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第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形的判定（第2课时）
一、温故知新（导）
1、通过上节课的学习，我们知道矩形是特殊的 平行四边形 ，它除了具有平行四边形的性质外，
还具有（1） 矩形的四个角都是直角； （2） 矩形的对角线相等 .
2、我们可以通过定义判定一个平行四边形是否为矩形.除了定义外，我们如何判定一个平行四边
形或四边形是矩形呢？这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、会证明矩形的两个判定定理；
2、会用矩形定义及判定定理判定一个平行四边形或四边形是否为矩形，并能用它们解决问题.
学习重难点
重点：矩形的判定定理及应用；
难点：矩形的判定与性质的综合运用.
二、自我挑战（思）
1、矩形的对角线 相等 .反过来，对角线 相等 的平行四边形是矩形吗？
（1）猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形 .
（2）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD .
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵ 四形边ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC，AB∥DC，
又 AC=BD，BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB (SSS)，
∴ ∠ABC=∠DCB，
∵ AB∥DC，
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=90°，
∴ 四边形ABCD是矩形.
（3）结论
矩形的判定定理： 对角线相等 的平行四边形是矩形.
2、工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两
条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？
工人师傅做门窗或矩形零件时，测量两组对边是否分别相等是为了验证： 它是否是平行四边形 ；
再测量它们的两条对角线是否相等是为了验证： 这个平行四边形是否是矩形 .
3、前面我们知道，矩形的四个角都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
（1）猜想： 有三个角是直角的四边形是矩形 .
（2）已知： 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90° ,
∴∠D=90°，
∴∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形.
（3）结论
矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形 .
三、互动质疑（议、展）
1、思考填空：
（1）两组对边相等且 对角线相等 相等的四边形是矩形；
（2）对角线 互相平分且相等 的四边形是矩形；
（3）有 一 个角是直角的平行四边形是矩形；
（4） 有 三 个角是直角的四边形是矩形；
（5）对角线 相等 的平行四边形是矩形.
2、实例：
如图，18.2-5，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°. 求∠OAB的
度数.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，
2 2
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟
定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
1、解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
2、已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件后，能够得到四边形 ABCD
是矩形的是（ ）
A．OA=OC B．OB=OD C．AB∥CD D．AB2+BC2=AC2
2、解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，添加条件OB=OD后，
不能判定四边形ABCD是矩形，故选项B不合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，故选项C不符合题意；
D、∵AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意．
故选：D．
3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边
形ABCD为矩形的是（ ）A．AD=BC，AB∥CD B．AC=BD
C．∠BAD=∠ADC D．∠ABC=90°
3、解：A．根据一组对边相等，一组对边平行，不能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此选
项符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此选项不符合
题意；
C．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠BAD=∠ADC，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此选项不符合
题意；
D．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形 ABCD为矩形，故此选项不
符合题意；
故选：A．
4、如图，平行四边形ABCD添加一个条件 使得它成为矩形．（任意添加一
个符合题意的条件即可）
4、解：∠B=90°，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠B=90°．
5、如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，∠AOB=60°，则AB：
AC= ．
5、解：∵OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
1
∴AB=AO=BO= AC，
2
∴AB：AC=1：2，
故答案为：1：2．6、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：四边形ADCE是矩形．
6、证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE=BD，
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
六、用
（一）必做题
1、如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形 ABCD是矩形，则添
加的数据是（ ）
A．CD=4 B．CD=2 C．OD=2 D．OD=4
1、解：添加OD=4时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵OA=OC=4，OB=OD=4，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD=8，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
2、工人师傅在做矩形门窗时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两
条对角线是否相等，以确定门窗是否为矩形．这样做的依据是（ ）
A．矩形的两组对边分别相等
B．矩形的两条对角线相等
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2、解：∵两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确
保图形是矩形，
故选：D．3、不能判断四边形ABCD是矩形的是（O为对角线的交点）（ ）
A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD
C．AB CD，AC=BD D．AB CD，OA=OC，OB=OD
3、解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
∵OA=OB=OC=OD，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
∵AB∥CD且AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
∵AB∥CD且AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，故选项D不能判断四边形ABCD是矩形，符合题意；
故选：D．
4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且
AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形 BEDF是矩形，则该条件可以是
．（填写一个即可）
1
4、解：OE= BD，
2
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CE．
即EO=FO．
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OE=OF，OB=OD，
1
∵OE= BD，
2
∴BD=EF，
∴四边形BEDF是矩形．
1
故答案为：OE= BD．
2
5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F在对角线AC上，且
AE=CF，OE=OD，求证：四边形EBFD是矩形．5、证明：在平行四边形ABCD中，
∵对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵OE=OD，
∴OE=OD=OF=OB，
即EF=BD，
∴四边形EBFD是矩形．
（二）选做题
6、如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，
连接AF，BD，∠BDF=90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若BC=4，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
6、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
即AB∥DF，
∴∠ABF=∠BFD，∠BAD=∠ADF，
∵E为线段AD的中点，
∴AE=DE，
{∠ABE＝∠DFB
在△ABE与△DFE中， ∠BAD＝∠ADF，
AE＝DE
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴BE=EF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BDF=90°，
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
∵四边形ABDF是矩形，
∴AD=BF，
∴BC=BF=4，
∵BD⊥CF，∴CD=DF=3，
∴BD= = = ，
√BC2−CD2 √42−32 √7
1 9√7
∴四边形ABCF的面积S=△BCD+矩形ABDF= ×√7×3+√7×3= ．
2 2
7、如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，
BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=6，则▱ABCD的面积为 ．
7、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵CF=AE，
∴CD-CF=AB-AE，
∴DF=BE且DC∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵∠DAB=60°，AD=6，DE⊥AB，
∴∠ADE=30°，
1
∴AE= AD=3，DE=√3AE=3√3，
2
由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴BF=DE=3√3，∠ABF=90°，
∵AF平分∠DAB，
1
∴∠FAB= ∠DAB=30°，
2
∴AB=√3BF=√3×3√3=9，
∴▱ABCD的面积=AB×DE=9×3√3=27√3．
故答案为：27√3．
