文档内容
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
学习目标：1．理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系．
2．理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．
重点：理解理解因式分解的意义和概念．
难点：掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．
自主学习
一、知识链接
1．计算：x(x+1）= ，3a(a+2)= ，m(a+b+c)= ．
2．乘法的分配律：a(b+c)=___________．
课堂探究
一、要点探究
探究点1：因式分解
合作探究：
1．运用整式乘法法则或公式填空：
（1）m(a+b+c)= ；
（2）(x+1)(x－1)= ；
（3）(a+b)2= ．
2．根据等式的性质填空：
（1）ma+mb+mc=( )( )；
（2）x2－1=( )( )；
（3）a2+2ab+b2=( )2．
比一比，这些式子有什么共同点？
要点归纳： 把一个 化为几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫做
把这个多项式 ，也叫做把这个多项式分解因式．
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同
表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．辩一辩：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________，不是的，请说明为
什么？
①am+bm+c=m(a+b)+c ____________________________________；
②24x2y=3x·8xy ____________________________________；
③x2－1=(x+1)(x－1) ____________________________________；
④(2x+1)2=4x2+4x+1 ____________________________________；
⑤x2+x=x2(1+ ) ；
⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z) ．
探究点2：用提公因式法分解因式
问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
pa+pb+pc x2＋x
概念归纳：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式
各项的公因式.
pa+pb+pc=p(a+b+c)
方法归纳：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式
写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
问题2：如何确定一个多项式的公因式？
找3x2－6xy的公因式
有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，最大公
约数是____________，它们含有的共同字母是___________，该字母的指数分别为________、
_________；该多项式的公因式为______________．
方法归纳：找出多项式的公因式的一般步骤：
1．定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________．
2．定字母：字母取多项式各项中都含有的________的字母．
3．定指数：相同字母的指数取各项中 的一个，即字母的最_____次数．
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
（1）3x+6y （2）ab－2ac
（3）a2－a3 （4）9m2n－6mn
（5）－6x2y－8xy 2
典例精析
例2：把下列各式分解因式：
（1）8a3b2＋12ab3c； （2）2a(b＋c)－3(b＋c)．方法总结：提公因式法步骤（分两步）第一步：找出公因式；第二步：提取公因式，即将
多项式化为两个因式的乘积．
针对训练
因式分解：
（1）3a3c2＋12ab3c； （2）a(3b－3c)＋3(c－b)； （3）(a＋b)(a－b)－a－b．
想一想：
（1）小明的解答有误吗？ （2）小亮的解法有误吗？ （3）小华的解法有误吗？
把12x2y+18xy分解因式． 把3x2－6xy+x分解因式． 把－x2+xy－xz分解因式．
解：原式=3xy(4x+6y)． 解：原式=x(3x－6y)． 解：原式=－x(x+y－z)．
易错归纳：（1）提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．（2）提取公因式后，漏掉
另一个因式中商是1的项；（3）找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错．
例3：计算：
（1）39×37－13×91； （2）29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14．
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例4：已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求式子进行因式分解，变形为能用a±b和ab
表示的式子，然后将a±b，ab的值整体代入求解．
二、课堂小结当堂检测
1．多项式15m3n2+5m2n－20m2n3的公因式是（ ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
2．把多项式(x+2)(x－2)+(x－2)提取公因式(x－2)后，余下的部分是（ ）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A．12xz－9xy=3xyz(4－3xyz) B．3a2y－3ay+6y=3y(a2－a+2)
C．－x2+xy－xz=－x(x+y－z) D．a2b+5ab－b=b(a2+5a)
4．把下列各式分解因式：
（1）8m2n+2mn=_____________； （2）12xyz－9x2y2=_____________；
（3）p(a2+b2)－q(a2 + b2 )=_____________； （4）－x3y3－x2y2－xy=_______________；
（5）(x－y)2+y(y－x)=_____________．
5．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于_____________．
6．简便计算：
（1）1.992+1.99×0.01； （2）20222+2022－20232； （3）(－2)101+(－2)100．
7．（1）已知：2x+y=6，xy=3，求式子2x2y+xy2的值；
（2）化简求值：(2x+1)2－(2x+1)(2x－1)，其中x= ．
拓展提升
8．△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等
腰三角形还是直角三角形，并说明理由．参考答案
自主学习
一、知识链接
1．x2+x 3a2+6a ma+mb+mc
2．ab+ac
二、要点探究
探究点1：因式分解
合作探究
1．（1）ma+mb+mc （2）x2-1 （3）a2+2ab+b2
2．根据等式的性质填空：
（1）m a+b+c （2）x+1 x-1 （3）a+b
要点归纳 多项式 乘积 因式分解
想一想 是互为相反的变形．
例1 B
辩一辩 ③⑥
①最后不是积的运算
②因式分解的对象是多项式
④是整式乘法
⑤每个因式必须是整式
探究点2：用提公因式法分解因式
问题1 都有公共的因式
问题2 两 3x2 6xy 3 6 3 x 2 1 3x
方法归纳 最大公因数 相同 最小 最低
找一找 （1）3 （2）a （3）a2 （4）3mn （5）-2xy
典例精析
例2 解：（1）8a3b2＋12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).
（2）2a(b＋c)－3(b＋c)=(b+c)(2a－3)．
针对训练
解：（1）原式＝3ac(a2c＋4b3).
（2）原式＝3(b－c)(a－1).
（3）原式＝(a＋b)(a－b－1)．
想一想 解：（1）错误，原式=6xy(2x+3y)．
（2）错误，原式=3x·x－6y·x+1·x=x(3x－6y+1)．
（3）错误，原式=－(x2－xy+xz)=－x(x－y+z)．
例3 解：（1）原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260.
（2）原式＝20.23×(29＋72＋13－14)＝2023．
例4 解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28．
当堂检测
1．C 2．D 3．B
4．把下列各式分解因式：
（1）2mn(4m+1) （2）3xy(4z-3xy) （3）(a2+b2)(p-q)
（4）-xy(x2y2+xy+1) （5）(y-x)(2y-x)
5．3a(x－y)26．解：（1）原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98；
（2）原式=2022×(2022+1)-20232=2022×2023-20232=2023×(2022-2023)=-2023．
（3）原式=(-2)100×(-2+1)=2100×(-1)=-2100．
7．解：（1）2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×6=18.
（2）原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=2(2x+1)．将x= 代入上式，得原式=4．
拓展提升
8．解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab－c－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，
∴a－c＝0，或1＋2b＝0，即a＝c，或b＝－0.5(舍去)．∴△ABC是等腰三角形．
