文档内容
2.1 整式
1.会用含字母的式子表示数或数量关系
2.理解并掌握单项式、多项式和整式的概念以及它们之间的关系
3.会确定单项式的系数和次数、多项式的项和次数及常数项，掌握它们之间的区别与联系
4.通过单项式、多项式的应用过程,培养符号意识及观察、归纳、概括和语言表达的能力.
知识点一 用含字母的式子表示数或数量关系
1.用含字母的式子表示数或数量关系
用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，为我们今后的学习和研究带来了
极大的方便.从具体的数字抽象到用字母表示数,在认识上是一个重大飞跃
2.书写规范
(1)数与字母相乘、字母与字母相乘、数字与括号相乘、字母与括号相乘、括号
与括号相乘,通常将乘号写作“·”或省略不写.如 可以写成 或 .
(2)数与字母相乘,数写在字母前面.如 可以写成 或 .
(3)数字因数为“1”或“-1”时,常省略“1”,如 写成 , 写成
.
(4)当数字因数为带分数时,要写成假分数.如 要写成 .
(5)除法运算要用分数线,如 写成 .
(6)式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来.如
元, 等.即学即练 用含字母的式子表示下列数量关系．
（1）小雪买单价为a元的笔记本4本，共花 元；
（2）三角形的底为a，高为h，则三角形的面积是 ；
（3）若正方体的棱长是a–1，则正方体的表面积为 ；
（4）自来水每吨m元，电每度n元，则小明家本月用水8吨，用电100度，应交费
元．
知识点二 单项式
1.单项式的定义
由数或字母的积组成的式子叫做单项式.如 , ， .特别地,单独的一
个数或一个字母也是单项式
2.单项式的系数及次数
单项式的系数是指单项式中的数字因数
单项式的次数是指一个单项式中，所有字母的指数的和
如: 的系数是-,次数是 ,次数是3( 的指数是2, 的指数是1),
是三次单项式.
注意：
(1) 圆周率 是常数，单项式中出现 时,要将其看成系数
(2) 当一个单项式的系数是“1”或“-1”时，“1”通常省略不写,如 , ;次数为
“1”时,通常也省略不写,如
(3) 数字与字母的商不是单项式,如 不是单项式，
(4) 单独一个字母的次数是1,而不是0.如单项式 的次数是1而不是0.
(5) 非0常数的次数为 0,如常数 -5的次数是0.
即学即练 找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
2m 1
(1) ；(2)5a+2b；(3)- y；(4) x2y；(5)25x7.
3 8知识点三 多项式
1多项式
几个单项式的和叫做多项式,如
2.多项式的项
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项
3.多项式次数
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数,如 的次数
是3.
提示
(1) 多项式的每一项都包括它前面的符号，且每一项都是单项式
(2) 一个多项式有几项,就叫它几项式.如 有三项，最高次项的次数为3,
所以 叫做三次三项式，注意先说次数再说项，书写时一般用汉字书写.
