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第 22 章 二次函数 章节测试练习卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．抛物线y＝－(x＋2)2＋3的顶点坐标是( )
A．(－2，3) B．(2，3)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
【答案】A
【分析】根据y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k）可得：
∵抛物线的解析式为y=-（x+2）2+3，
∴其顶点坐标为（-2， 3）．
故选A．
【详解】根据y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k）可得：∵抛物线的解析式为y=-（x+2）2+3，∴其顶
点坐标为（-2， 3）．
故选A．
2．在平面直角坐标系中，将抛物线 向上（下）或向左（右）平移，平移后
的抛物线恰好经过原点，且平移的最小距离是2，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】将函数表达式化为 ，分别讨论左右平移和上下平移的距离，可得m值．
【详解】解：∵ ，
∴左右平移的最小距离为 =2，又∵m＞0，
∴m=3，
上下平移的距离为 =2，
解得：m= 或m= ，
当m= 时， = ，不符合；
当m= 时， = ，不符合；
∴m=3，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，将表达式因式分解是解题的关键．
3．若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的
对称轴为直线 ，将此抛物线向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上
加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
【详解】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y＝x（x−2）＝x2−2x＝（x−1）2−1．
将此抛物线向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为（x−1）2−1-3＝（x−1）2−4，
当x＝−3时，y＝（-3-1）2−4＝12，
∴得到的新抛物线过点（−3，12）．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及
二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
4．下表中列出的是一个二次函数的自变量 与函数 的几组对应值：下列各选项中，不正确的是( )
A．这个函数的图象开口向上 B．这个函数的图象与 轴无交点
C．这个函数的最小值小于 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
【答案】B
【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判
断．
【详解】解：设二次函数的解析式为 ，
依题意得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不正确，符合题意；
∵ ，
∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项正确，不符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为 ，开口向上，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答
是解题的关键．
5．关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．其最小值为5
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可
以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解： ， ，
该函数的图象开口向下，故选项 不符合题意；
对称轴是直线 ，故选项 不符合题意；
当 时， 随 的增大而增大，故选项 符合题意；
当 时取得最大值5，故选项 不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．如图，已知抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．若 ，则
C．y的最大值为1 D．若 轴交抛物线于点D，则
【答案】B
【分析】从图象得到 、 、 ，结合抛物线对称性求对称轴、利用待定系数法求表
达式、根据抛物线图象和性质逐项判定即可．
【详解】解：A、根据抛物线 与x轴交于点 、 ，可得出对称轴，该选项不符合题意；
B、根据抛物线 的对称轴为 ，开口向下可知：
当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小，
所以当 ，无法判断 与 的大小，该选项符合题意；
C、根据抛物线 与x轴交于点 、 ，
可设交点式 ，再根据抛物线与y轴交于点 ，
代值求解得 ，
即抛物线表达式为 ，
当 时， 的最大值为1，该选项不符合题意；
D、若 轴交抛物线于点D，则 、 关于对称轴 对称，从而得到 ，则 ，
该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到图象上点的对称性、待定系数法求表达式、二次函数增
减性比较大小、二次函数最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
7．如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点A坐标为（－1，0），
与y轴的交点B在(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，下列结论：① < ；②当 ＞3时，y＜0；③
＞0；④ ； ⑤ =0时．其中结论正确的个数是（ ）A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【分析】①利用顶点坐标 ，而a＜0，即可得到 与 的关系；
②由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，图像在x轴下方，即
可判断y＜0；
③根据对称轴- =1，得到2a+b=0，抛物线开口向下，故a＜0，2a+b=0该等式两边都加上a即可得到
3a+b=a，即可判断3a+b的正负性；
④设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则y=ax2-2ax-3a，令x=0得：y=-3a．由于点B在（0，2）和
（0，3）之间，则2≤-3a≤3，计算即可得到答案；
⑤将A（-1，0）代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）得a-b+c=0，又- =1，可得-b=2a，3a+c=0．
【详解】解：①∵ ，a＜0，
∴ ＞ ，故①错误；
②由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故②正确；
③抛物线开口向下，故a＜0，
∵x=- =1，
∴2a+b=0．
∴3a+b=0+a=a＜0，即：3a+b＜0，故③错误；
④抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则y=ax2-2ax-3a，令x=0得：y=-3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤-3a≤3．
解得：-1≤a≤- ，故④正确；
⑤∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0）
∴a-b+c=0，
∵x=- =1，
∴-b=2a，
∴3a+c=0，故⑤正确；
综上所述，正确的为：②④⑤．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出
所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
8．新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线
与线段 是牵手函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】依据二函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于0，可初步确定m的取值
范围，然后再依据自变量x的取值范围进一步确定m的取值范围，即可求解．
【详解】∵抛物线 与线段 有公共点，
∴抛物线与平行于x轴的线段 相切或者相交．
代入 中，
即关于x的二次方程 有两个相等或者不等的实数根．
整理上述关于x的二次方程得， ．①
∴对于①式， ，即 ， ．
将①式 整理成关于m的二次方程：
，则关于m的判别式：
，解得： ．
结合x的已知取值范围 得出：
线段 与抛物线有公共点的取值范围为： ．
