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15.3.1 分式方程
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知
数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
题型1：分式方程的定义
1.给出下列方程： ， ， ， ，其中分式方程的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程逐一进行判
断．
【解答】解：根据分式方程的定义可知：分式方程有 ＝2， ＝ ，共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式方程，解题的关键是掌握分式方程的定义．
【变式1-1】下列方程：①x2﹣2x＝ ；② ；③x4﹣2x2＝0；④ x2﹣
1＝0．其中分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【解答】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故选：B．【点评】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程
是解答此题的关键．
【变式1-2】已知方程：
① ＝0，
② ＝1
③x+ ＝2+
④（x+ ）（x﹣6）＝﹣1．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1．
【分析】利用分式方程的定义判断即可．
【解答】解：① ＝0，是分式方程；
② + ＝1，是分式方程；
③x+ ＝2+ ，是分式方程；
④（x+ ）（x﹣6）＝﹣1，不是分式方程，
则分式方程的个数是3．
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
题型2：解分式方程
2.解方程
（1） ＝ ；
解：（1）去分母，得x＝2（x﹣2），
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根；
＝ ．
（2）解：方程两边同时乘（x﹣3）（x﹣2），
得：3（x﹣3）＝2（x﹣2）
化简，得x﹣5＝0
解得：x＝5
检验：当x＝5时，（x﹣3）（x﹣2）≠0，
∴x＝5是分式方程的解．
（3）解方程： ＝ ．
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验，即可得到答案．
【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，
所以原分式方程的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查的是解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方
程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．
【变式2-1】解分式方程：
（1） ﹣ ＝1
（2）3﹣ ＝ ．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x+1）（ x﹣1），
得（x+1） 2+2＝（x+1）（ x﹣1），
解方程，得x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是原方程的根；
（2）方程两边同乘以（x﹣2），
得3（x﹣2）﹣（x﹣1）＝﹣1，
解方程，得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【变式2-2】解方程：（1） ．
【分析】去分母、去括号、移项合并同类项即可求解．
【解答】解： ，x（x﹣1）+3＝x2﹣2x+1，
x2﹣x+3＝x2﹣2x+1，
x＝﹣2，
经检验，x＝﹣2是方程的根，
∴原方程的解为x＝﹣2．
+ ＝
（2）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即
可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣3x+6＝x2+3x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
题型3：增根（无解）与求字母的值
3.若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2
【分析】先解分式方程，得x＝m+1，再将增根代入即可求出m的值．
【解答】解：去分母，得x﹣1＝m，
∴x＝m+1，
将增根x＝2代入，得2＝m+1，
解得m＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的含义是解题的关键．
【变式3-1】分式方程： ﹣1＝ 有增根，求m值．
【分析】根据去分母，可得整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，可得关于 m
的一元一次方程，解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：去分母，得
m＝x﹣2．
分式方程的增根是x＝1或x＝2．
当x＝1时，m＝x﹣2＝1﹣2＝﹣1，
当x＝2时，m＝x﹣2＝2﹣2＝0，
当m＝0时，原分式方程转化为 ﹣1＝0，∴x﹣（x﹣1）＝0，此方程无解，原分式方程没有增根，
∴m＝0与题意不符，舍去．
综上所述：m＝﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，把分式方程的曾根代入整式方程得出关于m的
一元一次方程是解题关键．
【变式3-2】若关于x的方程 ﹣1＝ 有增根．求m的值．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可
能值，让最简公分母（x﹣1）（x+2）＝0，得到x＝1或﹣2，然后代入化为整式方程
