文档内容
第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1．4 整式的乘法
第3课时 整式的除法
学习目标：1．理解并掌握同底数幂的除法法则．
2．探索整式除法的三个运算法则，并运用其进行计算．
重点：掌握同底数幂的除法法则．
难点：运用整式除法的三个运算法则进行计算．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：同底数幂的除法
探索发现：
1．计算：
（1）25×23=______； （2）x6·x4=______； （3）2m×2n=______．
2．填空：
（1）2（ ）×23=28，即28÷23=________ =2（ ）；
（2）x6·x（ ）=x10，即x10÷x6=________ =x（ ）；
（3）2（ ）×2n=2m+n，即2m+n÷2n=________ =2（ ）．
3．观察下面的等式，你能发现什么规律？
（1）28÷23=25； （2）x10÷x6=x4； （3）2m+n÷2n=2m．
4． 试猜想：am÷an=？(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)
要点归纳：一般地，我们有am ÷an=am－n (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)，
即同底数幂相除，底数______，指数_______．
想一想：am÷am=？(a≠0)
要点归纳：a0 =1(a_____)，这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．
典例精析
例1：计算：（1）x8÷x2；（2）(ab)5÷(ab)2．
方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式
可将其看作一个整体，再根据法则计算．针对训练
计算：
（1）(－xy)13÷(－xy)8；
（2）(x－2y)3÷(2y－x)2；
（3）(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2．
例2：已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am-n-1进行变形，再整体代值计算．
探究点2：单项式除以单项式
探 索 发 现 ： （ 1 ） 计 算 ： 4a2x3·3ab2=___________ ； （ 2 ） 计 算 ：
12a3b2x3÷3ab2=___________．
要点归纳：单项式除以单项式的法则，即单项式相除， 把______、__________分别相除后，
作为商的______；对于只在被除式里含有的字母，则连它的______一起作为商的一个因式．
典例精析
例3：计算：
（1）28x4y2÷7x3y； （2）－5a5b3c÷15a4b．
针对训练
计算：
（1）(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2； （2）(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算
乘方，再算乘除．
练一练：下列计算是否正确？如果错了，怎样改正？（1）4a8÷2a2= 2a4 ( ) （2）10a3÷5a2=5a ( )
（3）(－9x5)÷(－3x) =－3x4 ( ) （4）12a3b÷4a2=3a ( )
探究点3：多项式除以单项式
问题1：一幅长方形油画的长为a+b，宽为m，求它的面积．
面积为 = ．
问题2：若已知该油画的面积为ma+mb，宽为m，如何求它的长？
问题3：如何计算 (am+bm) ÷ m ?
要点归纳：多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，就是用多项式的________除以这个________，再把所得的商________．
关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式．
典例精析
例4：计算(12a3－6a2+3a)÷3a．
方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化
为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题．
针对训练
计算：
（1）(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3； （2）(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
例5：先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2023，y＝2022．二、课堂小结
同底数幂的除法
底数_____，指数____
1．_____相除；2．同底数的幂______；
整式的除法 单项式除以单项式 3．只在被除式里的因式照搬作为商的一
个因式
多项式除以单项式
转化为单项式除以单项式问题
当堂检测
1．下列说法正确的是（ ）
A．(π－3.14)0没有意义 B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103 D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4
2．下列算式中，不正确的是（ ）
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4 B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C．4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
3．已知28a3bm÷28anb2=b2，那么m，n的取值为（ ）
A．m=4，n=3 B．m=4，n=1 C．m=1，n=3 D．m=2，n=3
4．一个长方形的面积为a2+2a，若它的宽为a，则它的长为_________．
5．已知一多项式与单项式－7x5y4 的积为21x5y7－28x6y5，则这个多项式是_________．
6．计算：
（1）6a3÷2a2； （2）24a2b3÷3ab；
（3）－21a2b3c÷3ab； （4）(14m3－7m2+14m)÷7m．
7．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝－3．
拓展提升：
8．（1）若32·92x+1÷27x+1=81，求x的值；
（2）已知5x=36，5y=2，求5x－2y的值；
（3）已知2x－5y－4=0，求4x÷32y的值．参考答案
课堂探究
二、要点探究
探究点1：同底数幂的除法
探索发现：
1．（1）28 （2）x10 （3）2m+n
2．（1）5 28-3 25
（2）4 x10-6 x4
（3）m 2m+n-n 2m
3．同底数幂相除，底数不变，指数相减
4． am-n
要点归纳 不变 相减
想一想 1
要点归纳 ≠0
典例精析
例1 解：（1）x8÷x2=x8-2=x6.
（2）(ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3．
针对训练
解：（1）原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5.
（2）原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y.
（3）原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1．
例2 解：∵am＝12，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2．
探究点2：单项式除以单项式
探索发现 （1）12a3b2x3 （2）4a2x3
要点归纳 系数 同底数的幂 因式 指数
典例精析
例3 解：（1）原式=(28 ÷7)x4-3y2-1=4xy；
（2）原式=(－5÷15)a5-4b3-1c=
针对训练
解：（1）原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z.
（2）原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z．
练一练：
（1）× 2a6 （2）× 2a （3）× 3x4 （4）× 3ab
探究点3：多项式除以单项式
问题1 (a+b)m ma+mb
问题2 (ma+mb)÷m
问题3 计算（am+bm) ÷m就是相当于求( )·m=am+bm，因此不难想到括里应填a+b．
又知am÷m+bm÷m=a+b，即(am+bm)÷m=am÷m+bm ÷m．
要点归纳：多项式除以单项式的法则：
每一项 单项式 相加典例精析
例4 解：(12a3－6a2+3a)÷3a=12a3÷3a+(－6a2)÷3a+3a÷3a=4a2－2a+1．
针对训练
解：（1）原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3=3x2yz－2xz＋1.
（2）原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1．
例5 解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y＝x－y．
把x＝2023，y＝2022代入上式，得原式＝x－y＝2023－2022＝1．
当堂检测
1．D 2．D 3．A 4．a+2 5．－3y3+4xy
6．解：（1）原式＝(6÷2)a3-2=3a.
（2）原式=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2.
（3）原式=(－21÷3)a2-1b3-1c= －7ab2c.
（4）原式=14m3÷7m－7m2÷7m+14m÷7m= 2m2－m+2．
7．解：原式＝x2－xy＋xy－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2．
当x＝1，y＝－3时，原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26．
拓展提升：
8．解：（1）32·34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，则x+1=4，解得x=3.
（2）52y=(5y)2=4，则5x-2y=5x÷52y=36÷4=9.
（3）∵2x－5y－4=0，∴2x－5y=4．则4x÷32y=22x÷25y=22x-5y=24=16．
