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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
一、教学目标
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾
股定理进行简单的计算．
二、重点难点
重点
勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点
勾股定理的证明．
三、教学设计
（一） 新知导入
展示PPT2、PPT3、PPT4
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议．2002年在北京召开了第
24届国际数学家大会．如图就是大会的会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图形组成？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。
相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三
者面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
（二） 新知讲解
问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
SSS
正方形A正方形B正方形C
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？观察右边两幅图：
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A 的 面 B 的 面 C 的 面
积 积 积
左图
右图
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：根据前面求出的C的面积直接填出下表：
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
由上面的几个例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角
边的平方和等于斜边的平方.
下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一
猜想.
证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。
证法2 毕达哥拉斯证法
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
归纳总结
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，
下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直
角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
公式变形：
a、b、c为正数
（三） 课堂练习1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
3. 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的
边长分别是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
解：如图所示,正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12.
设直角三角形的斜边长为c .由勾股定理知,
122+162=c2,c=20 ，即正方形F的边长为20.
同理可得， 正方形G的边长为15.
故直角三角形的两直角边分别为20，15.
设它的斜边长为k，由勾股定理知,
202+152=k2，k=25.
正方形E的边长为25，S =25×25=625
正方形E
（四） 拓展提高
1.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
2
(cm ).
直角三角形的面积是
四、课堂总结
勾股定理：
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a²+b²=c².
b= c2-a2
公式变形：
注意：1、在直角三角形中
2、看清哪个角是直角
3、已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
五、板书设计六、作业设计
课后作业：课本第24页练习第1题，课本28页习题17.1第1题。