的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1）（x+2），
得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，
整理得：x+2＝m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）（x+2）＝0，
解得x＝1或﹣2，
当x＝1时，m＝3；
当x＝﹣2时，m＝0，此时原方程为 ﹣1＝0，x﹣（x﹣1）＝0，这个整式方程无
解，
∴m的值为3．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为
0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的
值．
【变式3-3】k为何值时，方程 ﹣ ＝1﹣ 会产生增根？
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出 x的值，代入整式
方程计算即可求出k的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣2﹣k（x+2）＝x2﹣4﹣4x，
由分式方程有增根，得到x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：k＝2；
把x＝﹣2代入整式方程得：无解，
综上，k的值为2时，方程 ﹣ ＝1﹣ 会产生增根．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方
程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．题型4：根据文字列方程求值解
4.当x为何值时，分式 的值和分式 的值互为相反数？
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【解答】解：根据题意得： + ＝0，
去分母得：x+3+2＝0，
解得：x＝﹣5，
检验：把x＝﹣5代入得：（x+3）（x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣5．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式4-1】已知点A，B在数轴上所对应的数分别为 ， ，若A，B两点到原
点距离相等，求x的值．
【分析】根据A，B两点到原点距离相等得出两种情况：① ＝ ，② ＝
﹣ ，再求出分式方程的解即可．
【解答】解：有两种情况：
① ＝ ，
方程两边乘x﹣3，得3＝﹣（7﹣2x），
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0，
所以x＝5是分式方程的解；
② ＝﹣ ，
方程两边乘x﹣3，得3＝7﹣2x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
所以x＝2是分式方程的解；
综合上述：x的值是5或2．
【点评】本题考查了解分式方程和数轴，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关
键．【变式4-2】如图，点A、B在数轴上且点A在点B的左侧，它们所对应的数分别是
和 ．
（1）当x＝1.5时，求AB的长．
（2）当点A到原点的距离比B到原点的距离多3，求x的值．
【分析】（1）表示出AB的长，将x代入计算即可；
（2）根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．
【解答】解：（1）根据题意得： ﹣ ＝ ，
当x＝1.5时，AB＝ ＝3；
（2）根据题意得： ﹣ ＝3，
去分母得：2﹣x+1＝6﹣3x，
解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型5：根据解的正负字母求取值范围
5.已知关于x的方程 的解为正数，求a的取值范围．
【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知条件列出不等式组，解不等式组即可
得出结论．
【解答】解：关于x的方程 的解为：x＝a﹣1，
∵分式方程有可能产生增根x＝1，
∴a﹣1≠1，
∵关于x的方程 的解为正数，
∴ ，
解得：a＞1且a≠2．
∴a的取值范围为：a＞1且a≠2．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，考虑分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
【变式5-1】若关于x的方程 有非负数解，求m得取值范围．
【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解
不等式组即可得出m的取值范围．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，
解得：x＝6﹣m，
∵x≥0且x≠3，
∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，
解得：m≤6且m≠3，
∴m得取值范围是m≤6且m≠3．
【点评】本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于 m的不等式组是解决问题的关
键．
【变式5-2】若关于x的方程 无解，求m的值．
【分析】把分式方程化为x+4+m（x﹣4）＝m+3，整理为（m+1）x＝5m﹣1，分m+1
＝0和m+1≠0两种情况讨论，即可得出答案．
【解答】解：把分式方程去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
∴（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0，即m＝﹣1时，整式方程无解则分式方程也无解，
当m+1≠0时，（x+4）（x﹣4）＝0，即x＝4或﹣4，分式方程无解，
