文档内容
19.1 二次根式及其性质（第 2 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课在学习二次根式概念的基础上，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质。
2. 内容分析
二次根式的性质是在“二次根式概念”基础上的延伸，是二次根式运算的核心依据，属于“概念→性
质→应用”知识链的关键环节。从数学思维角度，本节课通过“观察具体例子→归纳共性规律→抽象出性
质”的过程，既巩固了二次根式的概念，也渗透了“从特殊到一般”的推理方法；从应用价值看，这两个
性质是后续化简二次根式、进行二次根式运算的工具，直接影响学生后续代数运算的规范性与准确性。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索二次根式的性质。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）经历探索二次根式性质的过程，并理解其意义，发展推理能力。
（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简，发展运算能力。
2. 目标解析
（1）学生能通过具体例子，观察被开方数的特点与运算结果的关系，自主归纳出二次根式的两个性
质；能解释性质中“被开方数非负”“结果非负”的合理性，结合实例说明性质的适用条件；在归纳过程
中，体会“观察 — 猜想 — 验证”的推理步骤，提升合情推理与逻辑表达能力。
（2）学生能识别不同形式的二次根式，选择对应的性质进行化简；能规范书写化简步骤，明确每一
步的依据是二次根式的性质；在化简过程中，提升代数运算的准确性与规范性。
三、教学问题诊断分析
1. 对性质的本质理解不透彻：学生易混淆 “(√a)2”与 “√a2” 的区别（前者被开方数a≥0，结果
是a；后者被开方数是a 2，结果是∣a∣）。应对策略：对比辨析，突破性质混淆：设计对比练习，让学生
通过“计算 — 对比 — 总结差异”，明确两个性质的适用条件与结果形式，用表格整理两者的区别。
2.性质的应用与概念脱节：化简时忽略 “被开方数非负” 的前提（如化简√(x−1)2时，未考虑x的
取值范围）。应对策略：结合概念，强化条件意识：化简含字母的二次根式时，先让学生分析“被开方数
的非负性”，再分情况讨论，将性质应用与二次根式的概念绑定。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：运用二次根式的性质进行二次根式的化简。
四、教学过程设计
（一）复习引入
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学科网（北京）股份有限公司1.二次根式的概念：一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式.
2.二次根式有意义的条件：当a≥0时，二次根式√a有意义.
3.二次根式是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式.
类比分式的研究路径（概念-性质-运算-应用），在学习了二次根式的概念的基础上，学习二次根式的
性质.
设计意图：巩固旧知，唤醒认知：通过回顾二次根式的概念、有意义的条件等内容，帮助学生快速回
忆已学知识，为新内容（二次根式的性质）的学习搭建认知基础。
渗透研究方法：类比 “分式（概念 - 性质 - 运算 - 应用）” 的研究路径，让学生明确代数知识
的一般学习逻辑，建立 “先学概念、再探性质” 的学习预期，降低新知识的接受难度。
激发学习关联：借助类比图示，直观呈现分式与二次根式的知识研究脉络，引导学生用已有学习经验
迁移到新内容的学习中，培养知识迁移与类比推理的能力。
（二）合作探究
探究1 二次根式的双重非负性：
我们知道，当a>0时，√a表示a的算术平方根，因此√a>0；当a=0时，√a表示0的算术平方根，因
此√a=0.这就是说，
√a≥0 (a≥0).
探究2 根据算术平方根的意义填空：
(√3) 2 = 3 ； (√0.5) 2 = 0. 5 ； (
√1
)
2
=
1
； (√0) 2 = 0 .
3 3
观察归纳（从特殊到一般）
=a（a≥0）
2
(√a)
探究3 填空：
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学科网（北京）股份有限公司= 2 ； = 0. 1 ； √ 2 2= 2 ； = 0 .
√22 √0.12
( )
√02
3 3
观察归纳（从特殊到一般）
=a（a≥0）
√a2
思考 当a为 任意实数 时， 有意义.
√a2
如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
答：当a为负实数时，上式不成立.
=−a（a<0）
√a2
总结： =|a|（a为任意实数）
√a2
设计意图：分层突破核心性质：通过探究性质的分层设计，逐步拆解二次根式的两个核心性质，符合
学生“从易到难、从具体到抽象”的认知规律。渗透“从特殊到一般”的推理方法：借助具体数值的填空
练习，引导学生观察、归纳出一般性质，让学生在操作中体会“特例观察→共性总结→抽象公式”的数学
推理过程，发展合情推理能力。
突出合作与自主建构：以“合作探究”的形式，让学生通过独立计算、小组交流完成归纳，自主建构
对性质的理解，而非被动接受结论，提升主动学习与知识内化的效果。
（三）典例分析
例1 计算：
（1） ； （2）
2 2
(√1.5) (2√5) .
解：（1） (√1.5)2 =1.5；
（2）(2√5)2=22×(√5)2=4×5=20.
注意：2√5表示2×√5，本题用到了(ab)2=a2b2这个性质.
例2 化简：
（1）√16 ； （2）√(−5)2.
解：（1） √16 =√42=4；
（2）√(−5)2=√52=5.
设计意图：落实性质的直接应用：通过例 1（计算）、例 2（化简），帮助学生快速掌握性质的基本
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学科网（北京）股份有限公司用法，实现 “从理论到实践” 的衔接。
规范解题步骤与表达：通过清晰的解题过程示范，帮助学生养成 “每一步对应性质依据” 的规范解
题习惯，提升运算的严谨性。
（四）巩固练习
1．下列运算结果等于−3的是（ A ）
A． B． C． D．
−√29 ±√9 (±√3) 2 √(−3) 2
2．若 ，则 的取值范围为（ C ）
√(2a−1) 2=1−2a a
1 1 1 1
A．a< B．a> C．a≤ D．a≥
2 2 2 2
3.计算：
（1） (√3)2； （2）(3√2)2.
解：（1） (√3)2=3；
（2）(3√2)2=32×(√2)2=9×2=18.
4.化简：
√ 1 2
（1） √0.32； （2） (− ) ； （3）−√(− π)2； （4）√(10)−2；
7
解：（1） √0.32=0.3；
√ 1 2 √ 1 2 1
（2） (− ) = ( ) = .
7 7 7
（3） −√(− π)2=−√π2= −π ；
√ 1 2 1
（4）√(10)−2= ( ) = .
10 10
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
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学科网（北京）股份有限公司（六）感受中考
1．（2023年江苏连云港）计算：(√5)2= 5 ．
2．（2023年江苏泰州）计算√(−2)2等于（ B ）
A．±2 B．2 C．4 D．√2
3．（2022年内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则√a2+1+|a−1|的化简结果是
（ B ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
4．（2023年内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：√(m−2)2= 2− m ．
5．（2021年湖南娄底）2,5,m是某三角形三边的长，则√(m−3)2+√(m−7)2等于（ D ）
A．2m−10 B．10−2 m C．10 D．4
1 −1
6．（2022年湖南长沙）计算：|−4|+( ) −(√2)2+20350．
3
1 −1
解：|−4|+( ) −(√2)2+20350
3
=4+3−2+1
=6.
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
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学科网（北京）股份有限公司设计意图：呼应引入，形成知识闭环：承接 “复习引入” 中分式与二次根式的类比框架，通过梳理
二次根式“概念→性质”的学习进展，呼应开篇的知识研究路径，让学生清晰本节课在知识体系中的位置。
（八）布置作业
1.必做题：习题19.1 第2，4题.
2.探究性作业：习题19.1 第9题.
五、教学反思
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