(3)当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时,任取某一项
的次数作为这个多项式的次数，如多项式 的次数是2
即学即练 说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数
项是多少？
（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1；
（2）10x+y3﹣0.5．知识点四 整式
单项式与多项式统称整式它们的关系可以用图2-1-1表示
提示：
如果一个式子既不是单项式,也不是多项式,那么它一定不是整式.如: , 都是
整式,而 , 都不是整式，是分式（八年级上学期教学内容）
1 1 2x- y 1
即学即练1下列各式- mn，m，8， ，x2+2x+6， ， 中，整式有（ ）
2 a 5 y
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
1 3x- y
即学即练2下列各式①- ，②3xy，③a2-b2，④ ，⑤2x>1，⑥-x，⑦0.5+x，
4 5
2
⑧ 中，是整式的有 ，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填
x-1
序号）
题型一 用字母表示数
例1（2023秋·江苏·七年级统考期末）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那
么这个两位数是（ ）．
A．x+ y B．10xy C．10(x+ y) D．10x+ y
举一反三1（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（ ）．
A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定
举一反三2（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）用a表示的数一定是（ ）
A．正数 B．正数或负数 C．正整数 D．以上全不对
题型二 列代数式
例2（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）一种原价均为m元的商品，甲超市连续两次
打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这
种商品，最划算应到的超市是 ．
举一反三1（2023秋·广西柳州·七年级校考期末）一个两位数的个位数字为m，十位数字
为n，则这两位数表示为 ．
举一反三2（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）如图，某小区规划在边长为xm的正方形
场地上，修建两条宽为1m的鹅卵石健身步行通道，其余部分种植花草，则下列式子中表示
种植花草面积的是（ ）
A．4x+4 B．2x-1 C．x2-1 D．x2-2x+1
题型三 用代数式表示数、图形的规律
例3（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）下列图形都是由圆点和线段按照一
定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图1中共有12个圆点，图2中共有18个
圆点，图3中共有25个圆点，……，依此规律，则图6中圆点的个数是（ ）
A．42 B．52 C．63 D．75举一反三1（2023春·安徽阜阳·七年级校考期末）观察下列图形，完成下列问题．
(1)数一数，完成下列表格．
直线的条
2 3 4 5
数
交点的个
数
(2)若有n条直线相交，则最多有交点__________个．（用含n的代数式表示）
举一反三2（2023秋·湖北黄石·七年级统考阶段练习）根据下面的图形中圆个数的变化规
律，第10个图形中有( )个圆，第n个图形中有( )个圆．
题型四 代数式的概念
例4（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考期末）下列说法正确的是（
）
A．单项式－y的系数是－1，次数是0 B．x＋2＝5是代数式
C．多项式2x3y﹣3x﹣2是四次三项式 D．0不是单项式
举一反三1（2023春·山东青岛·七年级统考期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为
2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写如表；
链条节数/x（节） 2 3 4 5 …
链条长度/y（cm
4.2 5.9 7.6 …
）（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是
cm．
（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）下列各式中，不是代数式的是（ ）
π
A．3a B．0 C．2x＝1 D．a2-
16
举一反三2（2022秋·湖南长沙·七年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．2m表示m和m相乘 B．2m的值一定比m的值大
C．2m的值一定比2大 D．2m的值随m的增大而增大
题型五 代数式书写方法
例5（2023秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列各式中，符合代数式书写要求的是（
）
3 a2-b2
A．1 x2 B．a×3 C．ab÷2 D．
4 3
举一反三1（2023秋·河南周口·七年级校考阶段练习）学完整式的加减内容后，下列各式
书写规范的是（ ）
1
A．2022a B．a×2022 C．3x+2022个 D．2022× x
2
举一反三2（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）下列各式中，符合单项式书写要求的是
（ ）
1 1
A．a×b2 B．-1ab C． mn3 D．2 a2b
4 3
题型六 代数式表示的实际意义
πd2 s
例6 在-3x=2，0，5 y-1，S= ，x≥ y， ，a2006中，是代数式的有（ ）个．
4 t
A．4 B．5 C．6 D．7
举一反三1（2023秋·山东潍坊·七年级统考阶段练习）下列能用2a+4表示的是（ ）．
A． B．C． D．
举一反三2（2023春·河北承德·七年级统考期末）代数式-2x的意义可以是（ ）
A．-2与x的和 B．-2与x的差
C．-2与x的积 D．-2与x的商
题型七 单项式的判断
例7（2023秋·上海静安·七年级校考阶段练习）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项
x+ y x+ y 2
式：-3m2n2，x2+ y2， ， ，- ，0．单项式： ；多项式： ．
3 3x a
举一反三1（2023秋·云南红河·七年级统考期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．数字0也是单项式 B．单项式-3x3y的系数是-3
C．多项式-2x3+4x-2的常数项是2 D．3x2y2+2y3-xy是四次三项式
举一反三2（2023秋·河南周口·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
3
A．23a4的系数是2，次数是7 B．若- xmy2的次数是5，则m=5
4
C．0不是单项式 D．若x2+mx是关于x的单项式，则m=0
题型八 单项式的系数、次数
例8（2023秋·湖北恩施·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是( )
1
A．单项式 x y2的系数是3 B．单项式-5x2的次数为-5
2
C．多项式x2+2x+18是二次三项式 D．多项式x2+ y2-1的常数项是1
2ab4c2
举一反三1（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式- 的系数是 ．
3
举一反三2（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）在下列说法中，
正确的是（ ）m2n3 abc
A． 不是整式 B． 系数是2，次数是3
5 2
C．多项式3x2y2-xy-1是四次二项式 D．0是单项式
题型九 写出满足某些特征的单项式
例9（2023秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式：
．
举一反三1（2023秋·广东中山·七年级校考期末）请写出一个系数是-2022，并且含字母
x、y的三次单项式 ．
举一反三2（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）请写出一个系数为-2且次数为5的单项
式 .
