文档内容
人教版初中数学八年级下册
18.2.1 矩形的性质 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对边平行且相等
【答案】C
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；它们的对
边都具有平行且相等的性质，
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质和平行四边形
的性质是本题的关键．
2．如图，在 中， 于点 且 于点 ，连接
，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】已知 ， ，则 和 是直角三角形，
，即 ；根据 ，则 是直角三角形，根据直角三角形斜边
中线等于斜边一半即可得出答案．
【详解】∵ ，
∴ 和 是直角三角形，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴ 是直角三角形，
∴ ．故选：C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边一半，
理清题意，得出 是直角三角形是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取
DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若 ， ，则图中阴影部分图
形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影
部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积＝ ×矩形的面积，
∵ ， ，
∴AB＝2 ，
∴阴影部分的面积＝ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的中心对称性，判断出阴影部分的面积
等于矩形的面积的一半是解题的关键．
4．如图，在矩形 中， 、 交于点O， 于点E， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出 ，得出 ，由直角三角形的性质
求出 即可．【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；
熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，
若EF＝6cm，则AC的长是( )
A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理可得EF= DO，再根据矩形的对角线的性质可得AC长．
【详解】解：∵点E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF= DO，
∵EF=6cm，
∴DO=12cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2DO=24(cm)，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等．
6．如图，在长方形 中， ， ．将 沿 折叠，使点 的对应
点 落在 上，则 的长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得 ， ，在 中，
由勾股定理即可求解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
折叠
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关
键．
7．如图，在矩形 中， ， 相交于点 ， 平分 交 于 ，若
，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再由角平分线得出 ABE是等腰直角三角形，得出
AB=BE，证明 AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形内
△
角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．
△【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠DAO=30°，
∴∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，
∴∠BEO= ×（180°-30°）=75°．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性
质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关
键．
二、填空题：
8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使 ，若 ，则
________．
【答案】 ##17度
【分析】连接 ，交 于点 ，先根据矩形的性质可得 ，
再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得 ，又根据等腰
三角形的性质可得 ，从而可得 ，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，交 于点 ，四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练
掌握矩形的性质是解题关键．
9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．
【答案】5
【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长．
【详解】如图，连接OB，
∵B的坐标为（4，3），
∴
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=5
故答案为：5．【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等．
10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD边上的一动点，
M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理，先求出 的取值范围，进而求出 的取值范围．
【详解】解：连接 ，
∵M，N分别是AE，PE的中点，
∴ ，
由题意可知：当 点与 点重合时， 最长，
此时： ，
，
当当 点与 点重合时， 最短，
此时： ，
，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形中位线，解题的关键是确定动点P的两个边界点．
11．如图，在 中， 是高，E，F分别是 的中点．若四边形 的周长
为24， ，则 _____．【答案】9
【分析】根据线段中点的概念得到 根据直角三角形斜边上的中线的
性质得到 ，根据四边形的周长公式得到 ，进而求出
．
【详解】∵E，F分别是 的中点，
∴
∵ 是高，
∴ ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ ，
∴四边形 的周长 ，
∵四边形 的周长为24，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
一半是解题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作
PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝________．
【答案】2.4
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OB= ，S AOB=
△S ABCD=3，然后由S AOB=S AOP+S BOP=3，即可求得答案．
矩形
△ △ △
【详解】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC= =5，
矩形
∴S AOB= S ABCD=3，OA=OB= ，
矩形
△
∴S AOB=S AOP+S BOP
△ △ △
= OA•PE+ OB•PF
= OA（PE+PF）
= × ×（PE+PF）=3，
∴PE+PF= =2.4．
故答案为：2.4．
【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形
结合思想的应用．
13．如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，连接
，若 ，则 的度数是_________．
【答案】15°##15度
