文档内容
第十三章 轴对称
13．3 等腰三角形
13．3．1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标：1．理解并掌握等腰三角形的性质．
2．经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关
问题．
重点：掌握等腰三角形的性质
难点：运用等腰三角形的性质解决有关问题．
自主学习
知识链接
1．三角形全等的判定方法：（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；（5） ．
2．等腰三角形的有关概念：有两条边 的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边
叫做 ，另一条边叫做 ，两腰所夹的角叫做 ，底边与腰的夹角叫做
．
3．（1）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长等于_________．
（2）已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则其周长等于_________．
注意：已知两边求等腰三角形的周长，应该分两种情况讨论．注意在讨论后要思考这样的
三条边能否构成三角形．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：等腰三角形的性质1
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再
把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角．
重合的线段 重合的角
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的什么性质吗？说一说你的猜想．
猜想与验证：性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）．
已知：如图，△ABC 中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
典例精析
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
方法总结：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之
间的关系列方程求解.
针对训练
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
例2：等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
方法总结:等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，
要分两种情况讨论．探究点2：等腰三角形的性质2
思考：建筑工人在盖房子时，将一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物
的绳子正好经过三角板的底边中点，就说房梁
是水平的，你知道为什么吗?
想一想：刚才的证明除了能得到∠B＝∠C，你还能发现什么?
重合的线段 重合的角
要点归纳：性质2 等腰三角形的 ， ， 互
相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）．
填一填：根据等腰三角形性质定理2完成下列填空．
在△ABC中，AB=AC时：
（1）∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____．
（2）∵AD是中线，∴____⊥____，∠_____ =∠_____．
（3）∵AD是角平分线，∴____ ⊥____，_____ =_____．
辨一辨：1．等腰三角形的顶角一定是锐角． （ ）
2．等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以． （ ）
3．钝角三角形不可能是等腰三角形． （ ）
4．等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边． （ ）
5．等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合． （ ）
6．等腰三角形底边上的中线一定平分顶角． （ ）
典例精析
例3：已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC．
（1）如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
（2）如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC．方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边
上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
二、课堂小结
等腰三角形的性质 内容 主要事项
性质1 等边对等角 注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才
性质2 三线合一 有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线
不具有这一性质
当堂检测
1．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为
（ ）
A．40°
B．30°
C．70°
D．50°
3．（1）等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为_____________；
（2）等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为____________________；
（3）等腰三角形一个角为120°，它的另外两个角为_______________．
4．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角
的大小为___________．
5．如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B =30°，求∠BAD和∠ADC
的度数．6．如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝
∠F，求证：EC∥DF．
拓展提升
7．A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、
B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
A
B参考答案
自主学习
一、知识链接
1．SSS SAS ASA AAS HL
2．相等 腰 底 顶角 底角
3．（1）10或11 （2）17
课堂探究
二、要点探究
探究点1：等腰三角形的性质1
剪一剪 解：AB=AC，△ABC 是等腰三角形．
折一折：等腰三角形是轴对称图形，折痕所在的直线是它的对称轴．
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角．
重合的线段：AB与AC，BD与CD，AD与AD；
重合的角：∠B 与∠C，∠BAD 与∠CAD，∠ADB 与∠ADC．
猜想与验证：证法1：作底边上的中线
证明：作底边的中线 AD，则 BD = CD.
在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）．
证法2：作顶角的平分线
证明：作顶角∠BAC的平分线AD，则∠BAD = ∠CAD．
在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．
证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D．
∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD与Rt△ACD中， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠B＝∠C．
典例精析
例1 解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD．
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．
针对训练
解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC．
设∠C=x°，则∠DAC=x°，∠ADB +∠ADC = 180°，∠C +∠DAC+∠ADC = 180°，
∴∠ABD =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°.
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得2x+x+26+x=180，解得x=38.5．
∴∠C= x°=38.5°，∠B=2x°=77°．例2 A
探究点2：等腰三角形的性质2
要点归纳 顶角平分线 底边上的中线 底边上的高
填一填 （1）1 2 BD CD
（2）AD BC 1 2
（3）AD BC BD CD
辨一辨 × × × √ × √
典例精析
例3证明：（1）如图①，过A作AG⊥BC于G．
∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.
（2）∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF．∵AB＝AC，
∴AF⊥BC．
当堂检测
1．B 2．B
3．（1）75°， 30° （2）72°，72°或36°，108° （3）30°，30° 4．70°或20°
5．解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴∠C=∠B=30°，∠BAD =∠DAC，∠ADC =90°．
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°．∴∠BAD= ∠BAC=60°．
6．证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
又∵BD、CE 为底角的平分线，∴∠DBC = ∠ABC，∠ECB = ∠ACB，∴∠DBC＝
∠ECB．
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF．
拓展提升
7．解：如图，共8个．
