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20.1 勾股定理及其应用
知识点一 勾股数问题
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．1，1， B．1， ，2 C．12，13，5 D．4，5，6
2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （ ）
A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D．
3．（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3，
4．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：① ， ，1；②5，12，13；③ ， ， ；④
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学科网（北京）股份有限公司， ， ．其中是勾股数的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
知识点二 已知两点坐标求两点距离
1．（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中，点 到坐标原点O的距离为
．
2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点 与点 之间的距离是
．
3．（24-25八年级下·重庆·月考）点 到坐标原点的距离是
4．（24-25八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系 中， ， ，则 的长为 ．
知识点三 以直角三角形三边为边长的图形面积
1．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中
阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
2．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边向
外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此
规律继续下去，则 的值为 ．
3．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为
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学科网（北京）股份有限公司169时，则A的面积为 ．
4．（24-25八年级下·广东肇庆·月考）如图，在Rt 中， ，分别以 为边在三角
形外部作正方形，若以 和 为边的正方形面积分别为5和3，则以 为边的正方形面积 的值为
．
知识点四 勾股定理与无理数
1．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图所示，在数轴上点 所表示的数为 ，则 的值为 ．
2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，点 表示的数为 ， 垂直数轴， ，
连接 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交数轴的正半轴于点 ，则点 表示的实数为 ．
3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上点 ，点 分别表示1和3， ，且 ，以
点 为圆心，以 为半径作弧，弧与数轴的交点为 ，则点 表示的数是 ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在 中，
， ，点 恰好落在数轴上表示 的点上，以原点 为圆心， 的长为半径画弧交数轴
于点 ，使点 落在点 的左侧，则点 所表示的数是 ．
知识点五 用勾股定理解三角形
1．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）在 中， ， ， ，求 的长．
2．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）在 中， ．
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ， ，求 ．
3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，在 中， ．
(1)若 ， ，求 和 ；
(2)若 ， ，求 和 ．
4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，已知在 中， 于点 ．
(1)求 的长；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求 的长．
知识点一 求梯子滑落高度
1．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为
9米．
(1)这个梯子顶端离地面有几米；
(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）
2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本
校的办学理念做成宣传牌 ，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯
子（ 米）靠在宣传牌 处，底端落在地板 处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌 的
处，而底端 向外移到了0.5米到 处（ 米）．测量得 米．求宣传牌 的高度（结果用
根号表示）．
3．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯 的长为25米，斜靠在竖直的墙面 上，消防
梯底端A距墙面 的水平距离为7米．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？
(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？
4．（24-25八年级下·新疆伊犁·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛
的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时
为 ，如果梯子的顶端 沿墙下滑 ，那么梯子底端 向外移了多少米？
知识点二 求旗杆高度
1．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在电线杆 上的点C处，向地面拉有一条 长的钢缆 ，
地面固定点D到电线杆底部的距离 于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为
，求电线杆的高度 ．
2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，
把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的
距离为9米．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求旗杆的高度 ；
(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好
接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端
的绳子垂到了地面，并多出 （如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现
测得点C到旗杆 的距离为 ，求旗杆的高度 ．
4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量
旗杆 的高度，通过测量得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为12米（如图2）．
根据以上信息，解答下列问题
(1)设旗杆 米，则 ______米， ______米（用含 的式子表示）
(2)求旗杆 的值．
知识点三 求小鸟飞行距离
1．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为 ， ．其中一棵树 高12米，另
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学科网（北京）股份有限公司一棵树 高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高 ，一棵高 ，两树之间相距 ，一只
小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
3．（21-22八年级下·云南保山·阶段练习）如图，有两棵树，大树AC高为10米，小树BD高为5米，两树
相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，求小鸟飞行的最短路程．
4．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖 飞向旗杆顶端 ，已知树高 ，旗
杆高 ，树与旗杆之间的水平距离为 ，则无人机飞行的最短距离为多少？
知识点四 求大树折断前的高度
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级下·河南开封·期末）一竖直的木杆在离地面 的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端
的A处．求木杆折断之前高度．
2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆 ，被大风从
离地面 的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为 的快车道上？说明理
由．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶
部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？
4．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折
断，树尖B恰好碰到地面，经测量 米，求这棵树的高度．（结果保留根号）
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学科网（北京）股份有限公司知识点五 水杯中筷子问题
1．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为 ，杯高
，点 ，点 在内部底面圆上，线段 经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点 处，
并让吸管经过点 （按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出 长的吸管，问至少需要制作
多长的吸管？
2．（23-24八年级下·广东汕尾·月考）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇
生长在它的正中央，高出水面部分 的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么
芦苇的顶部B恰好碰到岸边的 ，则这根芦苇 的长是多少尺？
3．（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为 ，若将长为 的筷子沿
底面放入杯中，茶杯的高度为 ，则筷子露在茶杯口外的部分 的最短长度是多少？
4．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根长 的牙刷放置于底面直径是 ，高为 的圆柱
体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为 ，求 的范围．
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学科网（北京）股份有限公司知识点六 航海问题