观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当 时， 正好是线段
与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是 ．把 代入方程①式： ，
可求得 ，即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置．
因此，m的取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．
9．如图，二次函数 （ 、 、 是常数，且 ）的图象与 轴的一个交点为 ，对
称轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数
为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．
【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y轴交于负半轴，
∴a＞0， b＜0，c＜0，
∴abc＞0，
∴结论①错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴ ，
∴ ；
∴结论③正确；
∵二次函数 （ 、 、 是常数，且 ）的图象与 轴的一个交点为 ，对称轴为直
线 ，∴ ，
∴ ，
∴二次函数 （ 、 、 是常数，且 ）的图象与 轴的另一个交点为（-1,0），
∴ ；
∴结论②错误；
∵当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，
∵ ，则b=-2a
∴ ，
∴结论④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数
形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，在 中， ， ， ，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以
的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以 的速度移动，设 的面积为
运动时间为 ，则下列图象能反映y与x之间关系的是
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】当 时， ，当 时，如图所示， 即可求解．
【详解】 当 时， ，图象为开口向上的抛物线；
当 时，如下图所示，
，图象为开口向下的抛物线；
故选B．
【点睛】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点 解题关
键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．如果抛物线 （a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得
到 ，即可求出a的取值范围．
【详解】解： 抛物线 （a为常数）恒过点 ，且经过了平面直角系的四个象限，抛物线开口向下，
，
解得： ，
故答案： ．
12．抛物线 的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的顶点
式直接求得顶点坐标．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
13．用配方法将二次函数 化成 的形式是 ．
【答案】
【分析】利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次
项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式.
【详解】
.
故答案为 .
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化,熟练掌握和运用配方法是解题的关键. ①一般式：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；②顶点式： y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0）；③交点式(与x
轴)：y=a(x-x )(x-x ).
1 214．飞机着陆后滑行的距离S(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是 ，飞机着陆
后最后15s滑行 米才能停下来．
【答案】270
【分析】将函数解析式整理成顶点式 ，可知25秒时飞机滑行最大距离750m，再求出
第10秒时的滑行距离，即可得到最后15秒的滑行距离.
【详解】解：∵
∴第25秒时，飞机滑行最大距离750m停下来，
t=10时， m
∴最后15秒滑行距离为750-480=270m
故答案为：270.
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解飞机滑行的最大距离的时刻即为停下来的时刻是关键.
15．已知抛物线 ，若抛物线恒在 轴下方，且符合条件的整数 只有三个，则实数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数图像与性质，由抛物线恒在 轴下方，得到 且 ，解得 ，再根据
符合条件的整数 只有三个，得到 ，解得 ，从而得到答案．
【详解】解：抛物线在 轴下方，
且 ，即 ，解得 ，
符合条件的整数 有三个，
，解得 ，
的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及抛物线与 轴无交点时的对应代数式、解不等式等知识，熟
练掌握抛物线与 轴无交点对应的代数式是解决问题的关键．16．已知在同一坐标系中，抛物线y＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y＝3x2+2的开口小，请你写
1 2
出一个满足条件的a值： ．
【答案】4
【分析】由抛物线开口向上可知a＞0，再由开口的大小由a的绝对值决定，可求得a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y ＝ax2的开口向上，
1
∴a＞0，
又∵它的开口比抛物线y ＝3x2+2的开口小，
2
∴|a|＞3，
∴a＞3，
取a＝4即符合题意
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解题的关键，即|a|
越大，抛物线开口越小．
17．已知函数 （ 为实数）．对于任意正实数 ，当 时， 随着 的增大而增大，
则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】只求m的一个值即可．当 时，抛物线对称轴为直线 ，在对
称轴右侧，y随x的增大而增大，根据题意，得 ，可确定m的范围，在范围内取m的一个值即可．
【详解】解:∵ ，
∴抛物线开口向上，
对称轴为
因此,对于任给的正实数 ，只在 ，都有 随 的增大而增大,
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性等知识点，主要考查数形结合的数学思想．
18．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为
x、x，其中﹣2＜x＜﹣1，0＜x＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＞0；③a＜﹣1；④b2+8a＞
1 2 1 2
4ac．其中正确的有： （填写序号）．【答案】①③④．
【分析】首先根据抛物线的开口方向得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点
中，﹣2＜x＜﹣1，0＜x＜1，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x＝ ＞﹣1，根据这些条件以及
1 2
函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断；
【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x＝ ＞﹣1，且c＞0．
①由图可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；
②已知x＝ ＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②不正确；
③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c＝2（1），由图知：当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①
知：4a﹣2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；故3a＜﹣3，
即a＜﹣1；所以③正确；
④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即： ＞2，
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；
因此正确的结论是①③④．
故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数图象与系数的
关系，抛物线与x轴的交点是解题的关键.