题型十 单项式规律题
例10 （2023秋·河南信阳·七年级校考阶段练习）观察一列单项式：
x2,3x2,5x2,7x2,9x2,11x2,⋅⋅⋅，则第2022个单项式是 ．
举一反三1（2023春·云南玉溪·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：
2x,4x3,8x5,16x7,32x9,64x11 ⋅⋅⋅，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
(n+1)x2n-1 2nx2n-1 n2x2n+1 2nx2n+1
举一反三2（2023春·云南楚雄·七年级统考期末）按一定规律排列的单项式：
3x,4x3,5x5,6x7,7x9,⋯，第n（n≥1,n为正整数）个单项式是（ ）
A． B． C． D．
(n+2)x2n+1 3nxn (n+2)x2n-1 3nx2n+1
题型十一 多项式的判断
例11（2022秋·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类．
b2 xy 1 ab+x 3 1
, +3, , , , ,0,m,a-3,4b,3.14>1,-2d=3．
3 2 n 5 xy a+b单项式：（ ）；
多项式：（ ）；
整式：（ ）．
1 a+b
举一反三1（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）在下列代数式： ab， ，
2 2
3 2 3a+2
ab2+b+1， + ，x3+x2-3，π+2， 中，多项式有（ ）
x y 5x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
举一反三2（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列结论中正确的是（ ）
πx2y 1
A．单项式 的系数是 ，次数是4 B．单项式m的次数是1，系数为0
4 4
1 1 x- y 5 y
C．多项式2x2+x y2+3是二次三项式 D．在 ，2x+ y， a2， ， ，0中
x 3 3 4x
整式有4个
题型十二 多项式的项、项数或次数
例12（2023秋·上海静安·七年级校考阶段练习）3a2-ab2+2a2-34是 式（填几次
几项）．
举一反三1（2023秋·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式-2x3-3x2+x-7，下
列说法正确的是（ ）
A．最高次项是2x3 B．二次项系数是-2 C．常数项是7D．是
三次四项式
举一反三2（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）下列
说法中正确的是（ ）
1 1
A．x- - 是二次三项式 B．单项式-3πx y2z3的系数和次数分别是-3，
x x2
7
x2y2 1
C． 的系数是 ，次数是4 D．x2-2x+25是五次三项式
3 3题型十三 多项式系数、指数中字母求值
1
例13（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）若5x2y|m|- (m+1)y2-3是关于x、y的三
4
次三项式，则m= ．
举一反三1（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级乌市八中校考开学考试）如果
是关于 的三次二项式，则 ．
3xn-(m-1)x+1 x -m+n2=
举一反三2（2023秋·广西防城港·七年级统考期末）若多项式 是
x2y|m|+(m+2)x2- y+3
一个关于x，y的四次四项式，则m的值为 ．
题型十四 将多项式按某个字母升幂(降)排列
例14（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）将多项式-8a4+a-2a2-4a3降幂排列后，第
二项为 ．
举一反三1（2023秋·安徽六安·七年级校考期中）将多项式3b-6a2b-2ab-a4b按字母
a降幂排列为 ．
举一反三2（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考开学考试）把多项式
1
2y2+x3- x y3-3x2y按y的降幂排列为 ．
2
题型十五 整式的判断
例15（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考期末）下列说法正确的是（ ）
x- y
A． 是整式 B．2是单项式，其系数是1，次数是1
2
C．单项式-πx系数为-1 D．多项式2-a-ab-2πx2y是四次四项式
举一反三1（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）下列对式子a2b的判断与说法，不
正确的是（ ）
A．它是单项式 B．它是整式 C．它的系数是1 D．它的次数是2
举一反三2（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）在代数式5 1
x2+5，-1，-3x+2，π， ，x2+ ，5x中，整式有( )
x x+1
A．3个 B．1个 C．5个 D．6个
题型十六 数字类规律探索
例16（2023秋·山东济南·七年级校考阶段练习）观察下列算式
1 1
第1个等式：a = =1- ；
1 1×2 2
1 1 1
第2个等式：a = = - ；
2 2×3 2 3