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由
西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东 方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东
方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（ 取 ）
2．（24-25八年级下·四川南充·月考）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达B岛，再从B岛沿
方向航行 到达C岛，A港到航线 的最短距离是 ．求C岛和A港之间的距离．
3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，货轮 在航行过程中，发现灯塔 在它的南偏西 方向，且与
货轮 相距 ．同时，在它的南偏东 方向又发现客轮 ，且与货轮 相距 ，求此时灯塔
与客轮 的距离．（ ：海里）
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学科网（北京）股份有限公司4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔
P在北偏东 方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东 方向上．
(1)求 的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
知识点七 求台阶上地毯长度
1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼
梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示， ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的
过程中没有损耗）
2．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼道铺上地
毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点
B的最短路程长是多少？
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学科网（北京）股份有限公司4．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最
短路线有多长？
知识点八 判断汽车是否超速
1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）滨海西大道的限速为 （已知 ）．如图，一辆
小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处（即
），过了 后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离 为 ，问：这辆小汽车超
速了吗？
2．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速 ，小明尝试用自
己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点 到该路段 的距离（ 的长）为
40米，测得一辆汽车从 处匀速行驶到 处用时3秒， ．试通过计算判断此车是
否超速？（ ）
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学科网（北京）股份有限公司3．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区
规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电
瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离
为 ．这辆观光电瓶车超速了吗？
4．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段
上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路 旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车
从点A到达点B行驶了5秒，已知 ， 米， 米．
(1)请求出观测点C到公路 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ， ）
知识点九 判断是否受台风（噪音）影响
1．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在 城正西方向 的 处，以每
小时 的速度向北偏东 的 方向移动，距台风中心 的范围是受台风干扰的区域，问 城
是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出 城受台风干扰的时间．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路 和公路 在点P处交汇，且 ． 点A处
有一栋居民楼， ． 假设一拖拉机在公路 上沿 方向行驶，周围 以内（包括 ）
会受到噪声的影响．
(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为 ，则居民楼受到影响的时间有多长？
3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公
路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公
路的一侧点 处，且点 与直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ，
假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．
(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市 接到台风警报，在该市正南方向 的
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学科网（北京）股份有限公司处有一台风中心，沿 方向以 的速度向 移动，已知城市 到 的距离 ．
(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在 点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
知识点十 以弦图为背景的计算
1．（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）如图，用四个全等的直角三角形可以拼成一个大正方形，这个图形
称为弦图．设直角三角形的短直角边为 ，较长直角边为 ，斜边为 ，利用此图形说明： ．
2．（24-25八年级下·吉林松原·月考）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》
时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定
理．
【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：
(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；
(2)如图②，将长方形 的四边 、 、 、 分别延长至 、 、 、 ，使得
， ，连接 、 、 、 ．
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学科网（北京）股份有限公司①求证： ；
②若 ， ，则图中阴影部分图形的面积为_____．
3．（24-25八年级下·河南周口·期中）补充填空：完成证明
(1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．
把边长为 、 的两个正方形连在一起，其面积是 ．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一
个正方形如图2，把 和 ．分别旋转到 和 得到图3位置，就会形成一个以 为边
长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________．
(2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形 的面积并完成上述推理，请你完成推理过程．
4．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，
大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法．
赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别
表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形 和四边形 是正方形．
达·芬奇用如图2所示的方法证
明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为 ；剪开翻转后的空
白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为 ．
任务：
(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整．
证明：由图1，知 ，正方形 的边长为 ．
， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，即 ．
(2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程．
1．（24-25八年级下·江西上饶·月考）【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点 为线段 上一动点．分别过点 ， 作 ，连接 ， ．已知
．设 ，用含 的代数式表示 的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道 一侧有 ， 两家工厂，它们到河道的距离 ， 分别是 ． ，两工
厂之间的距离 是 ．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 ，且使得抽水点 到
两家工厂的距离之和最短．求 的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式 的最小值．
2．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对
三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形 中， ， ，
连接AC、BD，若 ， ，求BD的长．
（1）布丁思考后，如图2，以 为边向外作等腰直角 ，并连接 ，他认为： ．你
同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【探索二】如图3，在四边形 中， ， ， ， ，
，若 ，求 的长．
3．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都
为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则
．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条
直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米？
【问题拓展】
（3） 中， ，垂足为 ，请求出 的值．
4．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
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学科网（北京）股份有限公司和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
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