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．某商店销售一批吉祥物挂件，每个进价12元，规定销售单价不低于20元，试销售期间发现，当销售
单价定为20元时，每月可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销
售．
(1)求挂件的销售单价涨价多少时，商店的利润为1920元；
(2)将吉祥物挂件销售单价定为多少元时，商店每天销售吉祥物挂件获得的利润y最大？最大利润是多少元？【答案】(1)单价涨价4元或8元时，利润为1920元
(2)售单价定为26元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是1960元．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用与二次函数的性质在实际生活中的应用．得到利润的关系式
是解题的关键．
（1）设上涨x元，则每个纪念品利润为 元，销售量为 个，根据“总利润 每个纪念
品利润 销售量”列出关于x的方程，解之可得；
（2）依据（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）设上涨x元，则每个纪念品利润为 元，销售量为 个，由题意得：
．
整理得： ．解得： ， ．
答：单价涨价4元或8元时，利润为1920元．
（2）由（1）知当上涨x元，则每个纪念品利润为 元，销售量为 个，
则 ，即 ．
∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为1960．
∵ ，
∴售单价定为26元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是1960元．
20．如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论．
【答案】（1）y= x2﹣ x﹣2；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定
理可得三角形的形状.
试题解析：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y= x2+bx-2上，
∴ ×（-1）2+b×（-1）-2=0，b=-
∴抛物线的解析式为y= x2- x-2
（2）当x=0时y=-2，
∴C（0，-2），OC=2．
当y=0时， x2- x-2=0，
∴x =-1，x =4，
1 2
∴B（4，0）．
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
21．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为 元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）（x-60）；﹣2x+400；（2）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
【分析】（1）根据利润=售价-进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；
（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．【详解】解：
（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
故答案为：（x-60）；
②设月销量W与x的关系式为W=kx+b，
由题意得， ，
解得， ，
∴W=﹣2x+400；
故答案为：（﹣2x+400）；
（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）
=﹣2x2+520x﹣24000
=﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
22．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元 ．设第x天的销售价格为y（元
），销售量为 ．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 时， ；当
时，y与x满足一次函数关系，且当 时， ； 时， ．②m与x的关系为
．
(1)当 时，y与x的关系式为_________；
(2)x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
(3)若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元 （ ），且日销售利润W（元）随
x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？
【答案】(1)
(2)x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元
(3)【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质在实际生活中的应用．
（1）依据题意利用待定系数法，易得出当 时，y与x的关系式为： ．
（2）根据销售利润 销售量 （售价 进价），列出每天的销售利润 （元）与销售价x（元 ）之间的
函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴 ，求得a
即可．
【详解】（1）解：依题意，当 时， ； 时， ，
当 时，设y与x的关系式为 ，则有
，
解得 ，
∴y与x的关系式为： ．
故答案为： ；
（2）解：依题意，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
当 时，
∵W随x增大而增大，
∴ 时，取最大值 ，当 时， ，
∵ ，
∴ 时，W取得最大值，此时 ，
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元．
（3）解：依题意， ，
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，
∴对称轴 ，得 ，
故a的取值范围为 ．
23．“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安
全头盔经销商统计了某品牌头盔 月份到 月份的销量，该品牌头盔 月份销售 个， 月份销售 个，
且从 月份到 月份月销售量的增长率相同．
(1)求该品牌头盔 月份的销售量；
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： ，解得
乙： ，解得 ，
则甲所列方程中的 表示__________，乙所列方程中的 表示__________；
(2)若此种头盔的进价为 元 个，测算在市场中，当售价为 元 个时，月销售量为 个，若在此基础
上售价每上涨 元 个，则月销售量将减少 个，为使月销售利润最大，则该品牌头盔的售价应定为多少
元/个?