把x＝4代入（m+1）x＝5m﹣1得：4（m+1）＝5m﹣1，解得：m＝5，
把x＝﹣4代入（m+1）x＝5m﹣1得：﹣4（m+1）＝5m﹣1，解得：m＝﹣ ，
综上所述，m＝﹣1或5或﹣ 时，分式方程无解．
【点评】本题考查了分式方程的解，理解分式方程化为整式方程后，整式方程的解和
分式方程的解的关系是解决问题的关键．
题型6：分式方程与新定义问题
6.定义一种新运算“ ”，规则如下：a b＝ ，（a≠b2），这里等式右边是
⊗ ⊗
实数运算，例如：1 3＝ ＝﹣ ．求x （﹣2）＝1中x的值．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算求出解即可确定出x的值．
⊗ ⊗【解答】解：根据题中的新定义化简得： ＝1，即 ＝1，
去分母得：x﹣4＝1，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清题
中的新定义是解本题的关键．
【变式6-1】定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a b＝ ﹣ ，等
⊗
式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2 3＝ ﹣ ＝ + ＝1．
（1）求（﹣2） 3的值；
⊗
（2）若x 2＝1，求x的值．
⊗
【分析】（1）根据新定义型运算法则即可求出答案．
⊗
（2）列出方程即可求出答案
【解答】解：（1）原式＝ ﹣ ＝﹣3
（2）由题意可知：
﹣ ＝1
1﹣（x﹣2）＝x
1﹣x+2＝x
x＝
经检验，x＝ 是原方程的解，
【点评】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确利用运算法则，本题属于基础题
型．
一．选择题（共5小题）
1．下列关于x的方程① ＝x+y，② ＝5，③ ＝x﹣3，④ ＝ 中，是分式
方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程的定义，即可判断．【解答】解：下列关于x的方程① ＝x+y，② ＝5，③ ＝x﹣3，④ ＝
中，
是分式方程的有：② ＝5，
共有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
2．若分式方程 + ＝ 有增根，那么增根的值为（ ）
A．﹣4或6 B．﹣4或﹣6 C．2或﹣2 D．4或6
【分析】根据分式方程增根的含义可得x﹣2＝0或x+2＝0，进一步即可求出增根．
【解答】解：∵分式方程 + ＝ 有增根，
∴x﹣2＝0或x+2＝0，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴增根为2或﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的含义是解题的关键．
3．解分式方程 ﹣2＝ ，去分母得（ ）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
【分析】将分式方程去分母即可．
【解答】解： ﹣2＝ ，
去分母，得3﹣2（x﹣1）＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
4．若关于 x的不等式组 有解且所有的解都是正数，且关于 y的分式方程
＝0的解为整数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先解不等式组求得﹣1≤a＜4，；再解分式方程得y＝ ，再由方程的解为整
数，可得a是2的倍数，由于y≠1，则a≠0，可求a的值为2．【解答】解：不等式组 ，
由①得x≤5，
由②得x＞a+1，
∵不等式组有解且所有的解都是正数，
∴0≤a+1＜5，
∴﹣1≤a＜4，
解分式方程 ＝0得，
y＝ ，
∵y≠1，
∴a≠0，
∵方程的解为整数，
∴a是2的倍数，
∴a的值为2，
∴符合条件的所有整数a的个数为1个，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组
的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
5．关于x的分式方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是x＝m﹣3
B．当m＞3时，方程的解是正数
C．当m＜3时，方程的解为负数
D．当m＝3时，方程无解
【分析】先去分母求得分式方程的解，然后将分式方程的解带入最简公分母进行讨论分
析即可．
【解答】解：最简公分母为x+3，
两边同乘x+3得：m＝x+3，
移项得：x＝m﹣3．
∵当x+3＝0时，即x＝﹣3时，方程产生增根，
∴当x≠﹣3时，方程的解是x＝m﹣3，故A选项不符合题意；
当m＞3时，x＝m﹣3＞0，
∵当x＝﹣3时，方程产生增根，
∴m﹣3≠﹣3，即m≠0，∴当m＞3时，方程的解是正数，故B选项符合题意，
当m＜3时，x＝m﹣3＜0，
∵当x＝﹣3时，方程产生增根，
∴m﹣3≠﹣3，即m≠0，
∴当m＜3且m≠0，方程的解是负数，故C选项不符合题意；
显然选项D错误．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了解分式方程，根据最简公分母是否为0进行讨论是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
6．关于x的方程 ＝1的解为正数，且关于y的不等式组 有解，
则符合题意的所有整数m的和为 ．
【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求，求出相应的 m的值
相加即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的方程 ＝1的解为正数，
∴2﹣x﹣m＝x﹣3，
解得：x＝ ，
∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
∴ ≠3，
m≠﹣1，
则5﹣m＞0，
故m＜5，且m≠﹣1，