【分析】根据矩形的性质有DO=OA=OB=OC，结合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分
线，即有∠COG=90°，AG=CG，则有∠OAG=∠OCG，根据∠BOG=15°，可得
∠COB=75°，进而有∠OCB、∠OBC的度数，则可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即问题得解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且AC、BD相互平分， ，
∴DO=OA=OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OG⊥AC，
∴OG是AC的垂直平分线，∠COG=90°，
∴AG=CG，
∴∠OAG=∠OCG，
∵ ，
∴∠OAG=∠OCD，
∵∠BOG=15°，∠COG=90°，
∴∠COB=75°，
∵∠OCB=∠OBC，
∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC= ，
∵在矩形ABCD中∠BCD=90°，
∴∠OCD=∠BCD-∠OCB= ，
∴∠OCD=∠OAG=∠OCG= ，
∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG= ，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行的性质等知识，根据矩
形的性质得出OG是AC的垂直平分线是解答本题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E
在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F， 沿EF折叠C落在 处，当
为等腰三角形时，BC=________．
【答案】18或15或21.9【分析】分三种情况讨论：当 时，当 时，当 时，即可求解．
【详解】解：∵ 沿EF折叠C落在 处，
∴ ， ， ，
∵∠B=90°，AB=CD=12，BE=5，
∴ ，
当 时，CE=AE=13，
∴BC=BE+CE=18；
当 时，过点A作 于点G，则 ，
∵AE⊥EF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AE=AE=∠AGE=∠B=90°，
∴ ，
∴EG=BE=5，
∴ ，
∴CE=10，
∴BC=BE+CE=15；
当 时，过点 作 于点M，连接 交EF于点N，连接AF，则
AE=2ME， ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴此时点 落在AD上， ，
∴ ，
设DF=x，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
设CE=a，则AD=BC=5+a，
∵ ，
∴ ，
解得：a=16.9，
∴BC=21.9；
综上所述，BC=18或15或21.9．
故答案为：18或15或21.9
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题：
15．已知：如图，在矩形 中， ， ．对角线 的垂直平分线分别交
、 于点 、 ．求线段 的长．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得 ，设
，表示出 的长度，然后在 中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
即
5
解得：x= ，
2
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离
相等的性质；熟练掌握勾股定理和矩形的性质是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，
DE=6，求AD的长．
【答案】
【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，证得AE是线段OB的垂直平分线，然后证得
OAB是等边三角形，求得AB=OB=4，再利用勾股定理即可求得AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
△
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，
∵BE=2，DE=6，
∴BD=8，
∴OB=4，
∴BE=EO=2，
∵AE⊥BD于E，
∴AE是线段OB的垂直平分线，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即 OAB是等边三角形，
∴AB=OB=4，
△
∴AD= =4 ．
【点睛】此题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等边三角形的判定与
性质以及勾股定理，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明 OAB是等边三角形是解
题关键．
△
17．已知：如图， 分别是 的中点，求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证明 ，再利用等腰
三角形的性质可证明 ；
【详解】证明：如图所示，连接 ，
，
是 的中点．Rt 中， ，
Rt 中， ，
，
又 是 的中点，
；
综上所述， ．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，解题的
关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质．
18．如图，矩形 中， 的平分线交 于点 ， 为对角线 和 交点，且
．
（1）证明 为等边三角形；
（2）求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）135°．
【分析】（1）先根据矩形的性质得到 、 ，再证明 即可证
明结论；
（2）先说明 ，再求得 ，最后根据角的和差解答即可．
【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=45°
∵∠CAE=15°
∴∠BAC=60°
∵AO=BO
∴△AOB是等边三角形
（2）解：∵△AOB是等边三角形
∴AB=BO
∵AB=BE
∴BE=BO
∴∠BOE=∠BEO
∵∠OBE=90°－60°=30°∴∠BOE=∠BEO=（180°－30°）÷2=75°
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性
质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边
OC上的点F处．若点D的坐标为 ，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，
然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．
【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)，
∴AD=OC=10，DC=AO=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中,OF= =6，
∴FC=10−6=4，
设EC=x，则DE=EF=8−x，
在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2，
即(8−x)2=x2+42，
解得x=3，即EC的长为3，
∴点E的坐标为(10,3)．
故选择A．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股
定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．
2．如图，在矩形 中， ， ，过对角线交点 作 交 于点 ，
交 于点 ，则 的长是（ ）A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】首先连接 ，根据矩形的性质，得出 ， ， ，
，再根据 ，得出线段 是线段 的垂直平分线，再根据线段的垂直
平分线定理，可得 ，然后设 ，则 ，根据勾股定理，得出
，解出即可得出 的长．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
又∵ ，
∴线段 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线定理、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
