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17.1 勾股定理
第 3 课时 利用勾股定理作图或计算
教学内容 第 3 课时 利用勾股定理作图或计算 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：能从精美的图片中抽象出几何图形，体会数
学美感，在几何图形中抽象出数量关系，体验数学的应用价值，提高数学学
习兴趣.
核心素养
2.会用数学的思维思考现实世界：能够借助几何图形的形象关系来研究数量关
目标
系，有助于培养学生的几何直观，发展学生的空间想象能力．
3.会用数学的语言表示现实世界：利用勾股定理解决实际问题可以培养学生的
发散思维和综合解决问题的能力、提高学生分析问题和解决问题能力.
1.能够在数轴上表示出无理数的点.
知识目标 2.会利用勾股定理解决网格中的问题.
教学重点 利用勾股定理在数轴上表示无理数.
教学难点 确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课 一、回顾旧知，导入新知
导入
设计意图：快问快答，使
提问1.一条有方向的直线，标上刻度，零点后变
学生快速回忆数轴的知
成了一种什么样的数学工具？
识，增强新旧知识之间的
提问2.数轴上的点与实数有什么关系？
联系，把学生的注意力集
提问3.你可以在数轴上表示无理数？
中在课堂，为后面学习运
用勾股定在数轴上表示物
师生活动：教师提问学生直接思考并回答.
理上做准备.
预设：数轴、一一对应．
新课导入：这些都是什么的图片？
设计意图：用漂亮的海螺
图片，吸引学生的注意
力，为后面介绍“海螺
型”图案的第七届国际数
学教育大会的会徽做铺
垫，同时培养学生从实际
生活中，抽象几何图形的
能力.
在数学中也有这样一幅美丽
的“海螺型”图案，如第七
届国际数学教育大会的会
徽.
这个图是怎样绘制出来的
二、探究
呢？
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：勾股定理与数轴 设计意图：在之前学习勾
股定理时，就是运用等腰
问题1 你能在数轴上画出表示 2 的点吗？- 2 直角三角形、 2 正方形的面
1呢？ 积进行探究，这里学生比
师生活动：教师引导学生运用勾股定理解决问题. 较容易想到 的表示方
预设1：可以想成边长为 1 的正方形的斜边边长. 法.
让学生在草稿纸上作图，选一名学生板书.
预设2：可以构造直角三角形作出边长为无理数
的斜边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
追问 你能用同样的方法作 3，4，5，6，7设计意图：培养学生举一
吗？
反三的思维能力，提高作
图能力，在直观模型中，
体会数形结合的思想.
师生活动：让学生在草稿纸上独立完成作图，选
一名学生板书，教师规范作图步骤(也可以播放准
备的课件，给学生直观展示作图过程).
问题2 长为 1 3 的线段能是直角边的长都为正整
数的直角三角形的斜边吗？
设计意图：巩固学生对勾
股定理公式的计算方法，
培养数形结合思想，发展
逆向思维，为后面学习勾
股定理逆运用做准备.
师生活动：教师引导学生，采用列举法.猜想一条
直角边长为1时，另一条直角边是不是有理数.如
果不是再画出一条直角边长为2、3的情况.
思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的
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点吗？
设计意图：把几何图形的
知识迁移到数轴上，发展
师生活动：学生独立完成作图，教师总结作图步 学生的空间想象能力，提
骤. 高作图能力.
1.在数轴上找到点 A，使 OA = 3；
2.作直线 l⊥OA，在 l 上取一点 B，使 AB = 2；
3.以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与
数轴交于 C 点，则点 C 即为表示 的点.
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构造直角三角形填一填
2设计意图：运用表格让学
生观察讨论，发展学生的
合情推理能力和应用能
力.
师生活动：学生独立完成计算并填空，让学生讨
论利用勾股定理表示无理数的方法，教师总结.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是
两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧
与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理
数，在原点右边的点表示是正无理数.
例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a
的值.
设计意图：巩固对利用勾
股定理表示无理数的方法
师生活动：学生独立完成作图，教师选可能出错 的学习，锻炼作图技巧.
的同学板书，帮助试错，规范作图步骤.
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从
原点起，则所表示的数不是斜边长.
知识点二：勾股定理与网格
画一画 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方
形的边长都为 1，请在给定网格中以 A 出发分
别画出长度为 、 、 的线段 AB．
设计意图：把数轴上的作
图发展到网格上，发展学
生的合情推理能力和应用
师生活动：教师选三位同学板书作图，学生独立
能力，锻炼作图能力.
完成作图，教师巡视.
例2 在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方
形的边长都为 1，写出格点 △ABC 各顶点的坐
标，并求出此三角形的周长．
3y 设计意图：结合新旧知
识，解决几何问题，加强
A
新旧知识之间的联系.培
养数形结合的思想.
x
o
B
C
师生活动：教师帮助分析解题思路，可利用前面
学习的两点之间的距离公式面积算三角形三条边
的长度.学生独立完成计算.
归纳：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常
是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用
勾股定理求其长度.
例3 如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田
字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多
可以作出多少条长度为 的线段？
三、当堂
设计意图：培养数形结合
练习，巩
的思想，锻炼作图能力，
固所学
发展发散性思维.
师生活动：学生独立完成作图后，小组讨论，派
代表回答，教师总结汇报结果.
易错点拨：一个点一个点的找，不要漏解.
例4 如图，在 2×2 的方格中，小正方形的边长
是1，点 A、B、C 都在格点上，求 AB 边上的
高.
A
B
设计意图：培养数形结合
C 的思想，用引导的方法，
师生活动：教师帮助分析解题思路，直接作图求 增强学生的解题能力.
高是非常困难的，可以利用面积法求高，求三角
形的面积怎么求呢？
预设：用割补法求.
追问：AB 边可以求出吗？
预设：用勾股定理求，学生独立完成计算.
总结：此类网格中求格点三角形的高的题，常用
的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
三、当堂练习，巩固所学
A
1.如图，在边长为 1 个单位
长度的小正方形组成的网格
中，点A、B都是格点，则线
B
4段 AB 的长度为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.25
2.如图(2)，小明学了利用勾股定理在数轴上作一
个无理数后，在数轴上的 2 个单位长度的位置找 设计意图：考查对利用勾
一个点 D，然后过点 D 作一条垂直于数轴的线 股定理，求网格中长度的
段 CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心， 解题技巧的掌握.
原点到点 C 的距离为半径作弧，交数轴于一
点，则该点位置大致在数轴上 ( )
A. 2 和 3 之间
C
B. 3 和 4 之间
C. 4 和 5 之间
D. 5 和 6 之间
D 设计意图：考查对利用勾
3. 如图，网格中的小正–方3 形–2边–长1 均0 为1 1，2 △3 AB4C 股定理，在数轴上表示无
的三个顶点均在格点上，则 AB 边上的高为 理数作图的掌握.
_______. A
B C
设计意图：考查对结合面
积法和勾股定理，求网格
中长度的解题技巧的掌
握.
利用勾股定理作图或计算
板书设计
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
勾股定理的应用分为实际生活应用和数学问题应用，本课时重在解决勾
股定理在数学问题应用中的应用．借助几何图形的形象关系来研究数量关
教学反思 系，有助于培养学生的几何直观，发展学生的空间想象能力．因此，利用勾
股定理解决实际问题可以培养学生的发散思维和综合解决问题的能力．也是
提高学生分析问题和解决问题能力的途径之一．
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