∵关于y的不等式组 有解，
∴m+3≤y≤3m+6，
且m+3≤3m+6，
解得：m≥﹣1.5，
故m的取值范围是：﹣1.5≤m＜5，且m≠﹣1，
则符合题意的整数m有：0，1，2，3，4，
∴符合题意的所有整数m的和为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件．7．符号“ |”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： |＝ad﹣bc，请你根据运算
法则求出等式中x的值．若 |＝1，那么x＝ ．
【分析】根据定义列分式方程直接求解即可．
【解答】解：由已知条件整理得，
2× ，
方程两边同时乘以x+1得，
2﹣3＝x+1，
解得x＝﹣2，
经检验是原方程的解．
【点评】本题主要考查解分式方程，理解定义是解题关键．
8．若关于x方程 的解是x＝3，则a的值为 ．
【分析】将x＝3代入分式方程后解关于a的一次方程即可．
【解答】解：将x＝3代入分式方程得，
＝2，
a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的解，通过将 x的解代入方程化成含a的方程进而求解，
关键在于运算能力．
9．关于x的分式方程 的解为正整数，则满足条件的整数a的值为 ﹣ 3
．
【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a的值．
【解答】解：分式方程 的解为：x＝ ，
∵分式方程有可能产生增根1，
又∵关于x的分式方程 的解为正整数，
∴x＝ ≠1，
∴满足条件的所有整数a的值为：﹣3，
∴a的值为：﹣3，
故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的
情况是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
10．若关于x的分式方程 ＝2﹣ 的解为正数，求满足条件的正整数m的值．
【分析】根据分式方程的一般解法得到方程 ＝2﹣ 的解为x＝4﹣m；由于该方
程的解为正数，则 x＞0，由于要使方程有意义，则 x≠2，至此可得4﹣m＞0且4﹣
m≠2；根据所得的方程，求出m的值，结合题意m为正整数，可得m的值，至此可得
答案．
【解答】解：∵ ＝2﹣ ，
∴ ＝2+ ，
＝2，
x﹣m＝2（x﹣2），
解得x＝4﹣m．
∵原分式方程的解为正数，
∴x＞0且x≠2，
即4﹣m＞0且4﹣m≠2，
∴m的取值范围为m＜4且m≠2．
∵m为正整数，
∴m的值为1，3．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是求出m的范围，本题属于中等题型．
11．解下列分式方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）分式方程的两边同乘以（x﹣4）去分母，解方程得出x的值，再进行检
验即可．
（2）分式方程的两边同乘以（x﹣1）（x+1）去分母，解方程得出x的值，再进行检验
即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣4），
得3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣4≠0，所以x＝3是原方程的解；
（2）方程的两边同乘以（x﹣1）（x+1），
得x+1＝1，
解得x＝0，
检验：当x＝0时，（x﹣1）（x+1）≠0，
所以x＝0是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是能够熟练去分母，不要漏乘常数，不要
漏写检验．
12．解分式方程： ．
【分析】方程两边同乘以最简公分母（x+1）（x﹣3），将其转化为整式方程再求解，
并检验．
【解答】解：两边同乘以最简公分母（x+1）（x﹣3）得，
4＝（x﹣3）+（x+1），
解得，x＝3，
检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣3）＝（3+1）（3﹣3）＝0，
∴x＝3不是原方程的解，
∴原方程无解．
【点评】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能化分式方程为整式方程并准确求解．
13．解方程：
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：去分母，得：2x﹣5+3（x﹣2）＝3x﹣3，
去括号，得：2x﹣5+3x﹣6＝3x﹣3，
移项，合并，得：2x＝8，
系数化为1，得：x＝4，
经检验，当x＝4时，x﹣2≠0，即x＝4是原分式方程的解，
所以原方程的解是x＝4．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
14．若关于x的分式方程 ＝1的解与分式方程 的解相同，求m的值．
【分析】求出方程 ＝1的解，把x的值代入方程 ，求出m的值即可．
【解答】解：解方程 ＝1，得
x＝m+2．
把x＝m+2代入方程 ，得﹣ ＝0，
去分母并整理，得
（m﹣1）（m+2）＝0，
解得 m ＝1，m ＝﹣2．
1 2
经检验m ＝1，m ＝﹣2都是原方程的解．
1 2
故m的值是：m ＝1，m ＝﹣2．
1 2
【点评】本题考查了分式方程的解．解题关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入
原方程得到新方程，然后解答．
15．若关于x的分式方程 ＝1的解为x＝2，求m的值，
【分析】方程两边都乘以x﹣1得到整式方程，解之求得x＝m﹣2，结合x＝2求解可得．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵x＝2，
∴m﹣2＝2，
解得m＝4．
【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方
程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不
是原分式方程的解．