3．如图，矩形 的面积为5，它的两条对角线交于点 ，以 为两邻边作平
行四边形 ，平行四边形 的对角线交于点 ，同样以 为两邻边作平
行四边形 ，…，依此类推，则平行四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据矩形的性质可得 的面积为 ，再根据平行四边形的性质可得平行四
边形 的面积为 ，同样的方法可得平行四边形 和平行四边形 的面积，
然后归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解： 矩形 的面积为5，
的面积为 ，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 的面积为 ，
同理可得：平行四边形 的面积为 ，
平行四边形 的面积为 ，
归纳类推得：平行四边形 的面积为 ，其中 为正整数，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关
键．
二、填空题：
4．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ，
于 ， 为 中点，则 的最小值为__．【答案】
【分析】先根据矩形的判定得出 是矩形，再根据矩形的性质得出 ， 互相平分，
且 ，再根据垂线段最短的性质就可以得出 时， 的值最小，即 的
值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
， ， ，
，
于 ， 于 ，
四边形 是矩形，
， 互相平分．且 ，
， 的交点就是 点．
当 的值最小时， 的值就最小，
当 时， 的值最小，即 的值最小．
，
，
， ， ，
，
，
；
故答案为： ．【点睛】本题考查矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线
段最短的性质的运用，解答时求出 的最小值是关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(5，0)，(0，3)，点
P在BC边上运动，当 OAP是等腰三角形时，点P的坐标为_____．
【答案】( ,3)或(4，3)或(1,3)
【分析】作PM⊥OA于M，则PM=OC=3，当 OAP是等腰三角形时，分三种情况：
①PO=PA时，②OP=OA=5时，③AP=OA=5时，分别取OM的长即可．
△
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，顶点A、C的坐标分别为(5,0)、(0,3)，
∴∠B=90°，OC=AB=3，OA=BC=5，
作PM⊥OA于M，如图：
则PM=OC=3，
当 OAP是等腰三角形时，分三种情况：
△
PO=PA时，点P在OA的垂直平分线上，OM=AM= OA= ，
∴P点的坐标为：( ,3)；
OP=OA=5时，OM= =4，
∴P点的坐标为：(4,3)；
AP=OA=5时，AM= =4，
∴OM=OA-AM=1，
∴P点的坐标为：(1,3)；
综上所述，P点的坐标为：( ,3)或(4,3)或(1,3)；
故答案为：( ,3)或(4,3)或(1,3)．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键．
6．如图，在矩形ABCD中， ， 的平分线交BC于点E， 于点
H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：① ；
② ；③ ；④ ；其中正确结论的序号是______．
【答案】①②③
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后求出 ABE是等腰直角三角
形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝ AB，从而得到AE＝A△D，然后根据等腰三角
形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判
断出①正确；利用“角角边”证明 ABE和 AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得
BE＝DH，再求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE
△ △
＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD，证明 BEH≌△HDF（ASA），可得
BH＝HF，得到③正确；判断出 ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得
△
到④错误．
△
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝ AB，
∵AD＝ AB，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠AED＝ （180°−45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°−45°−67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
在 ABE和 AHD中， ，
△ △
∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∵∠AHB＝ （180°−45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°−67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°−45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°−67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在 BEH和 HDF中， ，
△ △
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴AB≠HF，故④错误．
∴其中正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分
线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定；熟记各性质并仔细分析题目条
件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解
题的关键．
三、解答题：
7．如图，折叠矩形ABCD的顶点D所在角，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．
(1)若∠DAE＝26°，求∠EFC的大小；(2)若AB＝8，BC＝10，求EC的长．
【答案】(1)38°
(2)3
【分析】（1）由折叠的性质得出 ，由平行线的性质得出
即可求解；
（2）根据折叠的性质得到 ， ，根据勾股定理列方程计算即可．
（1）∵四边形 是矩形，∴ ， ，由折叠可知： ≌ ，
∴ ， ，∴ ，∴
；
（2）∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，∴
，∴ ，设 ，则
，在 中，由勾股定理得： ，∴
，解得： ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，掌握翻转变换是
一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题
的关键．
8．如图，等腰 的直角顶点 是矩形 对角线的交点， 与 边交于点 ．
(1)如图1，当 与 在同一条直线上时，求证： ．
(2)如图2，当 与 在同一条直线上时，若 ， ，求 的长．.
【答案】(1)见解析；
(2)3.4
【分析】（1）连接 ，根据矩形的性质可知 ， ， ，因为
是直角三角形，所以 是 的垂直平分线，故 ，在 中，
，定理代换即可证得结论；
（2）连接 ，由（1）可知， ，设 ，则 ，利用勾股定理求出
的值即可．
【详解】（1）证明：连接 ，四边形 是矩形，
， ， ，
是直角三角形，
，
是 的垂直平分线，
，
在 中， ，
；
（2）解：连接 ，
由（1）可知， ，
设 ，则 ，
在菱形 中， ， ，
在 中，根据勾股定理得，
，
即 ，
解得 ，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．
矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻
边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