1 1 1
第3个等式：a = = - ；
3 3×4 3 4
(1)按以上规律写出第10个等式a = ___________；
10
(2)第n个等式a = ___________；
n
1 1 1 1 1
(3)试利用以上规律求 + + +…+ + 的值．
1×2 2×3 3×4 2021×2022 2022×2023
1 1 1 1
(4)你能算出 + + +…+ 的值吗？若能请写出解题过程．
2×4 4×6 6×8 1000×1002
1 1 1 1 1 1
举一反三1（2023秋·内蒙古呼和浩特·七年级校考阶段练习）- ； ；- ； ；- ； ；
1 2 3 4 5 6
…；第2013个数是 ．
举一反三2（2023秋·河南周口·七年级校考阶段练习）已知整数a ，a ，a ，a ，…满足
1 2 3 4
下列条件：
， ， ， ，…，以此类推.
a =0 a =-|a -2| a =-|a -3| a =-|a -4|
1 2 1 3 2 4 3
(1)直接写出a ，a ，a ，a 的值；
2 3 4 5
(2)仔细观察（1）的结果，填写：
a -a =______；a -a =______；a -a =______；a -a =______；…
1 2 2 3 3 4 4 5
猜想：a -a = ______；
n-1 n
(3)探究a 的值是多少.
2021题型十七 图形类规律探索
例17（2023秋·山东济南·七年级校考阶段练习）《庄子•天下》：“一尺之棰，日取其半，
万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代
入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
1 1
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S =1- = ；
阴影1 2 2
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 1 (1) 2 (1) 2 1；
S =1- - = =
阴影2 2 2 2 4
依此类推，
如图3， 1 (1) 2 (1) 3 ；
S =1- - - =
阴影3 2 2 2
如图4， 1 (1) 2 (1) 3 (1) 4 ；
S =1- - - - =
阴影3 2 2 2 2
…
1 (1) 2 (1) 3 (1) n ；
S =1- - - -⋯- =
阴影n 2 2 2 2
(规律应用)
（2）规律应用：计算1 (1) 2 (1) 3 (1) 10的值．
+ + +⋯+
2 2 2 2举一反三1（2023秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度．
在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示
数-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数+2024的点与圆周
上表示数字______的点重合．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
举一反三2（2023秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）找出以下图形变化
的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（ ）
A．3033 B．3034 C．3035 D．3036
一、单选题
1.（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
n 3
A．m×6 B． C．x-7元 D．2 x y2
3 4
mn 1
2．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）在-2x3y2, ,3x-2y, ,7中，单项
5 2x式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
x+ y
A． 是单项式 B．单项式2πr的系数为2
2
C．-2是单项式 D．多项式2a2-3a4+1的次数是2
二、填空题
1.（2023秋·四川达州·七年级统考期末）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有
个．
7a 1
-1x2y，2×(a+b)，a÷bc2，ab⋅2， ，2 bc2
4 3
πab2
2．（2023春·福建三明·七年级统考阶段练习）单项式- 的次数和系数分别是
3
．
3．（2023秋·吉林·七年级统考期末）若多项式 中不含 项，则k的值为
(k-5)x2-3x+1 x2
．
三、解答题
1.（2023秋·山东菏泽·七年级统考期末）多项式 是关于 的三
7xm+(k-1)x2-(2n+4)x-6 x
次三项式，并且二次项系数为1，求m+n-k的值．
2．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）把多项式﹣x3﹣7x2y+y3﹣4xy2重新排列
（1）按x的升幂排列；
（2）按y的升幂排列．1
3．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知多项式-x3ym+1+x y2- x2+7是六次四
2
项式，单项式6xny5-m的次数与这个多项式的次数相同，求mn的值．
