角的度数是 ，每个外角的度数是 .
针对训练
（1）六 （2）正八
【典例精析】 教学备注
配套PPT讲授
例5 解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2)•180°，外角和等于360°，∴ (n－2)•180°=2× 360°.解得 n=6.
5.课堂小结
∴这个多边形的边数为6.
例6 解：解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°，
根据题意得 7x+2x=180，解得 x=20.即每个内角是 140 °，每个外角是 40 °，360° ÷40
°=9.
答：这个多边形是九边形.
解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得 ，解得n=9.
答：这个多边形是九边形.
6.当堂检测
【变式题】 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
（ 见 幻 灯 片
24-28）
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
当堂检测
1.√ × √ 2.120° 3.150 4.D 5.C
6. 解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能
加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
拓展提升
7.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边
形的内角和＝540°.