【答案】(1) 月份月销售量的增长率， 份月销售量
(2)为使月销售利润最大，则该品牌头盔的售价应定为 元/个．
【分析】本题考查了一元一次方程、二次函数的应用；
（1）根据所列出，得出两个方程中的未知数的意义即可求解；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为 元 个，则每个的销售利润为 元，月销售量为个，设总利润为 ，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即
可求解．
【详解】（1）解：甲所列方程中的 表示 月份到 月份月销售量的增长率；
乙所列方程中的 表示 月份月销售量；
故答案为： 月份月销售量的增长率， 份月销售量．
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为 元 个，则每个的销售利润为 元，月销售量为
个，设总利润为 ，根据题意得，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为
答：为使月销售利润最大，则该品牌头盔的售价应定为 元/个
24．一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面 上时的纵向截面如图 所示，其左右轮廓线 、 都是
抛物线 的一部分，已知水杯底部 宽为 ，水杯高度为 ，杯口直径 为 且
， 以杯底 的中点为原点 ，以 为 轴， 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系．
（1）轮廓线 、 所在的抛物线 的解析式为： ；
（2）将水杯绕点 倾斜倒出部分水，杯中水面 ，如图 当倾斜角 时， 水面宽度
为
【答案】 ； ．【分析】（ ）设抛物线的解析式为 ，把点 ， 代入 中，求出抛物
线的解析式即可；
（ ）在坐标系中作出 ，求出 的解析式，进而求出点 的坐标，即可求出 的长；
本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出抛物线的解析式时解题的关
键．
【详解】（ ）由题意可知， ， ，
设抛物线 的解析式为 ，
将点 、 坐标代入得 ，解得 ，
∴解析式为 ；
（ ）如图，易知 ，
设 、 分别与 轴交于点 、 ，
在 中， ，
∴ ，
即 ， ，
设直线 解析式为 ，
则 ，解得： ，∴直线 的解析式为 ，
令 ，
解得 ， ，
将 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ．
25．已知抛物线y=-x2+4x-1．
（1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系中画出y=-x2+4x-1的图象．
①列表如下：
x … …
y … …
②描点、连线：
【答案】（1）下， x=2， (2，3)；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）根据二次函数的顶点式，可得出结论；
（2）①把x=0、1、2、3、4分别代入y=-（x-2）2+3即可求得函数值；
②根据（2）中的数据，描点、连线画出函数图象即可．【详解】解：（1）∵二次函数可化为y=-（x-2）2+3，
∴抛物线的开口方向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，3）；
故答案为：下；x=2；（2，3）；
（2） ①列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… -1 2 3 2 -1 …
② 描点、连线，二次函数的图象如图所示：
．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质和二次函数的图象，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
y=a（x-h）2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
26．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个
焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最
大值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说
明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t= 时，l有最大值，l最大= ；（3）t= 时，△PAD的面积的最大值为
；（4）t= .
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-
t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t- ）2+ ，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）由S = ×PM×（x -x ）= PM，推出PM的值最大时， PAD的面积最大；
PAD D A
△
△
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由 PAD是直角三角形，推出PK= AD，可得（t- ）2+
△
（-t2+2t+3- ）2= ×18，解方程即可解决问题；
试题解析：（1）把点 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，
则有 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在y=﹣x2+2x+3中， 令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，
∴D（3，0），且A（0，3），
∴直线AD解析式为y=﹣x+3，设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），
∵0＜t＜3，
∴点M在第一象限内，
∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣ ）2+ ，
∴当t= 时，l有最大值，l最大= ；
（3）∵S = ×PM×（x ﹣x ）= PM，
PAD D A
△
∴PM的值最大时， PAD的面积中点，最大值= × = ．
△
∴t= 时， PAD的面积的最大值为 ．
△
（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．
∵△PAD是直角三角形，
∴PK= AD，
∴（t﹣ ）2+（﹣t2+2t+3﹣ ）2= ×18，
整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，解得t=0或3或 ，
∵点P在第一象限，
∴t= .
